小学奥数讲座盈亏问题.docx

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小学奥数讲座盈亏问题

盈亏问题

盈亏问题就是把一定的总数，分配给一定的对象，由于每份数分法不同，导致分后结果有盈（多）有亏（少）的一种典型应用题。

解题关键：

解决盈亏问题，往往先用结果的相差数除以每份的相差数，求出对象的数量，进一步求出分配的总数。

所以在讲解时，不要刻意区分这三类基本题型，而应引导学生牢牢抓住两种分法上总的相差数和每次相差数

三年级要求：

掌握三类基本题型及解题思路和方法

四年级要求：

掌握三类题型的变化题型的转化思路和转化方法（讲解时注意运用对比例子，对比引导学生进行条件转换）

一、基本题型

第一类：

一盈一亏

例1：

阿姨给幼儿园小朋友分饼干.如果每人分3块，则多出16块饼干；如果每人分5块，那么就缺4块饼干.问有多少小朋友，有多少块饼干？

分析：

依题中条件，我们可知：

       第一种分法：

每人3块，还剩16块

       第二种分法：

每人5块，还少4块

我们可以比较看出：

由于第二种分法比第一种分法每人多分了2块，所以不仅把那剩下的16块分完，还少4块，总数上，第二次比第一次多16+4=20块，换句话说：

每人多分2块，就得多分20块，我们就可以算出有多少人了，20÷2=10人，那总饼干数就是：

10×3+16=46或10×5-4=46

第二类：

二次都是盈

例：

阿姨给幼儿园小朋友分饼干.如果每人分3块，则多出16块饼干；如果每人分5块，那么就多4块饼干.问有多少小朋友，有多少块饼干？

分析：

依题中条件，我们可知：

       第一种分法：

每人3块，还剩16块

       第二种分法：

每人5块，还多4块

我们可以比较看出：

由于第二种分法比第一种分法每人多分了2块，所以饼干由剩下16块变成只剩下4块，总数上，第二次比第一次多16-4=12块，换句话说：

每人多分2块，就得多分12块，我们就可以算出有多少人了，12÷2=6人，那总饼干数就是：

6×3+16=34或6×5+4=34

第三类：

二次都是亏

例：

阿姨给幼儿园小朋友分饼干.如果每人分3块，则少4块饼干；如果每人分5块，那么就少16块饼干.问有多少小朋友，有多少块饼干？

分析：

依题中条件，我们可知：

       第一种分法：

每人3块，还少4块

       第二种分法：

每人5块，还少16块

我们可以比较看出：

由于第二种分法比第一种分法每人多分了2块，所以饼干由少4块变成了少16块，总数上，第二次比第一次多16-4=12块，换句话说：

每人多分2块，就得多分12块，我们就可以算出有多少人了，12÷2=6人，那总饼干数就是：

6×3-4=14或6×5-16=14

题库：

1.某校同学排队上操.如果每行站9人，则多37人；如果每行站12人，则少20人.一共有多少学生？

2、老师卖来一些练习本奖给学生，如果每人分2本，则多18本；如果每人分4本，则少12本，学生几人？

有多少本练习本？

3、学生做一批纸花，如果每人做3朵，则多了15朵纸花；如果每人做4朵，则少了9朵纸花，学生有几人？

共做多少纸花？

4、老师给同学发图画纸，如果每人分3张，则少2张；如果每人分5张，则少32张，同学有几人？

一共有多少张图画纸？

5、小明计划用若干天读完一本书，如果每天读18页，还剩120页；如果每天读22页，还剩下100页；小明计划几天读完？

这本书共多少页？

6、二班学生去公园玩，收门票费。

每人收7元，则少90元；如果每人收9元，则少6元，这个班有多少学生？

7、将苹果放入篮子中，如果每个篮子分8个，则少21个；如果每个篮子分6个，则少3个。

有多少只篮子和多少个苹果？

8、同学们种树，如果每人种2棵，还有18棵没种；如果每人种5棵，还有3棵没种。

问有多少学生共种多少棵树？

9、小军给小朋友分画片，如果每人分9张，还多12张，如果每人分10张正好分完，有多少个小朋友多少张画片？

10、小芳把一些花放花瓶，如果每个花瓶放5支则多12支；如果每个花瓶放8支，则多3支，问多少个花瓶多少支花？

11、五年级的若干学生主呢比搬一堆砖，通过计算知道，每人搬30块砖还剩100块；实际搬的时候，发现有180块砖坏了，不需要搬，因此每人正好搬了28块就搬完了。

