广义二重积分Word版.docx

广义二重积分Word版.docx

《广义二重积分Word版.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《广义二重积分Word版.docx（10页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

广义二重积分Word版

网极限

在我们所采用的定义1至定义4中均应用了网极限的概念,因此有必要将网极限的一般定义及部分可能要用到的性质略作阐述.

定义0.1设集合DH0,称D上的二元关系<为半序关系，若其满足：

⑴非自反性：

gySxvn，

（“）传递性：

Vx,y.z^D，若x

x

定理0.1如此定义的半序集中没有最大元

证明:

反设VxeZ）,3zeDs.tx

另3zreDs.tz

由（”）知：

x

但由⑴知：

乙丰十矛盾.即得证.

注:

半序关系中并没有要求Vx,ye£>,一定要有x

立即可•也就是说,两者可以在这种关系下无法比较.

我们回忆在学习数列时定义极限的情形,不难发现当时是依靠N中的良序关系来描述极限的,然而在更多的惜形下，极限的基未必能满足这样的良序关系•为了使这样的极限也能利用序列来进行描述，我们引入半序关系.这样，用能序列描述的极限的范围就被极大地扩展了.

定义0.2称偶（D,v）为半序集，若D丰0且<为£>上的半序关系.

定义0.3称半序集（Dv）为定向集，若其满足：

（iii）共尾性：

Vx,yeDeDSJx

这个性质对网极限的定义至关重要，正是共尾性保障了我们所定义极限的唯一性.

定义0.4称映射S.D^X为X中的网，若集合DH0且（D,v）为定向集，

记作S={S（d）\deD}

一般的网极限理论是在拓扑空间展开的，我们在此不必涉及.我们所讨论的的网极限中，恒令X=R.

定义0.5对于定向集（D,v）上的网S.DiR、

若讥/?

对匸£>0臼〃飞£>,矶/,/<〃,有$（〃）一/|<£

则称/为映射S在定向集（D,v）上的网极限,即记作limS

（D.O

定理0.1定义5中所述的网极限是唯一的.

证明：

假设3I}iI2eRs.t有|S（d）-〃V£

加2°eD,Wl；<〃，有|S（d）-厶|v£

由（Dv）上的共尾ft:

3J*eDs.td；

从而有：

|S（/）_/]|v£且|s（/）-厶|<0，于是|/厂厶|<2w

由£的任意性知:

£=12

即证网极限是唯一的，说明定义5是良好的.

定义0.6设集合D匸D且（0,v）中沿用（£>,<）中的半序关系.若MwDmhe°,

s.td<心，则称网S:

DiR的限制S「D\iR为网S的临界子网，称半序集（9，v）为（D,v）的临界子定向集.

定理0.2上述定义6中的（U，v）为定向集

证明:

首先按照定义，（卩,v）是半序集

乂Vx,yeD,c£>s.tx

3^eD}s.tz

ill半序关系的传递性:

Xv4,y

即（D，v）为定向集.

定义0.7称§:

0IR为网S的临界子网，若网S:

DiR限制在（D,<）的一个临界子定向集上.

用！

在临界子网上也可以定义网极限,为了证明广义二重积分在不同定义下的等价性,我们有必要建立起不同网之间的关系.

定理0.3limS=>limS

这个定理常用来反证网极限不存在，也就是说我们可以选取一个临界子网使极限在此子网上极限不存在，从而说明网极限不存在.

定义0.8称定向集（D，vJ与（D2,<2）是等价的，

若日映射T.RiD?

满足:

xvyoT（x）,,<,）=（D2,<2）

定义0.9称网SgiR与网S2.D2^R是等价的，

若（辱）三（听）且S严亠。

7\记作£詁

定理0.4S、三limS.=limS、

（M-<）（O2.<）z

证明:

不妨设lim5,存在且limS】=£,

（Dj.O1

V£->03J/eD{VJe

由St=S2的定义，我们有:

W>03T（<）eD2WeD2,T（<）

由丁为1一1映射:

珂wDSJT（d；）

再由T的保序性得:

d；|S|（dJ一勾<£即仪⑺⑷）-

即limS,存在且limS,=/.

（d2.<）z

下面来说明我们以后证明中使用频率最高的共同临界子网的概念.

定义0.10称几与S2存在共同临界子网，若5,的临界子网与二的临界子网等价.

至此，我们可以提出我们证明的一般思路了.

如我们要证明定义1O定义2:

Stepl.对于正函数,在定义1,2下的网收敛O临界子网收敛

Step2•在定义1,2下,有绝对收敛性，即/收敛O收敛

Step3.找出定义1中的网与定义2中的网的一个公共临界子网

于是/€/?

*（□）<=>|/|€/?

*（0）<=>肿戸（|几。

）<=>

肿）S2（|几⑵o|/|e，（⑵o/w7?

