初中数学几何一般证题途径.docx

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初中数学几何一般证题途径

初中数学几何一般证题途径

证明两线段相等

1.两全等三角形中对应边相等

2.同一三角形中等角对等边

3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边

4.平行四边形的对边相等；对角线被交点分成的两段相等

5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等

6.线段垂直平分线上任意一点到线段两端距离相等

7.角平分线上任一点到角的两边距离相等

8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等

9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦相等；与圆心等距的两弦相等；等圆心角、圆周角所对的弦相等

10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等；圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等

11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等

12.两圆的内（外）公切线的长相等

13.等于同一线段的两条线段相等

证明两个角相等

1.两全等三角形的对应角相等

2.同一三角形中等边对等角

3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角

4.两条平行线的同位角相等、内错角相等；平行四边形的对角相等

5.同角（或等角）的余角（或补角）相等

6.同圆（或等圆）中，等弦（或同弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

8.相似三角形的对应角相等

9.圆的内接四边形的外角等于内对角

10.等于同一角的两个角相等

11.对顶角相等

证明两直线平行

1.垂直于同一直线的各直线平行

2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行

3.平行四边形的对边平行

4.三角形的中位线平行于第三边

5.梯形的中位线平行于两底

6.平行于同一直线的两直线平行

7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边

证明两条直线互相垂直

1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边

2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角

3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角

4.邻补角的平分线互相垂直

5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条

6.两条直线相交成直角则两直线垂直

7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上

8.利用勾股定理的逆定理

9.利用菱形的对角线互相垂直

10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦

11.利用半圆上的圆周角是直角（直径对直角）

12.圆的切线垂直于过切点的半径

证明线段的和差倍分

1.作两条线段的和，证明与第三条线段相等

2.在第三条线段上截取一段等于第一条线段，证明余下部分等于第二条线段

3.延长短线段为其二倍，再证明它与较长的线段相等

4.取长线段的中点，再证其一半等于短线段

5.利用一些定理（三角形的中位线、含30度的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、三角形的重心、相似三角形的性质等）

证明角的和差倍分

1.与证明线段的和、差、倍、分思路相同

2.利用角平分线的定义

3.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

4.三角形内角和等于180º

5.多边形内角和等于（n-2）180º

6.互余两角和90º，互补两角和180º

证明线段不等

1.同一三角形中，大角对大边

2.垂线段最短

3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边

4.在两个三角形中有两边分别相等而夹角不等，则夹角大的第三边大

5.同圆或等圆中，弧大弦大，弦心距小

6.全量大于它的任何一部分

证明两角的不等

1.同一三角形中，大边对大角

2.三角形的外角大于和它不相邻的任一内角

3.在两个三角形中有两边分别相等，第三边不等，第三边大的，两边的夹角也大

4.同圆或等圆中，弧大则圆周角、圆心角大

5.全量大于它的任何一部分

证明比例式或等积式

1.利用相似三角形对应线段成比例

2.利用内外角平分线定理：

三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比；如果三角形的外角平分线外分对边成两条线段，那么这两条线段和相邻的两边应成比例

3.平行线截线段成比例

4.直角三角形中的比例中项定理即射影定理

5.与圆有关的比例定理：

相交弦定理、切割线定理及其推论

6.利用比利式或等积式化得

证明四点共圆

1.对角互补的四边形的顶点共圆

2.外角等于内对角的四边形内接于圆

3.同底边等顶角的三角形的顶点共圆（顶角在底边的同侧）

4.同斜边的直角三角形的顶点共圆

5.到顶点距离相等的各点共圆

添辅助线

一．添辅助线有二种情况：

1按定义添辅助线：

如证明二直线垂直可延长使它们相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。

2按基本图形添辅助线：

每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！

这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。

举例如下：

（1）平行线是个基本图形：

当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的第三条直线

（2）等腰三角形是个简单的基本图形：

当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。

出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。

（3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：

出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。

（4）直角三角形斜边上中线基本图形

出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。

出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。

（5）三角形中位线基本图形

几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。

（6）全等三角形：

全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等；如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：

