图3-31
我们用动量分别研究甲球和乙球的情况：
选甲球相撞瞬间为研究对象：
撞前速度v1，撞后速度v'1，撞瞬间受力F，作用时间t，选坐标向右。
列方程-F·t=m1v'1-v1v1
选乙球相撞瞬间为研究对象：
撞前速度v2，撞后速度v'2，撞瞬间受力F'，作用时间为t。
列方程F'·t=m2v'2-m2v2
根据牛顿第三定律可知，两球在相互作用的这段时间内，任何时刻的相互作力总是大小相等、方向相反、且在同一直线上所以二力的冲力气（平均作用力）也是大小相等、方向相反；即两力的冲量大小相等、方向相反。
表示为F·t=-F'·t
∴m1v'1-m1v1=m2v'2-m2v2
n1v1+m2v2=n1v'1+m2v'2
即P1+P2=P'1+P'2
式中P1+P2表示相互作用前系统的总动量，P'1+P'2表示相互作用后系统的总动量。
由此可得出：
相互作用的物体（由这些物体组成的系统），如果不受系统外力的作用（或系统所受的合外力为零，或受外力很小可忽略），它们总动量保持不变。
这就是动量守恒定律。
动量守恒定律的适用范围：
（1）只要是物体间相互作用，不管作用的结果如何，不管相互作用的力是什么力，不
管作用的强弱。
（2）所研究的系统无论是两个物体组成，还是多个物体组成。
（3）不管是由宏观物体组成，还是微观物体组成的系统。
（4）无论是高速运动的系统，还是低速运动的系统。
应用动量守恒定律的解题思路：
（1）根据题意分析系统各物体受力情况；
（2）根据受力分析确定研究系统（确定系统的范围，使系统不受外力）；
（3）分析系统内各物体在相互作用前后的运动状态，写出各物体首末状态的动量表达
式；
（4）选好坐标，根据动量守恒定律列方程；
（5）求解，必要时对结果进行讨论。
二、学海导航
思维基础
掌握好双基知识是开创创新思维的基础。
1.能确定冲量的方向
例：
钢球从高处自由落在水泥地面上，当球被弹起瞬间，钢球受到的冲量的方向为
。
分析：
确定物体受冲量是研究物体运动的一个基本功。
冲量的方向就是合外力的方向。
钢球掉在地上并弹起的瞬间是极短暂的，所以冲力很大。
在这一过程中小球受有重力和弹力，重力很小是定值，而弹力是变力且很大，所以合力竖直向上，则冲量方向竖直向上。
2.掌握分析物体始末状态能力，列出动量定理方程
例：
沿光滑水平面运动的装有细砂的小车，以5.0m/s的速度做匀速直线运动，如果在
0.5s内，小车内砂子的质量增加2kg，而小车仍保持5.0m/s的速度运动，则小车在0.5s内受到的合外力的平均值为。
分析：
分析物体始末状态并列出动量定理方程，这是本单元学习的一个重要的基本功。
小车运动的初态：
m·5m/s，末态（m+2）·5m/s运动方向一致。
∴ΔP=2×5kg·m/s。
根据F·Δt=ΔP，可列出方程：
F×0.5=2×5
∴F=20N
3.能领会动量的物理意义，分析实际问题
例：
关于物体的动量，下列说法中正确的是：
（1）动量是表示物体运动状态的量；
（2）力是改变物体动量的原因；
（3）冲量是改变物体动量的原因；
（4）物体的质量越大，其动量一定越大。
分析：
物体机械运动量的大小，是反映物体机械运动状态特征的物理量。
物体具有的
机械运动量的大小，不仅与速度有关，而且与质量有关。
动量就是一个反映物体具有机械运动量的大小的物理量，而动量的变化是由于力在时间上积累的效应，不是力的作用所致。
4.懂得冲量的作用效果,并能解释一些简单的物理现象
例:
人能从地面上跳起，使人能在短时间内暂离地面，这是因为：