2（n）

其中第一个和笫五个等价性是山广义二重积分的绝对收敛性得岀的，第二个和笫四个等价是山正函数的广义二重积分网极限与临界子网极限同时存在得出，而第三个等号是山公共临界子网的等价性得岀。

注意在定义四中我们找不到简单的公共临界子网，不过我们可以转而证有界性的等价性得出我们要的结论。

定义1

定理1.1设F（0）为区域O中任意可求积的子集的全体集合，赋序

Q,v览=:

Qu览，

则（F（Q）,<）为一个定向集.

证明:

先说明F（0）是一个半序集：

（i）非自反性:

雪v仏

（”）传递性:

會<昭,亿v昭nG,

且满足（/•//）共尾性:

F（Q），记p=supyjx2+y2，取PRaN

则X2+y2

2=Qf]C可测，且昭

定义1.1称在上述定向集上的映射S:

F（Q）IR,（SuD）为有限积分网,

记作1

uD

、

引理1.2当二元函数f（x9y）>0时,WI=supjj/（x,yWy,DeF（Q）>

.D・

、

证明:

（1）先证:

若1存在，则sup（刃加仅DeF（C）存在且两者相等:

.D.

取w=1戶卩vF（C），当DwF（C）,D}

I）

即jj/（x,y^dxdy

VD2eF（Q）,3D.eF（Q）,D2

<7+1

•■-JJ/（^y^dxdy=Jj/（x,y^clxdy-JJf（x,y）dxdy<\l\+\-JJf（x,y）dxdyD26DgDg

即JJ/dy}dxdy有界

D

令厂=supj|f（x.y）dxd\\DeF（Q）>

V£->0,3D4eF（Q）sj/*-^

q

•.•f（x,y）>0二当DwF（O）时,£>4v£）时:

/"一£vJj/（x,y）dxdy

D

对于同样的^>0,3D5eF（Q）s.t

当£>wF（G）,QvD时,/一£vjj/（x,y}dxdy

D

我们取2=91）2,则V£>0dQeDs.l当DwFggcD时有:

/-

/-£vJJf（x.y）dxdy<1+8D

即有厂|v2g于是由£的任意性j=r得证.

⑵再证:

若supvJJ/（忑刃血/儿。

WF（C）＞存在,则I存在且两者相等

令厂=sup』/（x,y）dxdy\DeF（Q）；

Vw>0,BDjeF（Q）sJI-£<^f（x,y^dxdy

而f（x，y）n0，我们有:

D,<£）=>Jj*/（x,y\Lxdy

即：

0£>OdDwF（G）s.t当D}

I-£

D、I）

根据定义，/存在且/=八即得证.

定理1.3当二元函数/（x,y）>0时,limJJf（x,y}dxdy=limjj/（x,y）dxdy,

D

其中DwF（G）,F（C）为尺⑵的临界子网.

证明:

⑴先证明:

若liyjjf（x,y）dxdy存在，则linjjf^y^lxdy存在且两者相等

\y

i）

\y

im||f（x,y）dxdy=sup订J/（x,y\lxdy,DeF（Q）*

单调递增且有上界，则其上确界存在

乂f（x.y）X0得打Jf^yYxdy,DfeF‘g）>

于是山引理1.2:

limjj/（x,y}dxdy存在且等于supjj/（x,y\lxdy\DfeF'（Q）ur/

JJy^xdy,DeFf（Q）>Id

而PD\eFg）,3D,eF'（G）s.lD}

9I>1

•・•F（G）uF（G）,sup

I"

于是siipJJ/（x,y\lxdy.DeF（Q）>

Id

■JJ/（%,>'Wv,Drer（Q）>

于是sup

.DJlo*-

⑵再证明:

若limjj/（x,y）dxdy存在，则limjj/（x,y}dxdy存在且二者相等u"uD

由引理1:

lim

u

|/（x,y）dxdy=sup

I"

”Id・

VD3eF（Q）,3D4eFf（O）57£>3

6Q

于是打J/（x,yW>\DeF（Q）［有上界.

.D-

乂f（x.y）n0得打J/（x,y\lxdy,DeF（fl）>

单调递增，故有上确界

ID

再山引理1.2:

lini存在且等于sup

cdId.

11!

山⑴中证明知：

sup=

I"

即得证.

定理1・4在定义1下的广义二重积分是绝对收敛的，即:

/（x,y）e/?