或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。

当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明，添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线

（7）相似三角形：

相似三角形有平行线型（带平行线的相似三角形），相交线型，旋转型；当出现相比线段重叠在一直线上时（中点可看成比为1）可添加平行线得平行线型相似三角形。

若平行线过端点添则可以分点或另一端点的线段为平行方向，这类题目中往往有多种浅线方法。

（8）特殊角直角三角形

当出现30，45，60，135，150度特殊角时可添加特殊角直角三角形，利用45角直角三角形三边比为1：

1：

√2；30度角直角三角形三边比为1：

2：

√3进行证明

（9）半圆上的圆周角

出现直径与半圆上的点，添90度的圆周角；出现90度的圆周角则添它所对弦---直径；平面几何中总共只有二十多个基本图形就像房子不外有一砧，瓦，水泥，石灰，木等组成一样。

二．基本图形的辅助线的画法

1.三角形问题添加辅助线方法

方法1：

有关三角形中线的题目，常将中线加倍。

含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题。

方法2：

含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。

方法3：

结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线段的一些定理。

方法4：

结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段。

2.平行四边形中常用辅助线的添法

平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：

（1）连对角线或平移对角线：

（2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形

（3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线

（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。

（5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等.

3.梯形中常用辅助线的添法

梯形是一种特殊的四边形。

它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。

辅助线的添加成为问题解决的桥梁，梯形中常用到的辅助线有：

（1）在梯形内部平移一腰。

（2）梯形外平移一腰

（3）梯形内平移两腰

（4）延长两腰

（5）过梯形上底的两端点向下底作高

（6）平移对角线

（7）连接梯形一顶点及一腰的中点。

（8）过一腰的中点作另一腰的平行线。

（9）作中位线

当然在梯形的有关证明和计算中，添加的辅助线并不一定是固定不变的、单一的。

通过辅助线这座桥梁，将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决，这是解决问题的关键。

4.圆中常用辅助线的添法

在平面几何中，解决与圆有关的问题时，常常需要添加适当的辅助线，架起题设和结论间的桥梁，从而使问题化难为易，顺其自然地得到解决，因此，灵活掌握作辅助线的一般规律和常见方法，对提高学生分析问题和解决问题的能力是大有帮助的。

