第三讲正方形的性质与判定例题精讲和练习题及答案侯老师.docx

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第三讲正方形的性质与判定例题精讲和练习题及答案侯老师

第三讲正方形的性质与判定

1、知识要点

1．正方形的定义：

有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．

2．正方形的性质

正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质：

1边的性质：

对边平行，四条边都相等．

2角的性质：

四个角都是直角．

3对角线性质：

两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角．

4对称性：

正方形是中心对称图形，也是轴对称图形．

平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：

（如图）

3．正方形的判定

1：

对角线相等的菱形是正方形

2：

对角线互相垂直的矩形是正方形,正方形是一种特殊的矩形

3：

四边相等,有一个角是直角的四边形是正方形

4：

一组邻边相等的矩形是正方形

5：

一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形

2、典型例题

例1如图12-2-14，已知过正方形ABCD对角线BD上一点P，作PE⊥BC于E，作PF⊥CD于F．试说明AP＝EF．

分析：

由PE⊥BC，PF⊥CD知，四边形PECF为矩形，故有EF＝PC，这时只需证AP＝CP，由正方形对角线互相垂直平分知AP＝CP．

解：

连结AC、PC，

∵四边形ABCD为正方形，

∴BD垂直平分AC，

∴AP＝CP．

∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°，

∴四边形PECF为矩形，

∴PC＝EF，

∴AP＝EF．

注意：

①在正方形中，常利用对角线互相垂直平分证明线段相等．

②无论是正方形还是矩形经常通过连结对角线证题，这样可以使分散条件集中．

思考：

由上述条件是否可以得到AP⊥EF．

提示：

可以，延长AP交EF于N，由PE∥AB，有∠NPE＝∠BAN．

又∠BAN＝∠BCP，而∠BCP＝∠PFE，故∠NPE＝∠PFE，

而∠PFE＋∠PEF＝90°，所以∠NPE＋∠PEF＝90°，则AP⊥EF．

例2如图12-2-15，△ABC中，∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，试说明四边形BEDF是正方形．

解：

∵∠ABC＝90°，DE⊥BC，

∴DE∥AB，同理，DF∥BC，

∴BEDF是平行四边形．

∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，

∴DE＝DF．

又∵∠ABC＝90°，BEDF是平行四边形，

∴四边形BEDF是正方形．

思考：

还有没有其他方法？

提示：

（有一种方法可以证四边形DFBE为矩形，然后证BE＝DE，可得．另一种方法，可证四边形DFBE为菱形，后证一个角为90°可得）

注意：

灵活选择正方形的识别方法．

例3如图12-2-16所示，四边形ABCD是正方形，△ADE是等边三角形，求∠BEC的大小．

分析：

等边三角形和正方形都能提供大量的线段相等和角相等，常能产生一些等腰三角形，十分便于计算．在本题中，必须注意等边三角形与正方形不同的位置关系．在

（1）图中，△ABE和△DCE都是等腰三角形，顶角都是150°，可得底角∠AEB与∠DEC都是15°，则∠BEC为30°．而在

（2）图中，等边三角形在正方形内部，△ABE和△DCE是等腰三角形，顶角是30°，可得底角∠AEB和∠DEC为75°，再利用周角可求得∠BEC＝150°．

解：

（1）当等边△ADE在正方形ABCD外部时，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°，所以∠AEB＝15°．同理可得∠DEC＝15°，则∠BEC＝60°－15°－15°＝30°．

（2）当等边△ADE在正方形ABCD内部时，AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，所以∠AEB＝75°．同理可得∠DEC＝75°，则∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°．

【中考考点】

会用正方形的性质来解决有关问题，并能用正方形的定义来判断四边形是否为正方形．

【命题方向】

本节出题比较灵活，填空题、选择题、证明题均可出现．

正方形是特殊的平行四边形，考查正方形的内容，实质上是对平行四边形知识的综合，涉及正方形知识的题型较多，多以证明题形式出现．

【常见错误分析】

已知如图12-2-18，△ABC中，∠C＝90°，分别以AC和BC为边向外作正方形ACFH和正方形BCED，HM⊥BA的延长线于M，DK⊥AB的延长线于K．试说明AB＝DK＋HM．