这堆砖有多少块？

12、我校举行“博文杯”趣味思维大赛，原定考场若干个。

如果增加2个考场，每个考场正好坐24人；如果减少2个考场，每个考场正好坐30人。

参加这次竞赛的学生共有多少人

13、学校分配宿舍，每个房间住3人，则多出20人，每个房间住5人，恰好合适，问宿舍有几间？

学生有几人？

14、幼儿园的老师给小朋友分枣，每人分5个正好分完，每人分7个少18个，有多少个小朋友？

多少个枣？

15、学校买来一批故事书，每班发16本，多10本，每班发15本，多17本，则故事书有多少本？

分给几个班？

16、把一批扫帚平均分给若干个清洁小组，如果分给9个小组，少24把扫帚；如果分给11个小组，少40把扫帚，每组分到扫帚多少把？

共有扫帚多少把？

17、一批水果分给若干个病号，如果每人分6千克，多出6份；如果每人分10千克，缺2份，病号有多少人？

这批水果有多少千克？

18、育才中学派出一个植树小组去植树，每人植树7棵，剩下18棵树苗，每人植树9棵，缺6棵树苗。

这个植树小组有多少名同学？

一共有多少棵树苗？

19、小明要买5千克菠菜，带的钱还剩1角，如果买7千克，带的钱就缺6分。

每千克菠菜多少钱？

小明带了多少钱？

20、灯泡厂二车间的锅炉，如果每小时耗煤103千克，每天将超出用煤计划92千克；如果每小时耗煤95千克，每天仍超出用煤计划60千克。

每天的用煤计划是多少千克？

21、一个工程队修公路，如果每小时修120米，则到规定完工日期时，还有240米公路没修；如果每小时修150米，则到规定完工日期时，还有90米公路没修。

每小时必须修多少米，才能按时完工？

22、把一批课本平均分给若干个同学，如果分给18个同学则差18本；如果分给22个同学，则少62本。

每人分得多少本？

共有课本多少本？

23、把纸分给一些儿童，如果每人分3张，则缺2张；如果每人分5张，则缺12张。

求人数和张数。

24、将一些苹果分给若干个儿童，每人分给3个，正好分完；每人分给5个，则差14个。

求儿童的人数和苹果的个数。

25、一小包糖分给几个小朋友，如果每人分3块，则余3块，如果每人分5块，则少1块，那么有几个小朋友？

这包糖有几块？

26、五

（1）班同学植树，每人植1棵还剩20棵，每人植2棵差30棵，有多少个同学参加植树？

要植多少棵树？

二、变化题型

（一）语言上的变化

例：

同学去划船，如果每只船坐4人，则少1只船；如果每只船坐6人，则多出4只船，问同学们共多少人？

租了几只船？

分析：

讲解时，可先让学生练习以下这道题，引导学生在对比两道例题异与同，进行条件转换。

（同学去划船，如果每只船坐4人，则多4人；如果每只船坐6人，则少24人，问同学们共多少人？

租了几只船？

）

题库：

1、同学们去礼堂听报告，如果每张长椅上坐8人，则剩下50人没座位；如果每张长椅坐12人，则空出10个座位。

如果每张长椅坐7人，还剩下多少学生没座位？

2、同学们分组去种树，如果增加一小组，正好每小组5人；如果减少一小组，正好每组7人，问多少个同学？

3、老师给学生发本子，如果每人发8本，则有3个学生没发到；如果每人发6本，正好发完，问有多少个学生有多少本本子？

4、导游给某旅行团成员分配宿舍，如果每个房间住4人，则24人没有位置；如果每个房间住6人，则空出8个房间，问宿舍多少间成员多少人？

5、某小学学生乘车去秋游，如果每车坐45人，则有10人不能乘车；如果每车多坐5人，恰好多余了一辆车，问一共多少辆车多少人？

6、学校给新生分配宿舍，如果每个房间住8人，则少3个房间；如果每个房间住10人，则空3间宿舍；问宿舍多少间学生多少人？

7、同学们去划船，如果每船坐4人，则少3只船；如果每船坐6人，还有2人留在岸边；有多少同学去划船？

共有多少船？

8、小平从家到电影院去看电影，如果每分钟走50米，则会迟到8分钟；如果每分钟走60米，则提前5分钟到电影院，小平家到电影院的距离多长？

9、小强由家里到学校，如果每分钟走50米，上课就要迟到3分钟；如果每分钟走60米，就可以比上课时间提前2分钟到校.小强家到学校的路程是多少米？

（1500）

10、用绳测井深，把绳三折，井外余2米，把绳四折，还差1米不到井口，那么井深多少米？

绳长多少米？

