32导数在实际问题中的应用 教案北师大版选修22.docx

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32导数在实际问题中的应用教案北师大版选修22

§2导数在实际问题中的应用

2．1　实际问题中导数的意义

2．2　最大值、最小值问题

（教师用书独具）

●三维目标

1．知识与技能

（1）引导学生从导数的定义出发，发现实际问题中导数的意义，探索导数在研究实际问题中的方法；引导学生发现闭区间上连续函数存在最值，探求导数求最值的方法和步骤；

（2）简单运用导数求解实际问题，求函数的最值问题．

2．过程与方法

通过导数实际意义的探究，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力和挖掘问题本质特征的能力；通过函数最值的研究和求解，掌握导数法研究函数的策略，培养学生独立解决问题的能力，体会数形结合和分类讨论的数学方法．

3．情感、态度与价值观

（1）通过对导数实际意义的探究学习，体会数学与生活的关系及数学的应用价值，培养探索精神和创新意识；

（2）通过函数最值的探究和应用，体会导数在研究函数中的作用，学习用数学的思维方式解决问题，领会数学的价值．

●重点难点

重点：

通过具体问题的研究，会求导数在实际问题中的意义；掌握导数法求最值的步骤．

难点：

导数在实际问题中的意义的判断，极值与最值的关系．

教学时，从具体实际问题出发，引导学生从数学角度和实际意义出发，将函数值、自变量同实际问题结合，并从导数的定义出发阐述导数的实际意义，从而突破难点．

从具体问题中研究函数的极值与最值，并通过运算求解发现极值与最值的关系，掌握导数法求最值的步骤，并通过练习强化重点．

（教师用书独具）

●教学建议

本节内容安排在学生学习了导数的概念，用导数研究函数的单调性、极值之后，是对前面所学知识的应用，也是对导数本质特征的深化．所以本节内容可以在学生熟悉的方面入手，以问题为导引，揭示导数在具体问题中的实际意义，并研究函数的最值．本节课宜采取问题导引式课堂教学模式，即在教师精心准备的问题的指引下，通过学生独立思考及合作交流，使学生充分质疑、探究下，认识导数，运用导数.

●教学流程

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课标解读

1.了解实际问题中导数的意义及最大值，最小值的概念．（难点）

2.理解函数的最值与导数的关系．（重点）

3.掌握利用导数求函数的最值及由导数解决实际中的优化问题．（难点）

导数的实际意义

【问题导思】　

问题：

某人拉动一个物体前进，他所做的功W（单位：

J）是时间t（单位：

s）的函数，设这个函数可以表示为W＝w（t）＝t3－4t2＋10t.

（1）t从1s到4s时W关于t的平均变化率是多少？

（2）上述问题的实际意思什么？

（3）W′

（1）的实际意义是什么？

【提示】　

（1）＝＝11（J/s）．

（2）它表示从t＝1s到t＝4s这段时间内，这个人平均每秒做功11J.

（3）W′（t）＝3t2－8t＋10.W′

（1）＝5表示在t＝1s时每秒做功5J.

在日常生活和科学领域中，有许多需要用导数概念来理解的量．例如中学物理中，速度是路程关于时间的导数，线密度是质量关于长度的导数，功率是功关于时间的导数等．

函数的最值与导数

1.最大值点与最小值点

函数y＝f（x）在区间[a，b]上的最大值点x0指的是：

函数在这个区间上所有点的函数值都不超过f（x0）．

函数y＝f（x）在区间[a，b]上的最小值点x0指的是：

函数在这个区间上所有点的函数值都不低于f（x0）．

2．最大值与最小值

最大（小）值或者在极大（小）值点取得，或者在区间的端点取得．因此，要想求函数的最大（小）值，应首先求出函数的极大（小）值点，然后将所有极大（小）值点与区间端点的函数值进行比较，其中最大（小）的值即为函数的最大（小）值．

函数的最大值和最小值统称为最值.

导数在日常生活中的意义

　日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用也不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为x%时所需费用（单位：

元）为c（x）＝（80

（1）求c′（x）；

（2）求c′（90），c′（98），并解释它们的实际意义．

【思路探究】　

（1）利用导数的求导法则求出c′（x）；

（2）分别将x＝90,98代入，即可求出c′（90），c′（98），又c′（x）是净化费用的瞬时变化率，从而可知c′（90），c′（98）的实际意义．

【自主解答】　

（1）c′（x）＝（）′

＝

＝＝.

（2）c′（90）＝＝52.84（元/吨），

c′（98）＝＝1321（元/吨）．

因为函数的导数是净化费用的瞬时变化率．所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是52.84元/吨．同样，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是1321元/吨．

函数f（x）在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，c′（98）＝25c′（90），它表示纯净度为98%左右时净化费用的变化率大约是纯净度为90%左右时净化费用变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快．

一杯80℃的热红茶置于20℃的房间里，它的温度会逐渐下降，温度T（单位：

℃）与时间t（单位：

min）之间的关系由函数T＝f（t）给出．请问：

（1）f′（t）的符号是什么？

为什么？

（2）f′（3）＝－4的实际意义是什么？

【解】　

（1）由题意可知f′（t）<0，因为红茶温度在下降．

（2）f′（3）＝－4的实际意义是：

t＝3min时，温度的瞬时变化率，即3min附近时，红茶约以4℃/min的速度下降.

