MATLAB插值与拟合.docx
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MATLAB插值与拟合
§1曲线拟合
实例：
温度曲线问题
气象部门观测到一天某些时刻的温度变化数据为：
t
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
T
13
15
17
14
16
19
26
24
26
27
29
试描绘出温度变化曲线。
曲线拟合就是计算出两组数据之间的一种函数关系，由此可描绘其变化曲线及估计非采集数据对应的变量信息。
曲线拟合有多种方式，下面是一元函数采用最小二乘法对给定数据进行多项式曲线拟合，最后给出拟合的多项式系数。
1.线性拟合函数：
regress（）
调用格式：
b=regress（y,X）
[b,bint,r,rint,stats]=regress（y,X）
[b,bint,r,rint,stats]=regress（y,X,alpha）
说明：
b=regress（y,X）返回X与y的最小二乘拟合值，及线性模型的参数值β、ε。
该函数求解线性模型：
y=Xβ+ε
β是p´1的参数向量；ε是服从标准正态分布的随机干扰的n´1的向量；y为n´1的向量；X为n´p矩阵。
bint返回β的95%的置信区间。
r中为形状残差，rint中返回每一个残差的95%置信区间。
Stats向量包含R2统计量、回归的F值和p值。
例1：
设y的值为给定的x的线性函数加服从标准正态分布的随机干扰值得到。
即y=10+x+ε；求线性拟合方程系数。
程序：
x=[ones（10,1）（1:
10）'];
y=x*[10;1]+normrnd（0,0.1,10,1）;
[b,bint]=regress（y,x,0.05）
结果：
x=
1 1
1 2
1 3
1 4
1 5
1 6
1 7
1 8
1 9
1 10
y=
10.9567
11.8334
13.0125
14.0288
14.8854
16.1191
17.1189
17.9962
19.0327
20.0175
b=
9.9213
1.0143
bint=
9.7889 10.0537
0.9930 1.0357
即回归方程为：
y=9.9213+1.0143x
2.多项式曲线拟合函数：
polyfit（）
调用格式：
p=polyfit（x,y,n）
[p,s]=polyfit（x,y,n）
说明：
x,y为数据点，n为多项式阶数，返回p为幂次从高到低的多项式系数向量p。
矩阵s用于生成预测值的误差估计。
（见下一函数polyval）
例2：
由离散数据
x
0
.1
.2
.3
.4
.5
.6
.7
.8
.9
1
y
.3
.5
1
1.4
1.6
1.9
.6
.4
.8
1.5
2
拟合出多项式。
程序：
x=0:
.1:
1;
y=[.3.511.41.61.9.6.4.81.52];
n=3;
p=polyfit（x,y,n）
xi=linspace（0,1,100）;
z=polyval（p,xi）; %多项式求值
plot（x,y,'o',xi,z,'k:
',x,y,'b'）
legend（'原始数据','3阶曲线'）
结果：
p=
16.7832 -25.7459 10.9802 -0.0035
多项式为：
16.7832x3-25.7459x2+10.9802x-0.0035
曲线拟合图形：
如果是n=6，则如下图：
也可由函数给出数据。
例3：
x=1:
20,y=x+3*sin（x）
程序：
x=1:
20;
y=x+3*sin（x）;
p=polyfit（x,y,6）
xi=linspace（1,20,100）;
z=polyval（p,xi）; %多项式求值函数
plot（x,y,'o',xi,z,'k:
',x,y,'b'）
legend（'原始数据','6阶曲线'）
结果：
p=
0.0000 -0.0021 0.0505 -0.5971 3.6472 -9.7295 11.3304
再用10阶多项式拟合
程序：
x=1:
20;
y=x+3*sin（x）;
p=polyfit（x,y,10）
xi=linspace（1,20,100）;
z=polyval（p,xi）;
plot（x,y,'o',xi,z,'k:
',x,y,'b'）
legend（'原始数据','10阶多项式'）
结果：
p=
Columns1through7
0.0000 -0.0000 0.0004 -0.0114 0.1814 -1.8065 11.2360
Columns8through11
-42.0861 88.5907 -92.8155 40.2671
可用不同阶的多项式来拟合数据，但也不是阶数越高拟合的越好。
3. 多项式曲线求值函数：
polyval（）
调用格式：
y=polyval（p,x）
[y,DELTA]=polyval（p,x,s）
说明：
y=polyval（p,x）为返回对应自变量x在给定系数P的多项式的值。
[y,DELTA]=polyval（p,x,s）使用polyfit函数的选项输出s得出误差估计YDELTA。
它假设polyfit函数数据输入的误差是独立正态的，并且方差为常数。
则YDELTA将至少包含50%的预测值。