错解：

延长DK到S，使KS＝HM，连结SB．

∵∠2＝∠3，∠2＋∠4＝90°，

∴∠3＋∠4＝90°．

在△ABC和△SDB中，

∵∠ACB＝∠SBD＝90°，

BC＝BD，

∠2＝90°－∠4＝∠5

∴△ABC与△SDB重合，

∴AB＝SD＝SK＋DK，

即AB＝HM＋DK．

分析指导：

由于S、B、C三点共线未经证明，所以∠2＝∠3的理由是不充足的，因此又犯了思维不严密的错误．

正解：

如图12-2-18，延长DK交CB延长线于S，下面证KS＝MH．

在△ACB和△SBD中，

∵BD＝BC，∠SBD＝∠ACB＝90°，

又∠2＝∠3＝∠5，

∴△ACB与△SBD重合，

∴AB＝DS，BS＝AC＝AH．

在△BKS和△AMH中，

∵∠1＝∠2＝∠3，∠AMH＝∠SKB＝90°，BS＝AH，

∴△BKS与△AMH重合，

∴KS＝HM，

∴AB＝DK＋HM．

【学习方法指导】

正方形是最特殊的平行四边形，它既是一组邻边相等的矩形，又是有一个角为直角的菱形，所以它的性质最多，易混淆．故最好把平行四边形、矩形、菱形、正方形列表写出它们的定义、性质、判定，这样更容易记忆和区分．

3、作业

正方形的判定

一．选择题（共8小题）

1．已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（　　）

A．选①②B．选②③C．选①③D．选②④

2．下列说法中，正确的是（　　）

A．相等的角一定是对顶角

B．四个角都相等的四边形一定是正方形

C．平行四边形的对角线互相平分

D．矩形的对角线一定垂直

3．下列命题中是假命题的是（　　）

A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

B．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形

C．一组邻边相等的平行四边形是菱形

D．一组邻边相等的矩形是正方形

4．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的有（　　）

①当AB=BC时，它是菱形；②当AC⊥BD时，它是菱形；③当∠ABC=90°时，它是矩形；④当AC=BD时，它是正方形．

A．1组B．2组C．3组D．4组

5．四边形ABCD的对角线AC=BD，AC⊥BD，分别过A、B、C、D作对角线的平行线，所成的四边形EFMN是（　　）

A．正方形B．菱形C．矩形D．任意四边形

6．如果要证明平行四边形ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上，进一步证明（　　）

A．AB=AD且AC⊥BDB．AB=AD且AC=BDC．∠A=∠B且AC=BDD．AC和BD互相垂直平分

7．下列命题中，真命题是（　　）

A．对角线相等的四边形是矩形

B．对角线互相垂直的四边形是菱形

C．对角线互相平分的四边形是平行四边形

D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形

8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（　　）

A．BC=ACB．CF⊥BFC．BD=DFD．AC=BF

二．填空题（共6小题）

9．能使平行四边形ABCD为正方形的条件是　_________　（填上一个符合题目要求的条件即可）．

10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AC，DF⊥BC，当△ABC满足条件　_________　时，四边形DECF是正方形．

（要求：

①不再添加任何辅助线，②只需填一个符合要求的条件）

11．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件：

　_________　，使得该菱形为正方形．

12．如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是　_________　．

13．已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是　_________　．

14．要使一个菱形成为正方形，需添加一个条件为　_________　．

三．解答题（共8小题）

15．已知：

如图，△ABC中，∠ABC=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F．求证：

四边形DEBF是正方形．

16．如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N．

（1）求证：

∠ADB=∠CDB；

（2）若∠ADC=90°，求证：

四边形MPND是正方形．

17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．

（1）求证：

CE=AD；

（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？

说明你的理由；

（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？

请说明你的理由．

18．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE．

（1）求证：

四边形ADCF是平行四边形．

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？

请说明理由．

19．如图，分别以线段AB的两个端点为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧交于M、N两点，连接MN，交AB于点D、C是直线MN上任意一点，连接CA、CB，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F．

（1）求证：

△AED≌△BFD；

（2）若AB=2，当CD的值为　_________　时，四边形DECF是正方形．

20．如图，AB是CD的垂直平分线，交CD于点M，过点M作ME⊥AC，MF⊥AD，垂足分别为E、F．

（1）求证：

∠CAB=∠DAB；

（2）若∠CAD=90°，求证：

四边形AEMF是正方形．

21．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．

（1）探究：

线段OE与OF的数量关系并加以证明；

（2）当点O运动到何处时，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？

（3）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE　_________　是菱形吗？

（填“可能”或“不可能”）

22．已知：

如图，△ABC中，点O是AC上的一动点，过点O作直线MN∥AC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角∠ACG的平分线于点F，连接AE、AF．