*（Q）<^>|/（x,y）|e^CQ）

证明:

记{

厂（X，y）=max{f（x9y）90}广（x,y）=max{-/（’y）,0}

于是[/（匕刃二厂也）'）一广（2‘）

'[|/（儿y）|=广（%,刃+广（x,y）

要证明f（x9y）和|/uy）\在D上可积等价只需证:

广（九刃eR'（Q）

我们先证明:

若/ay）uFg）,则：

有界・D-

取£=1,mqeF（G），当DwF（O）,Dt

即Jffgy\lxdy

D

VZ）sF（Q）,BD2eF（Q）,£>

・•・JJf（x,y）dxdy=y）dxdy-JJf（x,y）dxdy<\I\+\+

DD,DAD

jff（x.y）dxdy

D.\D

1喏Df]D[=0i».Dl

2。

若DflD=0工0,则：

q<0\（D\D）从而有：

JJf（xyy）dxdy=d2\d

/（儿y^clxdy-jjfgy）dxdy

6

S|/|+l+JJy）dxdy

而Q为某定区域,/（匕刃在D上有界，则f（x.y）在Q上有界

于是我们得到：

JJf{x.y）dxdy有界,DAD

而D3

综上所述JJ/（x,y）clxdy<2\l\+2+M，有界性得证n

下面再证明：

广（x,y）wFg）

1。

fa,y）eR[（Q）=>g刃1e丹（⑵:

反设厂（x,y）g左（C），则V/i,3D„eF（Q）sJJJ/+（x,y）dxdy>n

取Dn的分划an[,an2,anms.t其Darboiix下和〉“，

m

即:

2>心厂

我们将b”J分为以下两类：

Vl>在b心上，九/（x,y）=O

<2>在b心上,>0（此时有f'（x.y）=f（x,y））

将第二类b”」•取出,并记为b；『j+・,k

则>九

记°=LJb：

j，则JJ/（x，刃加农=Jj*广（x，Mdxdy>n

>->QQ

而这与f（x,y）ef（Q）矛盾，于是厂（x,y）e疋（C）

2。

/（x,y）eRl（Q）<=|/（x,y）\eRl（Q）

注意到:

0v/+（x,y）<\f（xty）\

则订J厂g）Wy,DeF（Q）>单调递增且有上界，

.D・

于是sup]JJf\xyy）dxdy,DeF（Q）存在

ID・

由引理1.2知：

r（x,y）e/?

'（Q）

综上所述/（x,y）eR'（C）o『（x,y）|eRl（Q）

定义2

定理2.1设厶（。

）为所有厶割下g部分的全体，赋序00=：

/•，则（厶g），<）

是一个定向集，并且以心作为其中每个元素的参数，我们称这种定向集为可参数化的定向集.

证明:

先说明（L（Q）,<）是一个半序集：

0）非自反性:

Q

（”）传递性:

q<陆且qg严仏v%v%,即q

然后是共尾性：

（询）▽密e厶（C）,由于A（厶）=A（厶）=0,即厶厶有界，那么3/?

>0s.t

R>max{Jx2+y2+11（x,y）eA,U}那么可求长曲线L:

・-[y=Rsin0

满足:

山=R>心j即型使得定义2.2在上述定向集上的映射S:

厶（⑵IR（sg_）=jjf（x.y）dxdy）称为菲赫金哥尔茨网。

我们先对/（x,y）>0的情况进行分析：

注意到（几。

）菲赫金哥尔茨网是存在临界子网的•比如说中心为原点的圆圈列:

x=ncos0o

（cg）V是一个临界子定向集•将s限制在z/g）上即为网s的一个临界子网。

另一个例子是中心为原点的正方形列：

Ln.x

n

3n-Stn

-77

Sn-7tn

re[0,0.25]

Ze[0.25,0.5]

/e[0.5,0.75]

re[0.75J]

-n+Stnte[0,0.25]

Ln^y=\

"/e[0.25,0.5]所包围的区组成的集合记为以⑵,口⑵u氏⑵

5n-8/nte[0.5,0.75]

-n

re[0.75J]

且（cg）v是一个临界子定向集将s限制在z/g）上即为网s的一个临界子

定理2.3若f（x,y）>0，则：

limS=supHff{x,y）dxdy^\e厶（G）o证明：

若/=supjjf（x.y）dxdy|QZeL（Q）>v+s

那么由上确界的定义:

W>0卫s.tI-s<\\f^y）dxdy

5

记Q=maxJx2+y

x=pcosO

"0<<9<2^

y=psinO

那么，山于码・为可求长曲线，则Q已厶（。

），0筠有:

码.<0,由Q的定义有:

骑U仏乂illf（x.y）X0知:

/一£vJJf（x.y）dxdy

即证：

limS=I

（L（n>.<）

反之,只需证llJ/=（^limS存在=>{JJ/（x,y^dxdy|QZe厶（0）>有界即可

g"（C）,取临界子网厶：

<

x=ncosO

y=nsin0

由于/（x，y）-°Jy）dxdy\ClLeL（O）>

单调上升到/

IQ

记Q=maxyjx2+y2

（x,y堆A

3N>0s.tp

从而有fjf（x,y）dxdy

Q.宀如％