（1）人具有竖直向上的惯性；
（2）人具有竖直向上的冲量；
（3）人受到竖直向上的冲量，从而使人产生向上的动量；
（4）地面对人的反作用力大于人对地面压力。
分析：
从冲量的作用效果就是使物体的动量发生改变，可分析本问题。
人受到地面给
的冲量的作用，所以使人获得向上的动量。
5.理解动量定理的物理意义
例：
根据动量定理，可认为：
（1）若物体动量的变化量一定，则物体受到的合外力与作用时间之积就保持定值；
（2）若物体动量的变化为一定值，则这一变化所用时间越长，物体受到的平均作用力
越小；
（3）若物体的动量不为零，但其动量的变化量永远为零，则物体一定做匀速直线运动；
（4）物体作自由落体运动时，每秒钟动量的变化相同。
分析：
在认清F·Δt=ΔP的物理意义后，再来研究这个问题就简单了。
该式就是表
明了物体动量的变化是冲量作用的效果。
抓住动量的变化量与冲量相等，来讨论这四个问题，问题就很清楚了。
ΔP一定，则F·t就一定；ΔP一定则F·t中，t增大，F就减小；ΔP=0，则F·t=0，其中t不为零，则F=0，合外力为零，物体做匀速直线运动；物体做自由落体运动时，只受到重力作用，因重力是一定的，所以该物体每秒钟动量变化相同。
6.能懂得动量定理表达式中各物理量的意义
例：
在动量定理表达式F·Δt=ΔP中：
（1）FΔt与ΔP是完全不同的物理意义；
（2）ΔP表示物体运动状态变化量，F·Δt是过程量；
（3）F·Δt是产生ΔP的原因；
（4）当ΔP一定时，Δt越大，F越小。
分析：
mv是个某时刻物体状态的量，而F·Δt表示了力在时间上的积累的效应。
ΔP=mvt-mv0是动量的变化量。
你在理解了上述物理量的物理意义后，你再分析这个问题就不难解决了。
7.在新的物理情景中，能根据ΔP的方向，确定冲量的方向,例1物体沿斜面的速度v匀速下滑到斜面底端后，又滑到光滑水平面上，并以速度v'沿平面匀速滑行。
则物体从斜面运动到水平面的过程中，受到冲量的方向为：
（1）沿斜面向下（与v同向）；
（2）沿水平面，方向与v'相同；
（3）受到冲量为零，不存在方向问题；
（4）受到的冲量方向与水平面垂直，方向竖直向上。
分析：
利用矢量运算的原理，mv'-mv，可画矢量三角形如图3-32。
图3-32
8.能运用动量定理解释某些物理现象
例：
跳高运动中，在运动员落地处放上厚厚的泡沫软垫，这是为了：
（1）减少运动员落地时受到的冲量；
（2）使运动员落地时，动量变化量ΔP减少；
（3）延长运动员与软垫作用的时间，减小作用力；
（4）因为ΔP一定，软垫延长了作用时间Δt，因而使运动员受到的冲击力减小，免
受伤害。
分析：
这和开始我们在指点迷津中做的鸡蛋下落实验的道理是一样的。
9.能清楚地理解系统动量守恒的条件
例：
相互作用的物体系统总动量守恒条件是：
必须使系统受到的合外力冲量为零，这是因为：
（1）当系统受到合外力冲量作用时，系统总动量将发生变化
（2）当系统受到合外力冲量作用时，系统内外将有动量发生传递；
（3）当系统受到合外力冲量作用时，系统总动量一定增加；
（4）当系统受到合外力冲量作用时，系统总动量一定减小。
分析：
当系统受到合外力冲量作用时，系统的总动量将发生变化，破坏了动量守恒，当然这个变化可能是总动量增加，也可能是总动量减少，所以
（1）、
（2）正确。
10.能灵活运用动量守恒定律，写出不同情况下的动量守恒表达式
例：
在光滑水平面内相互作用质点A、B。
已知作用前A的动量为P1，B的动量为零，