（1）见弦作弦心距

有关弦的问题，常作其弦心距（有时还须作出相应的半径），通过垂径平分定理，来沟通题设与结论间的联系。

（2）见直径作圆周角

在题目中若已知圆的直径，一般是作直径所对的圆周角，利用"直径所对的圆周角是直角"这一特征来证明问题。

（3）见切线作半径

命题的条件中含有圆的切线，往往是连结过切点的半径，利用"切线与半径垂直"这一性质来证明问题。

（4）两圆相切作公切线

对两圆相切的问题，一般是经过切点作两圆的公切线或作它们的连心线，通过公切线可以找到与圆有关的角的关系。

（5）两圆相交作公共弦

对两圆相交的问题，通常是作出公共弦，通过公共弦既可把两圆的弦联系起来，又可以把两圆中的圆周角或圆心角联系起来。

初中几何常见辅助线作法歌诀汇编

人说几何很困难，难点就在辅助线。

辅助线，如何添？

把握定理和概念。

还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。

图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

平行四边形出现，对称中心等分点。

梯形里面作高线，平移一腰试试看。

平行移动对角线，补成三角形常见。

证相似，比线段，添线平行成习惯。

等积式子比例换，寻找线段很关键。

直接证明有困难，等量代换少麻烦。

斜边上面作高线，比例中项一大片。

半径与弦长计算，弦心距来中间站。

圆上若有一切线，切点圆心半径连。

切线长度的计算，勾股定理最方便。

要想证明是切线，半径垂线仔细辨。

是直径，成半圆，想成直角径连弦。

弧有中点圆心连，垂径定理要记全。

圆周角边两条弦，直径和弦端点连。

弦切角边切线弦，同弧对角等找完。

要想作个外接圆，各边作出中垂线。

还要作个内接圆，内角平分线梦圆。

如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。

内外相切的两圆，经过切点公切线。

若是添上连心线，切点肯定在上面。

要作等角添个圆，证明题目少困难。

辅助线，是虚线，画图注意勿改变。

假如图形较分散，对称旋转去实验。

基本作图很关键，平时掌握要熟练。

解题还要多心眼，经常总结方法显。

切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。

分析综合方法选，困难再多也会减。

虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。

几何证题难不难，关键常在辅助线；知中点、作中线，中线处长加倍看；

底角倍半角分线，有时也作处长线；线段和差及倍分，延长截取证全等；

公共角、公共边，隐含条件须挖掘；全等图形多变换，旋转平移加折叠；

中位线、常相连，出现平行就好办；四边形、对角线，比例相似平行线；

梯形问题好解决，平移腰、作高线；两腰处长义一点，亦可平移对角线；

正余弦、正余切，有了直角就方便；特殊角、特殊边，作出垂线就解决；

实际问题莫要慌，数学建模帮你忙；圆中问题也不难，下面我们慢慢谈；

弦心距、要垂弦，遇到直径周角连；切点圆心紧相连，切线常把半径添；

两圆相切公共线，两圆相交公共弦；切割线，连结弦，两圆三圆连心线；

基本图形要熟练，复杂图形多分解；以上规律属一般，灵活应用才方便。

几何图形变换题解题方法分析

切入点一：

构造定理所需的图形或基本图形

在解决问题的过程中，有时添加辅助线是必不可少的。

对于中考来说，只有一道很简单的证明题是可以不用添加辅助线的，其余的全都涉及到辅助线的添加问题。

中考对学生添线的要求还是挺高的，但添辅助线几乎都遵循这样一个原则：

构造定理所需的图形或构造一些常见的基本图形。

切入点二：

做不出、找相似，有相似、用相似

压轴题牵涉到的知识点较多，知识转化的难度较高。

学生往往不知道该怎样入手，这时往往应根据题意去寻找相似三角形。

切入点三：

紧扣不变量，并善于使用前题所采用的方法或结论

在图形运动变化时，图形的位置、大小、方向可能都有所改变，但在此过程中，往往有某两条线段，或某两个角或某两个三角形所对应的位置或数量关系不发生改变。

切入点四：

在题目中寻找多解的信息

图形在运动变化，可能满足条件的情形不止一种，也就是通常所说的两解或多解，如何避免漏解也是一个令考生头痛的问题，其实多解的信息在题目中就可以找到，这就需要我们深度的挖掘题干，实际上就是反复认真的审题。

