（2）当欲证明的不等式的两边是乘积形式、指数幂形式，不同底的对数式形式时，常用作商法证明．
二综合法与分析法
1．综合法
一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法．综合法又叫顺推证法或由因导果法．
2．分析法
证明命题时，从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到所
需条件为已知条件或一个明显成立的事实（定义、公理或已证明的定理、性质等），从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法．这是一种执果索因的思考和证明方法．
注意:
1．用综合法证明不等式的逻辑关系
A?
B1?
B2?
?
Bn?
B
由已知逐步推演不等式成立的必要条件，从而得结论．
2．用分析法证明不等式的逻辑关系
A?
B1?
B2?
?
Bn?
B
由结论步步寻求不等式成立的充分条件，从而到已知．
3．综合法和分析法的比较
（1）相同点：
都是直接证明．
（2）不同点：
综合法：
由因导果，形式简洁，易于表达；分析法：
执果索因，利于思考，易于探索．
4．证明不等式的通常做法
常用分析法找证题切入点，用综合法写证题过程．
三反证法与放缩法
1．反证法
证明不等式时，首先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条
件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件（或已证明的定理、性质、明显成立的事实等）矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立．我们把它称之为反证法．
2．放缩法
证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法．
3．换元法
将所证的不等式的字母作适当的代换，以达到简化证题过程的目的，这种方法称为换元法．
注意：
1．关于反证法
（1）反证法的原理是否定之否定等于肯定．
即第一次否定—在假设中，否定了结论
↓
第二次否定—通过推理论证，又否定了假设
（2）反证法的使用范围
一般以下几种情况适宜使用反证法：
①结论本身是以否定形式出现的一类命题；
②有关结论是以“至多,”或“至少,”的形式出现的一类命题；
③关于唯一性、存在性的命题；
④结论的反面是比原结论更具体、更容易研究的命题．
（3）使用反证法的主要步骤
（4）准确地作出反设是反证法证题的前提，下面是常用词语的反设
原结论
反设
原结论
反设
是
不是
至少有一个
一个也没有
都是
至少有一个
至多有一个
至少有两个
不是
大于
小于等于
至少有n个
至多有（n－1）个
小于
大于等于
至多有n个
至少有（n＋1）个
对所有x
至少有一个x
p或q
非p且非q
成立
不成立
对任何x
至少有一个x
p且q
非p或非q
不成立
成立
（5）运用反证法的五点说明
①反设时一定不能把“假设”写成“设”．
②当结论的反面有多种可能时，必须全部列出，否则证明是不完整的．
③必须从结论的否定出发进行推理，就是一定把结论的否定作为推理的条
件，只要推理中没有用到“假设”就不是反证法．
④最后导出的矛盾是多样的，可能与已知矛盾、与假设矛盾、与定义、定理、公式矛盾、与已知的事实矛盾等，但矛盾必须是明显的．
⑤反证法是一种间接证明的方法．
2．关于放缩法
（1）放缩法证明不等式的理论依据有：
①不等式的传递性；②等量加不等量为不等量．其中减去一个正数值变小
（缩），加上一个正数值变大（放）；③同分子（分母）异分母（分子）的两个分式大小的比较；④基本不等式与绝对值三角不等式；⑤三角函数的有界性等．
（2）运用放缩法证题的关键是：
放大或缩小要适当，千万不能放（缩）过头，否则问题无法获证．
（3）使用放缩法的常用变形
放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往往从要证明的结论考虑．常用的放缩法有增项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用已知不等式、利用函数的性质等进行放
1
2
3
1
2
1
1
1
1
缩．比如：
a＋2
＋
>a＋2
；
2
<
（
－）（n∈N且n≥2）；2
>
n
（＋）
4
n
n
n
1
n
n1
（n
∈
*
）
；1
<
2
（n
∈
N
且≥
2）
，1
2
；当a>b>0，m>0时，
N
n
>
nn＋n－1
nn＋n＋1
bb＋maa＋m
ab＋m等．
第三讲柯西不等式与排序不等式
1．二维形式的柯西不等式
若a，b，c，d都是实数，则（a2＋b2）（c2＋d2）≥（ac＋bd）2，当且仅当ad＝bc
时，等号成立．
2．柯西不等式的向量形式
设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．
3．二维形式的三角不等式
设x1，y1，x2，y2∈R，那么x21＋y12＋x22＋y22≥（x1－x2）2＋（y1－y2）2.