（余2米，实际是余2×3米，因为打了三折）

11、有一个班的同学去划船。

他们算了一下，如果增加1条船，正好每条船坐6人；如果减少1条船，正好每条船坐9个人。

问：

这个班共有多少名同学？

12、王研早晨上学前通过计算知道，自己若每分钟走65米就可以提前10分到校。

若是每分走50米就要迟到2分。

算一算，王研家到学校有多少米？

13、用绳测井深，把绳三折，井外余2米，把绳四折，还差1米不到井口，那么井深多少米？

绳长多少米？

（10/36）

14、学雷锋小组为学校搬砖，如果每人搬18块，还剩2块，如果每人搬20块，就有一位同学没砖可搬，则共有多少块砖？

共有多少人

15、大猴子采到一堆桃子，平均分给小猴吃，每只小猴分10个桃子，有两只小猴没有分到。

第二次重分，每只小猴分8个桃子，刚巧分完。

这堆桃子有多少个？

小猴子有多少只？

16.一根绳子,如果剪5段,则差2米;如果剪3段,则余下8米.绳子长多少米.

17.某年级同学春游时租船游湖，若每只船乘10人，则还多2个座位；若每只船多坐2人，可少租一条船，这时每人可节省5角钱.问租一只船需要多少钱？

18．小龙计划看若干天完一本书，如果每天４５页，可以提前一天看完，如果每天３０页，就要比计划的时间多３天才能看完。

小龙原计划几天看完这本书？

这本书有多少页？

19、夏令营老师为小营员安排住宿，如果每个房间住4人，则多出24个人；如果每个房间住6人，则有2个房间空着。

求有几个房间？

有多少个夏令营小营员？

20、六一儿童节那天，某班同学去划船，他们租了一些船，如果每船4人，则多1人，如果每船5人则可以少租2条船。

求一共有多少个同学？

二、条件上的变化

例1：

学校进行大扫除，分配若干人擦玻璃，其中两人各擦4块，其余各擦5块，则余12块；若每人擦6块，则正好擦完，求擦玻璃的人数及玻璃的块数？

分析：

仔细观察，发现第一次分法与基本题型的分法不一样，有什么办法转换过来？

由其中两人各擦4块、其余各擦5块则余12块，可知，若每人都擦5块，则余12-（5-4）×2=10块，而每人擦6块则正好.可见每人多擦一块可把余下的10块擦完.则擦玻璃人数是[12-（5-4）×2]÷（6-5）=10（人），玻璃的块数是6×10=60（块）。

例2.一些桔子分给若干人,每人5个还多余10个;如果人数增加到3倍,那么每人分2个还缺少8个.则有多少个桔子?

   解析:

人数增加3倍,每人分2个还缺少8个,转化成“人数不增加，每人6个，还缺少8个”

例3.一些桔子分给若干人,每人5个还多余10个;如果人数增加到3倍还少5人,那么每人分2个还缺少8个.则有多少个桔子?

   解析:

“如果人数增加到3倍还少5人,那么每人分2个还缺少8个”，可以这样转化：

如果再增加5人，人数正好3倍，这时，每人2个就会缺少5*2+8=18个，再转化为“人数不增加，每人6个，还缺少18个”

题库：

1、老师给学生分苹果，如果每人分2个，还多30个，如果其中的12位小朋友每人分3个，剩下的每人分4个，正好分完，一共有多少个小朋友？

有多少个苹果？

2、学生去种树，如果每人种2棵，还有10棵没种；如果其中2人各种3蜾，其余人各种4棵，就恰好种完，问有学生多少人共种多少棵树？

3、苹果是梨的2倍，现在把苹果和梨分给小朋友，每人分5个梨，最后还剩15个；每人分14个苹果，还少30个苹果，问苹果和梨各有多少个？

（题中的这句话“每人分5个梨，最后还剩15个”可转换为“每人分苹果，就应该分5×2=10个，最后还剩15×2=30个苹果”）

4、大米是面粉的2倍，如果每车运面粉3吨，还剩5吨面粉；如果每车运大米7吨，正好把大米运完，大米和面粉各多少吨？

5.少先队员参加绿化植树，他们准备栽的苹果树苗是梨树苗的2倍.如果每人栽3棵梨树苗，还余2棵；如果每人栽7棵苹果树苗，要少6棵.问有多少少先队员？

他们准备栽多少棵苹果树和梨树？

（10/64/32）

7、阿姨给小朋友分山楂，若每人分3个还剩20个，实际分的时候，有4个小朋友每人只要4个，其他的人每人5个还缺16个，这个班有多少个小朋友？

一共有多少个山楂？

8、小亮家的果园今年收获的梨的箱数是苹果的3倍，计划若干天运完，苹果每天运走10箱则余200箱；梨每天运走370箱，最后一天运了270箱就运完，苹果和梨一共收获多少箱？

