版高考数学理刷题小卷练 32椭圆的定义标准方程及性质.docx

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版高考数学理刷题小卷练32椭圆的定义标准方程及性质

刷题增分练32　椭圆的定义、标准方程及性质

刷题增分练小题基础练提分快

一、选择题

1．椭圆＋y2＝1的离心率为（　　）

A.B.

C.D．2

答案：

B

解析：

由题意得a＝2，b＝1，则c＝，所以椭圆的离心率e＝＝，故选B.

2．[2019·佛山模拟]若椭圆mx2＋ny2＝1的离心率为，则＝（　　）

A.B.

C.或D.或

答案：

D

解析：

若焦点在x轴上，则方程化为＋＝1，依题意得＝，所以＝；若焦点在y轴上，则方程化为＋＝1，同理可得＝.所以所求值为或.

3．过椭圆4x2＋y2＝1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，则A与B和椭圆的另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为（　　）

A．2B．4

C．8D．2

答案：

B

解析：

因为椭圆方程为4x2＋y2＝1，所以a＝1.根据椭圆的定义，知△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝（|AF1|＋|AF2|）＋（|BF1|＋|BF2|）＝4a＝4.

4．[2018·全国卷Ⅱ]已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为（　　）

A．1－B．2－

C.D.－1

答案：

D

解析：

在Rt△PF1F2中，∠PF2F1＝60°，不妨设椭圆焦点在x轴上，且焦距|F1F2|＝2，则|PF2|＝1，|PF1|＝，

由椭圆的定义可知，方程＋＝1中，2a＝1＋，2c＝2，

得a＝，c＝1，

所以离心率e＝＝＝－1.故选D.

5．[2019·河南豫北重点中学联考]已知点P是椭圆＋y2＝1（a>1）上的点，A，B是椭圆的左、右顶点，则△PAB的面积为（　　）

A．2B.

C.D．1

答案：

D

解析：

由题可得＋＝1，∴a2＝2，解得a＝（负值舍去），则S△PAB＝×2a×＝1，故选D.

6．[2019·河南安阳模拟]已知F1，F2分别是椭圆＋＝1（a>b>0）的左、右焦点，P为椭圆上一点，且·（＋）＝0（O为坐标原点）．若||＝||，则椭圆的离心率为（　　）

A.－B.

C.－D.

答案：

A

解析：

以OF1，OP为邻边作平行四边形，根据向量加法的平行四边形法则，由·（＋）＝0知此平行四边形的对角线互相垂直，则此平行四边形为菱形，∴|OP|＝|OF1|，∴△F1PF2是直角三角形，即PF1⊥PF2.设|PF2|＝x，则

∴∴e＝＝＝－，故选A.

7．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为（　　）

A．2B．3

C．6D．8

答案：

C

解析：

由椭圆＋＝1可得F（－1,0），点O（0,0），设P（x，y）（－2≤x≤2），则·＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3＝x2＋x＋3＝（x＋2）2＋2，－2≤x≤2，当且仅当x＝2时，·取得最大值6.

8．[2019·黑龙江大庆模拟]已知直线l：

y＝kx与椭圆C：

＋＝1（a>b>0）交于A，B两点，其中右焦点F的坐标为（c,0），且AF与BF垂直，则椭圆C的离心率的取值范围为（　　）

A.B.

C.D.

答案：

C

解析：

由AF与BF垂直，运用直角三角形斜边的中线即为斜边的一半，可得|OA|＝|OF|＝c，由|OA|>b，即c>b，可得c2>b2＝a2－c2，即c2>a2，可得

二、非选择题

9．[2019·河南开封模拟]如图，已知圆E：

（x＋）2＋y2＝16，点F（，0），P是圆E上任意一点．线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q.则动点Q的轨迹Γ的方程为________．

答案：

＋y2＝1

解析：

连接QF，因为Q在线段PF的垂直平分线上，所以|QP|＝|QF|，得|QE|＋|QF|＝|QE|＋|QP|＝|PE|＝4.又|EF|＝2<4，得Q的轨迹是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆即＋y2＝1.

10．[2019·金华模拟]如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在x轴上，且焦距为的椭圆，则椭圆的短轴长为________．

答案：

解析：

方程x2＋ky2＝2可化为＋＝1，则2＋＝2⇒＝，∴短轴长为2×＝.

11．[2019·陕西检测]已知P为椭圆＋＝1（a>b>0）上一点，F1，F2是其左、右焦点，∠F1PF2取最大值时cos∠F1PF2＝，则椭圆的离心率为________．

答案：

解析：

易知∠F1PF2取最大值时，点P为椭圆＋＝1与y轴的交点，由余弦定理及椭圆的定义得2a2－＝4c2，即a＝c，所以椭圆的离心率e＝＝.

12．已知椭圆C：

＋＝1与圆M：

x2＋y2＋2x＋2－r2＝0（0

答案：

1

解析：

由题可得，圆心为M（－，0），P（0，）．设切线方程为y＝kx＋.由点到直线的距离公式得，d＝＝r，

化简得（2－r2）k2－4k＋（2－r2）＝0，则k1k2＝1.

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一、选择题

1．[2019·河北联考]以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为（　　）

A．1　B.

C．2D．2

答案：

D

解析：

设a，b，c分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，依题意知，×2cb＝1⇒bc＝1,2a＝2≥2＝2，当且仅当b＝c＝1时，等号成立．故选D.