4. 多项式曲线拟合的评价和置信区间函数：
polyconf（）
调用格式：
[Y,DELTA]=polyconf（p,x,s）
[Y,DELTA]=polyconf（p,x,s,alpha）
说明：
[Y,DELTA]=polyconf（p,x,s）使用polyfit函数的选项输出s给出Y的95%置信区间YDELTA。
它假设polyfit函数数据输入的误差是独立正态的，并且方差为常数。
1-alpha为置信度。
例4：
给出上面例1的预测值及置信度为90%的置信区间。
程序：
x=0:
.1:
1;
y=[.3.511.41.61.9.6.4.81.52]
n=3;
[p,s]=polyfit（x,y,n）
alpha=0.05;
[Y,DELTA]=polyconf（p,x,s,alpha）
结果：
p=
16.7832 -25.7459 10.9802 -0.0035
s=
R:
[4x4double]
df:
7
normr:
1.1406
Y=
Columns1through9
-0.0035 0.8538 1.2970 1.4266 1.3434 1.1480 0.9413 0.8238 0.8963
Columns10through11
1.2594 2.0140
5. 稳健回归函数：
robust（）
稳健回归是指此回归方法相对于其他回归方法而言，受异常值的影响较小。
调用格式：
b=robustfit（x,y）
[b,stats]=robustfit（x,y）
[b,stats]=robustfit（x,y,’wfun’,tune,’const’）
说明：
b返回系数估计向量；stats返回各种参数估计；’wfun’指定一个加权函数；tune为调协常数；’const’的值为’on’（默认值）时添加一个常数项；为’off’时忽略常数项。
例5：
演示一个异常数据点如何影响最小二乘拟合值与稳健拟合。
首先利用函数y=10-2x加上一些随机干扰的项生成数据集，然后改变一个y的值形成异常值。
调用不同的拟合函数，通过图形观查影响程度。
程序：
x=（1:
10）’;
y=10-2*x+randn（10,1）;
y（10）=0;
bls=regress（y,[ones（10,1）x]）%线性拟合
brob=robustfit（x,y）%稳健拟合
scatter（x,y）
holdon
plot（x,bls
（1）+bls
（2）*x,’:
’）
plot（x,brob
（1）+brob
（2）*x,’r‘）
结果 ：
bls=
8.4452
-1.4784
brob=
10.2934
-2.0006
分析：
稳健拟合（实线）对数据的拟合程度好些，忽略了异常值。
最小二乘拟合（点线）则受到异常值的影响，向异常值偏移。
6. 向自定义函数拟合
对于给定的数据，根据经验拟合为带有待定常数的自定义函数。
所用函数：
nlinfit（）
调用格式：
[beta,r,J]=nlinfit（X,y,’fun’,betao）
说明：
beta返回函数’fun’中的待定常数；r表示残差；J表示雅可比矩阵。
X,y为数据；‘fun’自定义函数；beta0待定常数初值。
例6：
在化工生产中获得的氯气的级分y随生产时间x下降，假定在x≥8时，y与x之间有如下形式的非线性模型：
现收集了44组数据，利用该数据通过拟合确定非线性模型中的待定常数。
x y x y x y
8 0.49 16 0.43 28 0.41
8 0.49 18 0.46 28 0.40
10 0.48 18 0.45 30 0.40
10 0.47 20 0.42 30 0.40
10 0.48 20 0.42 30 0.38
10 0.47 20 0.43 32 0.41
12 0.46 20 0.41 32 0.40
12 0.46 22 0.41 34 0.40
12 0.45 22 0.40 36 0.41
12 0.43 24 0.42 36 0.36
14 0.45 24 0.40 38 0.40
14 0.43 24 0.40 38 0.40
14 0.43 26 0.41 40 0.36
16 0.44 26 0.40 42 0.39
16 0.43 26 0.41
首先定义非线性函数的m文件：
fff6.m
functionyy=model（beta0,x）
a=beta0
（1）;
b=beta0
（2）;
yy=a+（0.49-a）*exp（-b*（x-8））;
程序：
x=[8.008.0010.0010.0010.0010.0012.0012.0012.0014.0014.0014.00...
16.0016.0016.0018.0018.0020.0020.0020.0020.0022.0022.0024.00...
24.0024.0026.0026.0026.0028.0028.0030.0030.0030.0032.0032.00...
34.0036.0036.0038.0038.0040.0042.00]';
y=[0.490.490.480.470.480.470.460.460.450.430.450.430.430.440.43...
0.430.460.420.420.430.410.410.400.420.400.400.410.400.410.41...