9、少先队员去植树，如果每人挖5个树坑，还有3个树坑没人挖；如果其中两人各挖4个树坑，其余每人挖6个树坑，就恰好挖完所有的树坑。

请问，共有多少名少先队员？

共挖了多少树坑？

（38）

10.学校图书室新买一批图书，其中参考书是故事书的2倍.六

（1）班的几位同学来借书，每人借故事书3本则多余5本，每人借参考书7本则正好借完.问参考书和故事书各有多少本？

11、学生春游到公园划船，如果在5只船上每只船上坐3人，其余的4人坐一船，则有5人无船可乘；如果在4只船上每船坐6人，其余的3人坐一船，则最后空着一只船无人乘。

共有船多少只?

学生共有多少人?

12、五年级学生搬砖，有12人每人各搬7块，有20人每人各搬6块，其余的每人搬5块，这样最后余下148块；如果有30人每人各搬8块，有8人每人搬9块，其余的每人搬10块，这样分配最后余下20块。

学生共有多少人?

共有砖多少块

13.少先队员参加绿化植树，他们准备栽的苹果树苗是梨树苗的2倍.如果每人栽3棵梨树苗，还余2棵；如果每人栽7棵苹果树苗，要少6棵.问有多少少先队员？

他们准备栽多少棵苹果树和梨树？

14、小明的爷爷买回一筐梨，分给全家人。

如果小明和小妹每人分4个梨，其余每人分2个梨，还多出4个梨。

如果小明1人分6个梨其余每人分4个梨，又差12个梨。

小明家有多少人？

这筐梨有多少个？

三、特殊例题

1．钢笔与圆珠笔每支相差1元2角，小明带的钱买5支钢笔差1元5角，买8支圆珠笔多6角。

问小明带了多少钱？

分析：

关键在于条件的转换，要么都转换成钢笔，要么都转换成圆珠笔，

解1：

都转换成钢笔；买5支钢笔差15角，买8支钢笔差（12×8－6）90角，这是双亏：

分差是（8－5）3支，总差是（90－15）75角，就是说多买3支，就多差75角；这样就可求出1支钢笔多少钱；继而求出小明带了多少钱。

　［（12×8－6）－15］÷（8－5）＝75÷3＝25（角）--钢笔的价钱

　　25×5－15＝125－15＝110（角）＝11（元）--小明带得钱数

解2：

都转换成圆珠笔；买5支圆珠笔多（12×5－15）45角，买8支圆珠笔多6角。

［（12×5－15）－6］÷（8－5）＝39÷3＝13（角）--圆珠笔的价钱

　　13×8＋6＝104＋6＝＝110（角）＝11（元）--小明带得钱数

2．某校到了一批新生，如果每个寝室安排8个人，要用33个寝室；如果每个寝室少安排2个人，寝室就要增加10个，问这批学生可能有多少人？

解答：

关键在于条件的理解，

每个寝室安排8个人，要用33个寝室；因没说盈或亏，

我们只能认为至少有：

（33－1）×8＋1＝257（人）；至多有：

33×8＝264（人）；

每个寝室少安排2个人，寝室就要增加10个，也没说盈或亏，

我们也只能认为至少有：

（33＋10－1）×（8－2）＋1＝253（人）；至多有：

（33＋10）×（8－2）＝258（人）；

根据这两个条件可以得到人数在257与258之间。

　　（至少取大数，至多取小数，）

3．有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人。

如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够。

如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够。

问第二组有多少人？

解答：

因分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够。

说明第一组的人数不到48÷4＝12人，多于（48÷5＝9…3）9个人，即10到11人；

同理，第二组不到48÷3＝16人，又多与48÷4＝12人，即13到15人，

因15－10＝5（人）；由此可知：

第一组是10人，第二组是15人。

4．“六一”儿童节，小明到商店买了一盒花球和一盒白球，两盒内的球的数量相等。

花球原价1元钱2个，白球原价1元钱3个。

因节日商店优惠销售，两种球的售价都是2元钱5个，结果小明少花了4元钱，那么小明共买了多少个球？

分析：

根据题意我们可知盒内的球的数量一定是2、3、5的倍数，假设1份球数是30个；原来各买一份要：

　　30÷2＋30÷3＝15＋10＝25（元）；现在要（30＋30）÷5×2＝24（元）；即小明每买30＋30＝60个球，就可以少花1元钱，那么小明一共就买了4×60＝240个球。

解：

假设1份球数是30个；4÷［（30÷2＋30÷3）－（30＋30）÷5×2］＝4（份）

　（30＋30）×4＝240（个）　　　　　答：

小明共买了240个球