作用后B的动量为P'2，作用过程中A的动量变化为ΔP1，则作用前后A、B两质点总动量守恒的表达式为：
（1）P1=ΔP1+P'2
（2）P'2=-ΔP1
（3）ΔP1+P'2=0（4）ΔP1=P'2
分析：
初始态：
A动量P1，B动量为零。
末状态：
A动量为ΔP1+P1，B动量为P'2，根据动量守恒定律可列出：
ΔP1+P1+P'2=P1+0∴ΔP1+P'2=0。
也可变形为P'2=-ΔP1。
11.能利用动量守恒定律解决一些实际问题
例：
一颗练习用手榴弹，悬持在空中静止，引爆手榴弹后，裂成质量比为m1:
m2=2:
3的两块沿水平方向飞出，这两块弹片的动量之比为P1:
P2,速度之比为v1:
v2，每块弹片在水平方向上受到的冲量之比I1:
I2分别为：
（1）P1:
P2=2:
3，v1:
v2=3:
2，I1:
I2=1:
1
（2）P1:
P2=3:
2，v1:
v2=2:
3，I1:
I2=3:
2
（3）P1:
P2=1:
1，v1:
v2=3:
2，I1:
I2=1:
1
（4）P1:
P2=2:
3，v1:
v2=3:
2，I1:
I2=2:
3
分析：
根据牛顿第三定律可知：
相互作用的两物体之间的作用力大小相等，则它们之
间的冲量也相等。
所以这样就把分析范围缩小至
（1）、（3）两条上了。
而后再根据动量守恒定律再计算一下，问题就解决了。
12.应清楚地了解相互作用的物体间，相互交换的量是动量
例：
A、B两球，原来静止在光滑水平面上，现若A以某一速度冲向静止的小球B。
作用过程中A、B两球速度的变化量分别为ΔVA和ΔVB；A、B两球动量的变化量为ΔPA、ΔPB；A、B两球位置的变化量为ΔSA、ΔSB。
则上述量间大小的关系为：
（1）ΔVA=ΔVB，ΔPA=ΔPB，ΔSA=ΔSB一定成立；
（2）只有ΔVA=ΔVB一定成立；
（3）只有ΔPA=ΔPB一定成立；
（4）只有ΔSA=ΔSB一定成立。
分析：
两物体相互作用时，相互交换的量是动量。
所以只能是二者的动量的变化量相
等。
13.如图3-33所示，一人站在平板车上的A端，平板车静止在光滑水平面上当人从A端走向B端时，下列说法中正确的是：
图3-33
（1）人对车的压力的冲量，将使小车向后运动；
（2）人对车的摩擦力的冲量，使小车向后动；
（3）人对车的向前推力的冲量，使小车将向前运动；
（4）人与车的相互作用力相互抵消，小车不会运动。
分析：
先分析系统中物体所受的作用力，人受有重力，小车的运动力，人行走受小车
的摩擦力；小车受有重力，地面支持力和人的压力，人行走时，人对小车的摩擦力。
所以可看出重力是系统外力，因此在竖直方向动量不守恒；水平方向摩擦力是相互作用力，水平方向动量守恒。
然后再看动量的变化情况：
初始态二者静止所以总动量为零，当人走动时，其动量为mv，方向向右，设小车动量为P2，则根据动量守恒守律列出方程：
0=mv+P2，∴P2=-mv，其中负号表示了方向与人运动方向相反。
则
（2）正确。
学法指要
我们在解决问题时，就是要在掌握好上述基础知识的基础上，能灵活运用这些知识，去分析并解决实际问题。
例1：
质量为0.5kg的小球，从距水平钢板高为h1=5.0m处的A到点，由静止开始下落。
球碰到钢板后，被弹起到最大高为h2=4.05m的B点。
若小球从A点被弹起到B点经历的时间1.91s，不计空气阻力，取g=10，则球与钢板作用过程中，球受到的平均作用力多大？
分析：
这是一个综合性的问题，你先把该题求什么要弄清。
求这个平均作用力是从A落下再回到B的全过程的？
还是什么时候的？