总之，问题的切入点很多，考试时也不是一定要找到那么多，往往只需找到一两个就行了，关键是找到以后一定要敢于去做。

初中数学概念公式总结

1、过两点有且只有一条直线

2、两点之间线段最短

3、同角或等角的补角相等

4、同角或等角的余角相等

5、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直

6、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短

7、平行公理：

经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

8、如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行

9、同位角相等，两直线平行

10、内错角相等，两直线平行

11、同旁内角互补，两直线平行

12、两直线平行，同位角相等

13、两直线平行，内错角相等

14、两直线平行，同旁内角互补

15、定理：

三角形两边的和大于第三边

16、推论：

三角形两边的差小于第三边

17、三角形内角和定理：

三角形三个内角的和等于180°

18、推论1：

直角三角形的两个锐角互余

19、推论2：

三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

20、推论3：

三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

21、全等三角形的对应边、对应角相等

22、边角边公理（SAS）：

有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等

23、角边角公理（ASA）：

有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等

24、推论（AAS）：

有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等

25、边边边公理（SSS）：

有三边对应相等的两个三角形全等

26、斜边、直角边公理（HL）：

有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

27、定理1：

在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

28、定理2：

到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上

29、角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合

30、等腰三角形的性质定理：

等腰三角形的两个底角相等（即等边对等角）

31、推论1：

等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

32、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合

33、推论3：

等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°

34、等腰三角形的判定定理：

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）

35、推论1：

三个角都相等的三角形是等边三角形

36、推论2：

有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

37、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半

38、直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半

39、定理：

线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

40、逆定理：

和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

41、线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合

42、定理1：

关于某条直线对称的两个图形是全等形

43、定理2：

如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线

44、定理3：

两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上

45、逆定理：

如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称

46、勾股定理：

直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即

a2＋b2＝c2

47、勾股定理的逆定理：

如果三角形的三边长a、b、c有关系a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形

48、定理：

四边形的内角和等于360°

49、四边形的外角和等于360°

50、多边形内角和定理：

n边形的内角的和等于（n-2）×180°

51、推论任意多边的外角和等于360°

52、平行四边形性质定理1：

平行四边形的对角相等

53、平行四边形性质定理2：

平行四边形的对边相等

54、推论夹在两条平行线间的平行线段相等

55、平行四边形性质定理3：

平行四边形的对角线互相平分

56、平行四边形判定定理1：

两组对角分别相等的四边形是平行四边形

57、平行四边形判定定理2：

两组对边分别相等的四边形是平行四边形

58、平行四边形判定定理3：

对角线互相平分的四边形是平行四边形

59、平行四边形判定定理4：

一组对边平行相等的四边形是平行四边形

60、矩形性质定理1：

矩形的四个角都是直角

61、矩形性质定理2：

矩形的对角线相等

62、矩形判定定理1：

有三个角是直角的四边形是矩形

63、矩形判定定理2：

对角线相等的平行四边形是矩形

64、菱形性质定理1：

菱形的四条边都相等

65、菱形性质定理2：

菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角

66、菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷2

67、菱形判定定理1：

四边都相等的四边形是菱形

68、菱形判定定理2：

对角线互相垂直的平行四边形是菱形

69、正方形性质定理1：

正方形的四个角都是直角，四条边都相等

70、正方形性质定理2：

正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角

71、定理1：

关于中心对称的两个图形是全等的

72、定理2：

关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分

73、逆定理：

如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称

74、等腰梯形性质定理：

等腰梯形在同一底上的两个角相等

75、等腰梯形的两条对角线相等

76、等腰梯形判定定理：

在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

77、对角线相等的梯形是等腰梯形

78、平行线等分线段定理：

如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等

79、推论1：

经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰

80、推论2：

经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边

81、三角形中位线定理：

三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半

82、梯形中位线定理：

梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半

L=（a+b）÷2S=L×h

83、

（1）比例的基本性质：

如果a:

b=c:

d,那么ad=bc,如果ad=bc,那么a:

b=c:

d

84、

（2）合比性质：

如果a／b=c／d,那么（a±b）／b=（c±d）／d

85、（3）等比性质：

如果a／b=c／d=…=m／n（b+d+…+n≠0）,那么（a+c+…+m）／（b+d+…+n）=a／b

86、平行线分线段成比例定理：

三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例

87、推论：

平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例

88、定理：

如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边

89、平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例

90、定理：

平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似

91、相似三角形判定定理1：

两角对应相等，两三角形相似（ASA）

92、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似

93、判定定理2：

两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）

94、判定定理3：

三边对应成比例，两三角形相似（SSS）

95、定理：

如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似

96、性质定理1相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比

97、性质定理2相似三角形周长的比等于相似比

98、性质定理3相似三角形面积的比等于相似比的平方

99、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值

100、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值

101、圆是定点的距离等于定长的点的集合

102、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合

103、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合

104、同圆或等圆的半径相等

105、到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆

106、和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线

107、到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线

108、到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线

109、定理：

不在同一直线上的三点确定一个圆。

110、垂径定理：

垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧

111、推论1：

①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

　　②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

　　③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

112、推论2：

圆的两条平行弦所夹的弧相等

113、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

114、定理：

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等

115、推论：

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等

116、定理：

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

117、推论1：

同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等

118、推论2半圆（或直径）所对的圆周角