2．[2019·深圳模拟]过点（3,2）且与椭圆3x2＋8y2＝24有相同焦点的椭圆方程为（　　）

A.＋＝1B.＋＝1

C.＋＝1D.＋＝1

答案：

C

解析：

椭圆3x2＋8y2＝24的焦点为（±，0），可得c＝，设所求椭圆的方程为＋＝1，可得＋＝1，又a2－b2＝5，得b2＝10，a2＝15，所以所求的椭圆方程为＋＝1.故选C.

3．一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P（2，）是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的方程为（　　）

A.＋＝1B.＋＝1

C.＋＝1D.＋＝1

答案：

A

解析：

设椭圆的标准方程为＋＝1（a>b>0）．由点P（2，）在椭圆上知＋＝1.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即2a＝2×2c，＝，又c2＝a2－b2，联立得a2＝8，b2＝6，故椭圆方程为＋＝1.

4．[2018·全国卷Ⅱ]已知F1，F2是椭圆C：

＋＝1（a>b>0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为（　　）

A.B.

C.D.

答案：

D

解析：

如图，作PB⊥x轴于点B.

由题意可设|F1F2|＝|PF2|＝2，则c＝1，

由∠F1F2P＝120°，

可得|PB|＝，|BF2|＝1，

故|AB|＝a＋1＋1＝a＋2，

tan∠PAB＝＝＝，解得a＝4，

所以e＝＝.

故选D.

5．[2019·广西桂林柳州联考]已知点P是以F1，F2为焦点的椭圆＋＝1（a>b>0）上一点．若PF1⊥PF2，tan∠PF2F1＝2，则椭圆的离心率e为（　　）

A.B.

C.D.

答案：

A

解析：

∵点P是以F1，F2为焦点的椭圆＋＝1（a>b>0）上一点，PF1⊥PF2，tan∠PF2F1＝2，∴＝2.设|PF2|＝x，则|PF1|＝2x，由椭圆定义知x＋2x＝2a，∴x＝，∴|PF2|＝，则|PF1|＝.由勾股定理知|PF2|2＋|PF1|2＝|F1F2|2，解得c＝a，∴e＝＝.故选A.

6．已知F1，F2是椭圆＋＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点．在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为　（　　）

A．6B．5

C．4D．3

答案：

A

解析：

根据椭圆定义，知△AF1B的周长为4a＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6.

7．[2019·贵州遵义联考]已知m是两个数2,8的等比中项，则圆锥曲线x2＋＝1的离心率为（　　）

A.或B.或

C.D.

答案：

B

解析：

由题意得m2＝16，解得m＝4或m＝－4.

当m＝4时，曲线方程为x2＋＝1，故其离心率e1＝＝＝＝；

当m＝－4时，曲线方程为x2－＝1，故其离心率e2＝＝＝＝.

所以曲线的离心率为或.故选B.

8．若椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2（a>b>0）和圆x2＋y2＝2有四个交点，其中c为椭圆的半焦距，则椭圆的离心率e的取值范围为（　　）

A.B.

C.D.

答案：

A

解析：

由题意可知，椭圆的上、下顶点在圆内，左、右顶点在圆外，则整理得解得

二、非选择题

9．[2019·铜川模拟]已知椭圆＋＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆交于点A、B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是________．

答案：

3

解析：

如图，设椭圆的右焦点为E，连接AE、BE.由椭圆的定义得，△FAB的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|＝|AB|＋（2a－|AE|）＋（2a－|BE|）＝4a＋|AB|－|AE|－|BE|.∵|AE|＋|BE|≥|AB|，

∴|AB|－|AE|－|BE|≤0，∴|AB|＋|AF|＋|BF|＝4a＋|AB|－|AE|－|BE|≤4a.当直线AB过点E时取等号，此时直线x＝m＝c＝1，把x＝1代入椭圆＋＝1得y＝±，∴|AB|＝3.∴当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是×3×|EF|＝×3×2＝3.

10．[2019·辽宁沈阳东北育才学校月考]已知椭圆C：

＋＝1（a>b>0），A，B是C的长轴的两个端点，点M是C上的一点，满足∠MAB＝30°，∠MBA＝45°.设椭圆C的离心率为e，则e2＝________.

答案：

1－

解析：

由椭圆的对称性，设M（x0，y0），y0>0，A（－a,0），B（a,0）．因为∠MAB＝30°，∠MBA＝45°，所以kBM＝＝－1，kAM＝＝.又因为＋＝1，三等式联立消去x0，y0可得＝＝1－e2，所以e2＝1－.

11．[2019·云南昆明月考]已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆E过点C（0,1），离心率为.

（1）求椭圆E的方程；

（2）直线l过椭圆E的左焦点F，且与椭圆E交于A，B两点，若△OAB的面积为，求直线l的方程．

解析：

（1）设椭圆E的方程为＋＝1（a>b>0），

由已知得解得a2＝2，b2＝1，

所以椭圆E的方程为＋y2＝1.

（2）由已知，直线l过左焦点F（－1,0）．

当直线l与x轴垂直时，A，B，

此时|AB|＝，则S△OAB＝××1＝，不满足条件．

当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k（x＋1），A（x1，y2），B（x2，y2）．

由得（1＋2k2）x2＋4k2x＋2k2－2＝0，

所以x1＋x2＝－，x1x2＝.

因为S△OAB＝|OF|·|y1－y2|＝|y1－y2|，

由已知S△OAB＝得|y1－y2|＝.

因为y1＋y2＝k（x1＋1）＋k（x2＋1）＝k（x1＋x2）＋2k＝k·＋2k＝，

y1y2＝k（x1＋1）·k（x2＋1）＝k2（x1x2＋x1＋x2＋1）＝，

所以|y1－y2|＝

＝

＝，

所以k4＋k2－2＝0，解得k＝±1，

所以直线l的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.