（1）求证：

∠ECF=90°；

（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？

请说明理由；

（3）在

（2）的条件下，△ABC应该满足条件：

　_________　，就能使矩形AECF变为正方形．（直接添加条件，无需证明）

参考答案与试题解析

一．选择题（共8小题）

1．已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（　　）

A．选①②B．选②③C．选①③D．选②④

考点：

正方形的判定；平行四边形的性质．

分析：

要判定是正方形，则需能判定它既是菱形又是矩形．

解答：

解：

A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；

B、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误，故本选项符合题意；

C、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；

D、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意．

故选：

B．

点评：

本题考查了正方形的判定方法：

①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；

②先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角．

③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．

2．下列说法中，正确的是（　　）

A．相等的角一定是对顶角

B．四个角都相等的四边形一定是正方形

C．平行四边形的对角线互相平分

D．矩形的对角线一定垂直

考点：

正方形的判定；对顶角、邻补角；平行四边形的性质；矩形的性质．

分析：

根据对顶角的定义，正方形的判定，平行四边形的性质，矩形的性质对各选项分析判断利用排除法求解．

解答：

解：

A、相等的角一定是对顶角错误，例如，角平分线分成的两个角相等，但不是对顶角，故本选项错误；

B、四个角都相等的四边形一定是矩形，不一定是正方形，故本选项错误；

C、平行四边形的对角线互相平分正确，故本选项正确；

D、矩形的对角线一定相等，但不一定垂直，故本选项错误．

故选：

C．

点评：

本题考查了正方形的判定，平行四边形的性质，矩形的性质，对顶角的定义，熟记各性质与判定方法是解题的关键．

3．下列命题中是假命题的是（　　）

A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

B．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形

C．一组邻边相等的平行四边形是菱形

D．一组邻边相等的矩形是正方形

考点：

正方形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定．

专题：

证明题．

分析：

做题时首先熟悉各种四边形的判定方法，然后作答．

解答：

解：

A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，（平行四边形判定定理）；正确．

B、一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形，不一定是矩形，还可能是不规则四边形，错误．

C、一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确；

D、一组邻边相等的矩形是正方形，正确．

故选B．

点评：

本题主要考查各种四边形的判定，基础题要细心．

4．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的有（　　）

①当AB=BC时，它是菱形；②当AC⊥BD时，它是菱形；③当∠ABC=90°时，它是矩形；④当AC=BD时，它是正方形．

A．1组B．2组C．3组D．4组

考点：

正方形的判定；平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定．

分析：

根据邻边相等的平行四边形是菱形可判断①正确；根据所给条件可以证出邻边相等，可判断②正确；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可判断③正确；根据

对角线相等的平行四边形是矩形可以判断出④错误．

解答：

解：

①根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：

四边形ABCD是平行四边形，当AB=BC时，它是菱形正确；

②∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BO=OD，

∵AC⊥BD，

∴AB2=BO2+AO2，AD2=DO2+AO2，

∴AB=AD，

∴四边形ABCD是菱形，故②正确；

③根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可知③正确；

④根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当AC=BD时，它是矩形，不是正方形，故④错误；

故不正确的有1个．

故选：

A．

点评：

此题主要考查了菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定，关键是熟练掌握三种特殊平行四边形的判定定理．

5．四边形ABCD的对角线AC=BD，AC⊥BD，分别过A、B、C、D作对角线的平行线，所成的四边形EFMN是（　　）

A．正方形B．菱形C．矩形D．任意四边形

考点：

正方形的判定．

分析：

根据平行线的性质和判定得出∠NAO=∠AOD=∠N=90°，EN=NM=FM=EF，进而判断即可．

解答：

证明：

如图所示：

∵分别过A、B、C、D作对角线的平行线，

∴AC∥MN∥EF，EN∥BD∥MF，

∵对角线AC=BD，AC⊥BD，

∴∠NAO=∠AOD=∠N=90°，EN=NM=FM=EF，

∴四边形EFMN是正方形．

故选：

A．

点评：

此题主要考查了正方形的判定以及平行线的性质和判定等知识，熟练掌握正方形的判定定理是解题关键．

6．如果要证明平行四边形ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上，进一步证明（　　）

A．AB=AD且AC⊥BDB．AB=AD且AC=BDC．∠A=∠B且AC=BDD．AC和BD互相垂直平分

考点：

正方形的判定．

分析：

根据正方形的判定对各个选项进行分析从而得到最后的答案．

解答：

解：

A、根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，或者对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以不能判断平行四边形ABCD是正方形；

B、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形为矩形，所以能判断四边形ABCD是正方形；

C、一组邻角相等的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形也是矩形，即只能证明四边形ABCD是矩形，不能判断四边形ABCD是正方形；