第二个问题是利用什么知识求解？
第三个问题是要弄清利用该知识解题的步骤怎样的？
第四个问题是按这个步骤如何处理已知条件？
这就是解题思路。
在解题的过程中还有两个障碍：
一个是求球与钢板作用瞬间的作用力，为此你就得知道作用瞬间作用的时间。
可题目给的条件是球从A落下一直到球弹至B点所用的总的时间，必须减去从A点下落和弹起到B点的时间。
第二个障碍是球与钢板作用前后运动状态题目中没有直接给出，你还得看看如何根据已知去求出来。
此题你按上述思路考虑一下，把此题解出。
此题答案为950N。
注意分析力时别把重力丢了！
图3-34
例2：
如图3-35，质量为2kg的质点，在光滑水平面内从0点沿直线0x由静止开始作匀加速直线运动，其动量随位移x变化的规律是P=4
kg·m/s，则：
图3-35
（1）第4s末，质点的动量大小为多少？
（2）2s钟内，质点受到的冲量为多少？
（3）质点动量对时间的变化率为多少？
（4）质点从x=4m运动到x=16m的过程中，受到的冲量为多大？
分析：
（1）首先要弄清楚质点如何运动？
初速度为零的匀加速直线运动。
（2）从动量随位移x变化的规律可以知道些什么？
MVx=4
∴Vx=2
以上就是把已知条件分解开，然后可利用匀加速直线运动规律求出运动的加速度：
V
=2ax（2
）2=2av∴a=2（m/s2）
这样可根据运动学公式求出4s末的速度，即可求4s末质点的动量。
答案16kg·m/s。
同理求出2s末质点的动量，因其初动量为零，所以动量的增量，即是2s末质点的动
量。
答案：
8N·s。
（3）要弄清何为变化率？
变化率是表明某量变化快慢的量。
一定要与变化量分开（变化量指的是变化的多少）。
它们数学表达式要能分别写出。
动量的变化量为ΔP，而其变化率为ΔP/Δt，这样我们只要求出ΔP，用相应的时间Δt去除，即可求出动量对时间的变化率。
答案：
4N
（4）把前后的状态量，根据题意求出，利用动量定理公式，即能求该质点的冲量。
答案：
8N·s
例3：
在列车编组站，一辆质量为105kg的货车在平直轨道上以2m/s的速度运动，碰
上一辆静止的1.5×105kg的货车后，它们结合在一起，并一同向前运动，求它们共同前进的速度。
分析：
这题首先要通过题意看是研究一个物体受力及运动的还是研究相互作用的物体系的行为的。
在这一基础上我们就要考虑像这样的总是我们利用什么物理规律去研究它这里一定要特别记住：
物体相互作用时，它们要有动量的传递和交换，所以显然离不开动量守恒定律。
最后就是怎样用动量守恒定律去研究这一物理过程。
按解题思路去分析：
1.分析受力的情况：
竖直方向受重力、支持力，是一对平衡力。
水平方向：
二货车相
撞时，二者受到冲力，二车受摩擦力。
2.确定研究系统：
在撞击瞬间摩擦力远小于二者之冲力。
所以两个货车组成的系统在
相撞时动量守恒。
3.系统中物体相互作用前后的动量：
撞前：
第一辆货车运动：
m1v1=105×2
第二辆货车静止：
m2v2=0
撞后：
二者合为一体运动：
（m1+m2）v
4.选运动方向为坐标方向，列方程
m1v1+m2v2=（m1+m2）v
这样就可解出：
v=0.8m/s
思维体操
掌握住解题的基本思路，再复杂的问题也不会难倒我们。
复杂问题无外乎综合性强，我们在读懂题的基础上，弄清题目所述的物理情景，把题目所包含的各个物理过程分解开，每个过程都按其特定的规定去分析、思考，再把各物理过程联系起来，问题就迎刃而解了。
