答案 D
4.直线y=kx+2与抛物线y2=8x只有一个公共点,则k的值为( )
A.1B.0
C.1或0D.1或3
解析 验证知,当k=0时,有⇒适合题意.
当k=1时,有解得也适合题意,
∴k=0或1.
答案 C
5.已知曲线+=1和直线ax+by+1=0(a,b为非零实数)在同一坐标系中,它们的图像可能为( )
解析 直线ax+by+1=0中,与x轴的交点为P(-,0),与y轴的交点为(0,-),在图A,B中,曲线表示椭圆,则a>b>0,直线与坐标轴负半轴相交,图形不符合.
在图C中,a>0,b<0,曲线为双曲线,直线与x轴负半轴相交,与y轴正半轴相交,适合.
答案 C
6.已知F是抛物线y=x2的焦点,P是该抛物线上的动点,则线段PF中点的轨迹方程是( )
A.x2=y-B.x2=2y-
C.x2=2y-1D.x2=2y-2
解析 由y=x2⇒x2=4y,焦点F(0,1),设PF中点为Q(x,y),P(x0,y0),则
∴又P(x0,y0)在抛物线上,
∴(2x)2=4(2y-1),即x2=2y-1.
答案 C
7.“m>n>0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 将方程mx2+ny2=1变形为+=1,它表示焦点在y轴上的椭圆的充要条件是
⇔⇔m>n>0.
答案 C
8.如图正方体A1B1C1D1-ABCD的侧面AB1内有动点P到直线AB与到直线B1C1的距离相等,则动点P所在的曲线的形状为( )
解析 点P到B1的距离等于到AB的距离,符合抛物线的定义.∵点P在正方形ABB1A1内运动,当P在BB1的中点适合,当点P与A1重合时,也适合,因此选C.
答案 C
9.动圆的圆心在抛物线y2=8x上,且动圆恒与直线x+2=0相切,则动圆必过点( )
A.(4,0)B.(2,0)
C.(0,2)D.(0,-2)
解析 直线x+2=0是抛物线的准线,又动圆圆心在抛物线上,由抛物线的定义知,动圆必过抛物线的焦点(2,0).
答案 B
10.设F1和F2是双曲线-y2=1的两个焦点,点P在双曲线上,且满足∠F1PF2=90°,则△F1PF2的面积为( )
A.1B.
C.2D.
解析 由题设知
②-①2得|PF1|·|PF2|=2.
∴△F1PF2的面积S=|PF1|·|PF2|=1.
答案 A
11.椭圆+=1(a>b>0)上任意一点到两焦点的距离分别为d1,d2,焦距为2c,若d1,2c,d2成等差数列,则椭圆的离心率为( )
A.B.
C.D.
解析 由椭圆的定义可知d1+d2=2a,
又由d1,2c,d2成等差数列,
∴4c=d1+d2=2a,∴e==.
答案 A
12.抛物线y=x2上到直线2x-y=4距离最近的点的坐标是( )
A.B.(1,1)
C.D.(2,4)
解析 设P(x,y)为抛物线y=x2上任一点,则P到直线2x-y=4的距离
d==
=.
∴当x=1时,d有最小值,此时,P(1,1).
答案 B
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分,把答案填在题中横线上)
13.(2012·安徽模拟)抛物线y2=8x的焦点坐标是________.
答案 (2,0)
14.设中心在原点的椭圆与双曲线2x2-2y2=1有公共的焦点,且它们的离心率互为倒数,则该椭圆的方程为________.
解析 双曲线-=1的焦点为F1(-1,0),F2(1,0).离心率e=.设椭圆的方程为+=1,依题意得
∴a2=2,b2=1.
故椭圆方程为+y2=1.
答案 +y2=1
15.已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2,焦点到渐近线的距离为6,则该双曲线的离心率为________.
解析 设双曲线的一条渐近线为y=x,一个顶点A(a,0),一个焦点F(c,0).则=2,=6,即ab=2c,bc=6c,
∴b=6,c=3a,∴e==3.
答案 3
16.过抛物线y2=4x的焦点,作倾斜角为的直线交抛物线于P,Q两点,O为坐标原点,则△POQ的面积等于__________.
解析 设P(x1,y1),Q(x2,y2),F为抛物线焦点,由得y2+4y-4=0,
∴|y1-y2|=
==4.
∴S△POQ=|OF||y1-y2|=2.