D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以不能判断四边形ABCD是正方形．

故选B．

点评：

本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：

①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；

②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．

7．下列命题中，真命题是（　　）

A．对角线相等的四边形是矩形

B．对角线互相垂直的四边形是菱形

C．对角线互相平分的四边形是平行四边形

D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形

考点：

正方形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；命题与定理．

分析：

A、根据矩形的定义作出判断；

B、根据菱形的性质作出判断；

C、根据平行四边形的判定定理作出判断；

D、根据正方形的判定定理作出判断．

解答：

解：

A、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形；故本选项错误；

B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误；

C、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项正确；

D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误；

故选C．

点评：

本题综合考查了正方形、矩形、菱形及平行四边形的判定．解答此题时，必须理清矩形、正方形、菱形与平行四边形间的关系．

8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（　　）

A．BC=ACB．CF⊥BFC．BD=DFD．AC=BF

考点：

正方形的判定；线段垂直平分线的性质．

分析：

根据中垂线的性质：

中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE=EC，BF=FC进而得出四边形BECF是菱形；由菱形的性质知，以及菱形与正方形的关系，进而分别分析得出即可．

解答：

解：

∵EF垂直平分BC，

∴BE=EC，BF=CF，

∵BF=BE，

∴BE=EC=CF=BF，

∴四边形BECF是菱形；

当BC=AC时，

∵∠ACB=90°，

则∠A=45°时，菱形BECF是正方形．

∵∠A=45°，∠ACB=90°，

∴∠EBC=45°

∴∠EBF=2∠EBC=2×45°=90°

∴菱形BECF是正方形．

故选项A正确，但不符合题意；

当CF⊥BF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项B正确，但不符合题意；

当BD=DF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项C正确，但不符合题意；

当AC=BF时，无法得出菱形BECF是正方形，故选项D错误，符合题意．

故选：

D．

点评：

本题考查了菱形的判定和性质及中垂线的性质、直角三角形的性质、正方形的判定等知识，熟练掌握正方形的相关的定理是解题关键．

二．填空题（共6小题）

9．能使平行四边形ABCD为正方形的条件是　AC=BD且AC⊥BD　（填上一个符合题目要求的条件即可）．

考点：

正方形的判定；平行四边形的性质．

专题：

开放型．

分析：

对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形，矩形和菱形的结合体是正方形．

解答：

解：

可添加对角线相等且对角线垂直或对角线相等，且一组邻边相等；或对角线垂直，有一个内角是90°．答案不唯一，此处填：

AC=BD且AC⊥BD．

点评：

本题考查正方形的判定，需注意它是菱形和矩形的结合．

10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AC，DF⊥BC，当△ABC满足条件　AC=BC　时，四边形DECF是正方形．

（要求：

①不再添加任何辅助线，②只需填一个符合要求的条件）

考点：

正方形的判定．

专题：

计算题；开放型．

分析：

由已知可得四边形的四个角都为直角，因此再有四边相等即是正方形添加条件．此题可从四边形DECF是正方形推出．

解答：

解：

设AC=BC，即△ABC为等腰直角三角形，

∵∠C=90°，DE垂直平分AC，DF⊥BC，

∴∠C=∠CED=∠EDF=∠DFC=90°，

DF=

AC=CE，

DE=

BC=CF，

∴DF=CE=DE=CF，

∴四边形DECF是正方形，

故答案为：

AC=BC．

点评：

此题考查的知识点是正方形的判定，解题的关键是可从四边形DECF是正方形推出△ABC满足的条件．

11．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件：

　AC=BD或AB⊥BC　，使得该菱形为正方形．

考点：

正方形的判定；菱形的性质．

专题：

压轴题．

分析：

根据正方形判定定理进行分析．

解答：

解：

根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：

AC=BD；

根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加的：

AB⊥BC；

故添加的条件为：

AC=BD或AB⊥BC．

点评：

本题答案不唯一，根据菱形与正方形的关系求解．

12．如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是　AC=BD或AB⊥BC　．

考点：

正方形的判定；菱形的判定．

专题：

开放型．

分析：

根据菱形的判定定理及正方形的判定定理即可解答．

解答：

解：

∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA

∴四边形ABCD是菱形

∴要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是：

AC=BD或AB⊥BC．

点评：

解答此题的关键是熟练掌握正方形的判定定理，即有一个角是直角的菱形是正方形．

13．已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是　AB=AD或AC⊥BD等　．

考点：

正方形的判定；矩形的判定与性质．

专题：

开放型．

分析：

由已知可得四边形ABCD是矩形，则可根据有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形添加条件．

解答：

解：

由∠A=∠B=∠C=90°可知四边形ABCD是矩形，根据根据有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形，得到应该添加的条件