0.400.400.400.380.410.400.400.410.380.400.400.390.39]';
beta0=[0.300.02];
betafit=nlinfit（x,y,'sta67_1m',beta0）
结果：
betafit=
0.3896
0.1011
即：
a=0.3896，b=0.1011拟合函数为：
§2插值问题
在应用领域中，由有限个已知数据点，构造一个解析表达式，由此计算数据点之间的函数值，称之为插值。
实例：
海底探测问题
某公司用声纳对海底进行测试，在5×5海里的坐标点上测得海底深度的值，希望通过这些有限的数据了解更多处的海底情况。
并绘出较细致的海底曲面图。
一、一元插值
一元插值是对一元数据点（xi,yi）进行插值。
1． 线性插值：
由已知数据点连成一条折线，认为相临两个数据点之间的函数值就在这两点之间的连线上。
一般来说，数据点数越多，线性插值就越精确。
调用格式：
yi=interp1（x,y,xi,’linear’） %线性插值
zi=interp1（x,y,xi,’spline’） %三次样条插值
wi=interp1（x,y,xi,’cubic’） %三次多项式插值
说明：
yi、zi、wi为对应xi的不同类型的插值。
x、y为已知数据点。
例1：
已知数据：
x
0
.1
.2
.3
.4
.5
.6
.7
.8
.9
1
y
.3
.5
1
1.4
1.6
1.9
.6
.4
.8
1.5
2
求当xi=0.25时的yi的值。
程序：
x=0:
.1:
1;
y=[.3.511.41.61.6.4.81.52];
yi0=interp1（x,y,0.025,'linear'）
xi=0:
.02:
1;
yi=interp1（x,y,xi,'linear'）;
zi=interp1（x,y,xi,'spline'）;
wi=interp1（x,y,xi,'cubic'）;
plot（x,y,'o',xi,yi,'r+',xi,zi,'g*',xi,wi,'k.-'）
legend（'原始点','线性点','三次样条','三次多项式'）
结果：
yi0= 0.3500
要得到给定的几个点的对应函数值，可用：
xi=[0.2500 0.3500 0.4500]
yi=interp1（x,y,xi,'spline'）
结果：
yi=1.2088 1.5802 1.3454
（二）二元插值
二元插值与一元插值的基本思想一致，对原始数据点（x,y,z）构造见世面函数求出插值点数据（xi,yi,zi）。
一、单调节点插值函数，即x,y向量是单调的。
调用格式1：
zi=interp2（x,y,z,xi,yi,’linear’）
‘liner’是双线性插值（缺省）
调用格式2：
zi=interp2（x,y,z,xi,yi,’nearest’）
’nearest’是最近邻域插值
调用格式3：
zi=interp2（x,y,z,xi,yi,’spline’）
‘spline’是三次样条插值
说明：
这里x和y是两个独立的向量，它们必须是单调的。
z是矩阵，是由x和y确定的点上的值。
z和x,y之间的关系是z（i,:
）=f（x,y（i））z（:
j）=f（x（j）,y）即：
当x变化时，z的第i行与y的第i个元素相关，当y变化时z的第j列与x的第j个元素相关。
如果没有对x,y赋值，则默认x=1:
n,y=1:
m。
n和m分别是矩阵z的行数和列数。
例2：
已知某处山区地形选点测量坐标数据为：
x=0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
y=0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
海拔高度数据为：
z=8990878592919693908782
9296989995918986848284
9698959290888584838185
8081828995969392898686
8285879899969788858283
8285899495939291868488
8892939495898786838192
9296979896939584828184
8585818280808185909395
8486819899989796958487
8081858283848790958688
8082818485868382818082
8788899899979698949287
其地貌图为：
对数据插值加密形成地貌图。
程序：
x=0:
.5:
5;
y=0:
.5:
6;
z=[8990878592919693908782
9296989995918986848284
9698959290888584838185
8081828995969392898686
8285879899969788858283
8285899495939291868488
8892939495898786838192
9296979896939584828184
8585818280808185909395
8486819899989796958487
8081858283848790958688
8082818485868382818082
8788899899979698949287];
mesh（x,y,z） %绘原始数据图
xi=linspace（0,5,50）; %加密横坐标数据到50个
yi=linspace（0,6,80）; %加密纵坐标数据到60个
[xii,yii]=meshgrid（xi,yi）; %生成网格数据
zii=interp2（x,y,z,xii,yii,'cubic'）; %插值
mesh（xii,yii,zii） %加密后的地貌图
holdon % 保持图形
[xx,yy]=meshgrid（x,y）; %生成网格数据
plot3（xx,yy,z+0.1,'ob'） %原始数据用‘O’绘出
2、二元非等距插值
调用格式：
zi=griddata（x,y,z,xi,yi,’指定插值方法’）
插值方法有：
linear %线性插值 （默认）
bilinear %双线性插值
cubic %三次插值
bicubic %双三次插值
nearest %最近邻域插值
例：
用随机数据生成地貌图再进行插值
程序：
x=rand（100,1）*4-2;
y=rand（100,1）*4-2;
z=x.*exp（-x.^2-y.^2）;
ti=-2:
.25:
2;
[xi,yi]=meshgrid（ti,ti）;
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