答案 2
三、解答题(本大题共6小题,满分70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)求与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦距,且离心率为的椭圆的标准方程.
解 把方程4x2+9y2=36写成+=1,则其焦距2c=2,∴c=.
又e==,∴a=5.
b2=a2-c2=52-5=20,
故所求椭圆的方程为+=1,或+=1.
18.(12分)已知直线x+y-1=0与椭圆x2+by2=相交于两个不同点,求实数b的取值范围.
解 由得(4b+4)y2-8y+1=0.
因为直线与椭圆相交于不同的两点,
所以,解得b<3,且b≠-1.
又方程x2+by2=表示椭圆,所以b>0,且b≠1.
综上,实数b的取值范围是{b|0<b<3且b≠1}.
19.(12分)已知双曲线中心在原点,且一个焦点为(,0),直线y=x-1与其相交于M,N两点,MN的中点的横坐标为-,求此双曲线的方程.
解 设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),依题意c=,∴方程可以化为-=1,
由得
(7-2a2)x2+2a2x-8a2+a4=0.
设M(x1,y1),N(x2、y2),则x1+x2=,
∵=-,
∴=-,解得a2=2.
∴双曲线的方程为-=1.
20.(12分)如右图线段AB过x轴正半轴上一定点M(m,0),端点A,B到x轴距离之积为2m,以x轴为对称轴,过A,O,B三点作抛物线.
(1)求抛物线方程;
(2)若·=-1,求m的值.
解
(1)设直线AB为y=k(x-m),抛物线方程为y2=2px.
由消去x,得
ky2-2py-2pkm=0.
∴y1·y2=-2pm.
又∵y1·y2=-2m,∴p=1,
∴抛物线方程为y2=2x.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
则=(x1,y1),=(x2,y2).
则·=x1x2+y1y2=+y1y2=m2-2m.
又·=-1,
∴m2-2m=-1,解得m=1.
21.(12分)已知双曲线x2-y2=4,直线l:
y=k(x-1),试讨论实数k的取值范围,使:
(1)直线l与双曲线有两个公共点;
(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点;
(3)直线l与双曲线没有公共点.
解 由消去y得x2-k2(x-1)2=4,
即(1-k2)x2+2k2x-4-k2=0.(*)
当1-k2≠0时,Δ=16-12k2=4(4-3k2).
(1)当即-<k<,且k≠±1时,方程(*)有两个不同的实数解;
(2)当即k=±时,方程(*)有两个相同的实数解;
(3)当即k<-,或k>时,方程(*)无实数解.
而当k=±1时,方程(*)变形为2x-5=0,x=,方程(*)也只有一解.
∴当-<k<-1,或-1<k<1,或1<k<时,直线与双曲线有两个公共点;
当k=±1,或k=±时,直线与双曲线有且只有一个公共点;
当k<-,或k>时,直线与双曲线没有公共点.
22.(12分)如图,在以点O为圆心,|AB|=4为直径的半圆ADB中,OD⊥AB,P是半圆弧上一点,∠POB=30°.曲线C是满足||MA|-|MB||为定值的动点M的轨迹,且曲线C过点P.
(1)建立适当的平面直角坐标系,求曲线C的方程;
(2)设过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点E,F.若△OEF的面积不小于2,求直线l斜率的取值范围.
解
(1)以O为原点,AB、OD所在直线分别为x轴、y轴,建立平面直角坐标系,则A(-2,0),B(2,0),D(0,2),P(,1),依题意得
||MA|-|MB||
=|PA|-|PB|
=-
=2<|AB|=4,
∴曲线C是以原点为中心,A,B为焦点的双曲线.
设实半轴长为a,虚半轴长为b,半焦距为c,
则c=2,2a=2,
∴a2=2,b2=c2-a2=2.
∴曲线C的方程为-=1.
(2)依题意,可设直线l的方程为y=kx+2,代入双曲线C的方程并整理得(1-k2)x2-4kx-6=0.①
∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F,
∴⇒
∴k∈(-,-1)∪(-1,1)∪(1,).②
设E(x1,y1),F(x2,y2),则由①式得
x1+x2=,x1x2=-,于是
|EF|=
=
=·
=·.
而原点O到直线l的距离d=,
∴S△OEF=d·|EF|
=···
=.
若△OEF面积不小于2,即S△OEF≥2,则有
≥2⇔k4-k2-2≤0,
解得-≤k≤③
综合②③知,直线l的斜率的取值范围为[-,-1)∪(-1,1)∪(1,].