注意：
1．二维柯西不等式的三种形式及其关系
定理1是柯西不等式的代数形式，定理2是柯西不等式的向量形式，定理3是柯西不等式的三角形式．
根据向量的意义及其坐标表示不难发现二维形式的柯西不等式及二维形式的三角不等式均可看作是柯西不等式的向量形式的坐标表示．
2．理解并记忆三种形式取“＝”的条件
（1）代数形式中当且仅当ad＝bc时取等号．
（2）向量形式中当存在实数k，α＝kβ或β＝0时取等号．
（3）三角形式中当P1，P2，O三点共线且P1，P2在原点O两旁时取等号．
3．掌握二维柯西不等式的常用变式
（1）a2＋b2·
（2）a2＋b2·
（3）a2＋b2·
c2＋d2≥|ac＋bd|.
c2＋d2≥|ac|＋|bd|.
c2＋d2≥ac＋bd.
（4）（a＋b）（c＋d）≥（ac＋bd）2.
4．基本不等式与二维柯西不等式的对比
（1）基本不等式是两个正数之间形成的不等关系．二维柯西不等式是四个实数之间形成的不等关系，从这个意义上讲，二维柯西不等式是比基本不等式高一级的不等式．
（2）基本不等式具有放缩功能，利用它可以比较大小，证明不等式，当和（或
积）为定值时，可求积（或和）的最值，同样二维形式的柯西不等式也有这些功能，利用二维形式的柯西不等式求某些特殊函数的最值非常有效．
二一般形式的柯西不等式
1．三维形式的柯西不等式
设a1，a2，a3，b1，b2，b3是实数，则（a21＋a22＋a23）（b21＋b22＋b23）≥（a1b1＋a2b2
＋a3b3）2，当且仅当bi＝0（i＝1，2，3）或存在一个数k，使得ai＝kbi（i＝1，2，3）
时，等号成立．
2．一般形式的柯西不等式
设a1，a2，a3，,，an，b1，b2，b3，,，bn是实数，则（a21＋a22＋,＋
＋b22＋,＋b2n）≥（a1b1＋a2b2＋,＋anbn）2，当且仅当bi＝0（i＝1，2，,，
22
an）（b1
n）或存
在一个数k，使得ai＝kbi（i＝1，2，,，n）时，等号成立．
注意：
1．对柯西不等式一般形式的说明：
一般形式的柯西不等式是二维形式、三维形式、四维形式的柯西不等式的归纳与推广，其特点可类比二维形式的柯西不等式来总结，左边是平方和的积，右边是积的和的平方．运用时的关键是构造出符合柯西不等式的结构形式．
2．关于柯西不等式的证明：
对于函数f（x）＝（a1x－b1）2＋（a2x－b2）2＋,＋（anx－bn）2，显然f（x）≥0时
x∈R恒成立，
即f（x）＝（a21＋a22＋,＋a2n）x2－2（a1b1＋a2b2＋,＋anbn）x＋（b21＋b22＋,＋
2
对x∈R恒成立，
b）≥0
n
1＋a22＋,＋ann
2－4（a12＋a22＋,＋an2
12＋b22＋,＋bn2
≤，
∴Δ＝4（a1
bb
b）
）（b
）
0
2
2
2
2
2
2
≥
2
除以4得（a1＋a2＋,
＋an·1＋b2＋,＋bn
11＋a22＋,＋ann
）（b
）
（ab
b
b）.
3．一般形式柯西不等式成立的条件：
由柯西不等式的证明过程可知＝0?
f（x）min＝0?
a1x－b1＝a2x－b2＝,＝
n
－n＝0?
b1＝b2＝,＝bn＝0，或a1＝a2＝,＝an
.
ax
b
b1
b2
b
n
4．柯西不等式的几种常见变形：
n≤
（1）
设
12＋a22＋,＋an2＝b12＋b22＋,＋bn2＝1，则－1≤a11＋a22＋,＋an
a
b
b
b
1；
1＋a2＋,＋an
12＋a22＋,＋an2
（2）
设i∈R（i＝1，2，3，,，n），则a
≤
a
；
a
n
n
2
2
2
（a1＋a2＋,＋an）
2
设
i∈R，bi
＝，，，，
1
2
n
；
（3）
n）
，则a＋a＋,
＋a≥
1＋b2＋,＋bn
a
>0（i
123,
b1
b2
bn
b
设
ii
＝，，，
，
1
2
n
（a1＋a2＋,＋an）2
（4）
ab>0（i
1
23,
n），则
b1
b2
bn
.
11＋a22＋,＋ann
ab
b
b
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