下面我们再通过一个例题，看如何灵活利用我们所掌握的知识去分析问题和解决问题，并且通过题目的变化，我们可以了解到有关物理问题一般设计方略。
例：
如图3-36示，质量m2=4kg，长l=1m的木板静止在光滑的水平面上，一质量为m1=1kg的木块以初速v1=6m/s从木板左端滑入，经过时间Δt=0.9s后从右端滑出，滑块速度变为v'1=4.4m/s，问滑块滑出后木板的速度多大？
图3-36
解法一：
研究m2运动，可认为m1对m2有作用力，在该力的冲量作用下，m2的动量发生变化。
即用动量定理去求解。
那么这种思路就要看m1是否对m2有作用力？
我们可从m1运动速度减小，判断m1与m2之间有摩擦力，∴m2的动量变化是由于摩擦力的冲量造成的。
这样就可以按动量定理的思路去分析求解。
分析：
这个物理情景是由两个物理过程综合的，第一，m1的动量减小是由m2对m1的摩擦力的冲量造成的。
第二，m2的动量增加是由m1对m2的摩擦力的冲量造成的。
在弄清了整个物理过程后就可根据动量定理的思考求解了。
解法二：
以m1、m2组成的系统为研究对象，它们在水平上只受相互作用的摩擦力作用，所以系统满足动量守恒的条件，这样我们就以系统的观点讨论清楚这一物理过程，可以按动量守恒定律的解题思路去求解。
解法三：
还可以用牛顿第二定律来求解。
这种解法的基本思路类似于解法一，先根据m1的运动，求出其加速度，而后再求m1受到的摩擦力。
根据牛顿第三定律可知：
m2受到的摩擦力，根据牛顿第二定律求出m2的加速度，最后求出m2的速度，解法如下：
先研究m1，其速度在0.2s内从v1变成v'1
可求出加速度：
v'1=v1+a1Δt∴a1=
=-8（m/s2）
利用第二定律可求：
f1=m1a1=-8（N）
根据第三定律可知f2是f1的反作用力
即f2=8N产生加速度f2=m2a2
a2=
=2（m/s2）
∴m2获得的速度：
v'2=a2Δt=0.4（m/s）
在这个题目的基础上，我们通过改变已知或求的内容，我们还可把原题变形。
变法1：
题目条件不变，求木块和木板各前进了多少米？
这是一个纯运动学的问题，你可以分别利用m1和m2的已知运动条件和前面求出的m1和m2的运动条件，利用运动学公式即可求出。
变法2：
质量、速度、相互摩擦等条件不变，要使木块不滑出木板，则木板最少多长？
分析：
先分析一下什么条件没变？
什么变了？
二者的质量和速度不变，而木板长变化了，二者相互作用时间也就随着改变了。
再分析一下什么是木块不滑出木板？
木块不滑出木板就是指木块最后与木板有相同的速度。
不滑出木板，木板的最少长度是什么意思？
这就是指：
木块刚好滑到木板边缘时而获得了相同速度，这个木板的长度。
在弄清上述问题后，就需要考虑解题方案了，这题也是有多种解法的。
在这里我们只从二者相互作用的角度来研究。
那么解题的组合是动量守恒定律和运动学过程。
m1以v1的速度运动到m2上，因二者间摩擦力作用的结果，m2开始运动，最后m1与m2获得相同速度。
这可以利用动量守恒定律来求解，求出共同的速度。
（v'=1.2m/s）
进一步可以根据二者速度的变化，以及上问的加速度，求出木块和木板分别的位移。
（S1=2.16m、S2=0.36m）
从图3-37上可看出木板长等于木块位移减去木板位移。
（l=1.80m）
z
图3-37
变法3：
木块不滑出木板，木块对木板的相互作用力多大？
作用时间为多长？
此题仍然可以利用动量守恒定律求
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