求函数的最值

　求函数f（x）＝4x3＋3x2－36x＋5在区间[－2,3]上的最大值与最小值．

【思路探究】　求函数的最值与求函数的极值相似，先列出表格，再进行判断，从而求出最值．

【自主解答】　∵f′（x）＝12x2＋6x－36，

令f′（x）＝0，得：

2x2＋x－6＝0，∴x＝－2或.

当x变化时，f′（x），f（x）变化情况如表所示：

x

－2

（－2，）

（，3）

3

f′（x）

0

－

0

＋

＋

f（x）

57

↘

－

↗

32

∴f（x）在x＝处取极小值，且f（）＝－.

又∵f（－2）＝57，f（3）＝32，∴f（x）的最大值为f（－2）＝57，

f（x）的最小值为f（）＝－.

1．本题也可以不用判断f（）为极小值，直接与端点值f（－2），f（3）进行比较即可．

2．求f（x）在[a，b]上的最值的步骤为：

（1）求f（x）在（a，b）内的极值点；

（2）求出f（x）在区间端点和极值点的值；

（3）将上述值比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值．

设函数f（x）＝ln（2x＋3）＋x2.

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）求f（x）在区间[－，]上的最大值和最小值．

【解】　f（x）的定义域为（－，＋∞）．

（1）f′（x）＝＋2x＝＝.

当－＜x＜－1时，f′（x）＞0；当－1＜x＜－时，f′（x）＜0；当x＞－时，f′（x）＞0.

所以f（x）分别在区间（－，－1），（－，＋∞）上单调增加，在区间（－1，－）上单调减少．

（2）由

（1）知f（x）在区间[－，]上的最小值为f（－）＝ln2＋.

又f（－）－f（）＝ln＋－ln－＝ln＋＝（1－ln）＜0.

所以f（x）在区间[－，]的最大值为f（）＝＋ln.

已知函数最值求参数

　已知函数f（x）＝ax3－6ax2＋b在[－1,2]上有最大值3，最小值－29，求a，b的值．

【思路探究】　→→

【自主解答】　依题意，显然a≠0.

因为f′（x）＝3ax2－12ax＝3ax（x－4），x∈[－1,2]，

所以令f′（x）＝0，解得x1＝0，x2＝4（舍去）．

（1）若a>0，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x

[－1,0）

0

（0,2]

f′（x）

＋

0

－

f（x）

↗

极大值

↘

由上表知，当x＝0时，f（x）取得最大值，所以f（0）＝b＝3.

又f

（2）＝－16a＋3，f（－1）＝－7a＋3，故f（－1）>f

（2），

所以当x＝2时，f（x）取得最小值，即－16a＋3＝－29，得a＝2.

（2）若a<0，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x

[－1,0）

0

（0,2]

f′（x）

－

0

＋

f（x）

↘

极小值

↗

所以当x＝0时，f（x）取得最小值，所以f（0）＝b＝－29.

又f

（2）＝－16a－29，f（－1）＝－7a－29，故f

（2）>f（－1）．

所以当x＝2时，f（x）取得最大值，即－16a－29＝3，得a＝－2.

综上所述，所以a，b的值为或

1．本题解题的关键是利用函数的单调性确定某些极值就是函数的最值，由于系数a的符号对函数的单调性有直接的影响，其最值也受a的符号影响．因此，需要对a进行分类讨论．

2．运用最值的定义，逆向思考，由已知向未知转化，通过待定系数法，列出相应的方程，从而得出参数的值．

已知f（x）＝2x3－6x2＋m（m为常数）在[－2,2]上的最大值为3，求f（x）在该区间上的最小值．

【解】　由导数公式表和求导法则，可得f′（x）＝6x2－12x.

令f′（x）＝6x2－12x＝0，解得x1＝0，x2＝2.

根据x1，x2列表，分析f′（x）的符号和函数的单调性：

x

－2

（－2,0）

0

（0,2）

2

f′（x）

48

＋

0

－

0

f（x）

m－40

↗

m

↘

m－8

由上表可知，当x＝0时，f（x）取得极大值，也就是函数在[－2,2]上的最大值，所以f（0）＝3，即m＝3.

又f（－2）＝m－40，f

（2）＝m－8，f（－2）

（2），所以当x＝－2时函数取得最小值，又f（－2）＝m－40＝3－40＝－37，所以函数在区间[－2,2]上的最小值为－37.

最值问题的实际应用

　如图3－2－1，某工厂拟建一座平面图为矩形，且面积为200m2的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16m，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元（池壁厚度忽略不计，且池无盖）．

图3－2－1

（1）写出总造价y（元）与污水处理池长x（m）的函数关系式，并指出其定义域．

（2）污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？

并求出最低总造价．

【思路探究】　→→→→→

【自主解答】　

（1）设长为xm，则宽为m.

据题意，

解得≤x≤16，

y＝（2x＋2·）×400＋×248＋16000

＝800x＋＋16000（≤x≤16），

（2）令y′＝800－＝0，

解得x＝18.

当x∈（0,18）时，函数y为减函数；

当x∈（18，＋∞）时，函数y为增函数．

又∵≤x≤16，

∴当x＝16时，ymin＝45000.

∴当且仅当长为16m、宽为12.5m时，总造价y最低为45000元．

1．选取合适的量为自变量，并根据条件确定其范围及正确列出函数的关系式是解答本题的关键．

2．解有关实际问题的最大值、最小值时，要注意以下几点：

（1）设出两个变量，依据题意分析它们的关系，把变量转化成函数关系；

（2）确定函数关系式中自变量的定义区间；（3）求函数的最大值或最小值；（4）所得结果要符合问题的实际意义．

甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产需占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失