小学数学北师版五年级下册九连环校本教材docx.docx
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小学数学北师版五年级下册
第一课九连环
（一）
一、起源与发展
九连环流传千年而不衰，征服了无数中外爱好者，是中华
民族传统文化中的一颗璀璨明珠。
与七巧板、华容道、鲁班锁并
称为我国古代四大智力玩具。
九连环在英语里的名称是TheChineseRings，或TheChineseRingsPuzzle。
其最早可追
溯到先秦时代，在《战国策·齐策》中有这样一则故事：
秦王曾派使者送给齐国王后一个玉连环，并且问：
“齐国有不少聪明人，能否解开这玉连环？
”这当然是在故意刁难齐国君臣，以显示秦国的强大。
王后遍示群臣，竟没有人能解开。
最后
齐国的王后只好“引椎椎破之”，当然，这种以毁坏性的方式只能算是无奈之举，本质上不能算作解开。
因关系到两国外交上的体面，齐国王后虽然不知道解法，也不肯在秦使面前认输，所以才想出了这么一招。
在明清时期，上至士大夫，下至贩夫走卒，大家都很喜欢它。
很多著名文学作品都提到过九连环，《红楼梦》中就有林黛玉巧解九连环的记载。
1
图1
在国外，数学家卡尔达诺在公元1550年已经提到了九连
环。
后来，数学家华利斯对九连环做了精辟的分析。
格罗斯也深入研究了九连环，用二进制数给了它一个十分完美的答案。
19世纪的格罗斯经过运算，证明解开九连环共需要三百四十一步，到目前为止还没有其它更为便捷的答案。
解九连环不但难度大，而且操作相当复杂，即使是熟手，也
需6-8分钟（目前最快纪录可在3分钟左右）。
十连环的话，需要682步，20到40分钟才能解开。
假如做成三十三连环，即使你夜以继日，不吃不喝，一步不错，一世也解不开它，因为要走57亿步，约需180年才能解开。
二、结构与特点
2
九连环主要是由一个框架和九个圆环组成：
每个圆环上连有一个直杆，而这个直杆则在后面一个圆环内穿过，九个直杆的另一端用一块木板或圆环相对固定，以解开为胜。
图2古代贵族阶层玩的豪华九连环
3
图3九连环
三、功能与特点
九连环可以从小就培养青少年对数学的兴趣，寓教其中，让学生理解数学多么奥妙，多么有趣。
（一）解九连环还有三大功能：
1.培养学生打破思维定势，从多角度多渠道去看事物，容易找出新的
解决办法。
2.培养学生注意力、耐心、和信心。
3.培养学生的好奇、好问、好动、好玩的好习惯。
（二）连环类玩具有三大特点：
1.挑战性。
任何一种连环的解法都具有较高的难度，有的
4
难度极高，甚至令人觉得根本不可能解开。
因此解连环就具有强大的挑战性，强烈地吸引着人们的好奇心和征服欲。
2.规律性。
智力玩具都有其内在的规律，连环类玩具的规律
性则特别强，必须按照特定的程序，有条不紊地操作，才能最终解开。
3.趣味性。
伴随着挑战性和规律性而来的是趣味性。
苏霍姆林斯基说：
“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是希望感到自己是一个发现者、研究者、探索者。
而在儿童的精神世界中，这种需要则特别强烈。
”因此，人们对智力玩具具有天生的爱好，都想探索它、研究它、发现其中的奥妙，儿童更是如此。
挑战性越强就越能吸引人，发现规律的过程往往令人心醉神迷。
（三）九连环的妙用
1.当作门锁
法国人早就把九连环用来代替锁，以防盗贼;英国人则最早
于18世纪，用于农舍防盗。
2.应用于魔术表演
魔术表演中，经常能看到环环相扣、美轮美奂的表演。
5
图4魔术表演
3.留客
古时候商人们都称“九连环”为“留客计”。
因为九连环游
戏过程的长时间性，所以被古人经常用作留住客人的手段。
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第二课九连环
（二）
一、九的具体成与构
九由两部分成，一部分称作“”（杆、柄都可
），另一部分主要是由九个构成的，如下。
九个，按照
从左到右依次称第一个到第九个，或1号到9号。
最
靠近把的那个叫9号。
每个上都又套着一个杆的小，1号的杆穿2
号，2号的杆穿3号，⋯⋯杆的另一端通底板，
上被接在一起，从而使9个形成叠扣的关系。
九
的奥妙就是由它的种构引起的。
123456789
底板
5
7
环与环杆环杆与底板
图6
图7
二、九连环的基本结构认识
按照和钗的关系，每个环都有两个状态：
在钗上或在钗下，
简称在上和在下。
图8中的九个环都在钗上，而图9中的九个
8
环都在钗下。
我们用九个数字表示九个环的状态，0表示在钗下，1表示在钗上。
如001100010表示从左到右第3，4，
8三个环状钗上，其余的环在钗下。
图8九个环都在钗上，表示为111111111
图9九个环都在钗下，表示为000000000
所谓玩九连环，或者说解九连环，就是把原来不在钗上的环套在钗上，我们称为某环“上去”或者“上”某环；或者相反，
使原来在钗上的环不再在钗上，我们称为某环“下来”，或者“下”某环。
一般玩九连环，就是当九个环都不在钗上时，把九个环都上上去；或者当九个环都在钗上时，把它们都下下来，也就是从在状态000000000到状态111111111，或者相反。
当然，也可
9
以有其他过程，即从某一个状态到另一个状态。
玩九连环，习惯左手拿环的部分，右手拿钗，如图10。
图10
玩九连环，右手在反复往返动作，而左手手指在不停的做着
把环套上或卸下的动作，正是活动左手的运动。
大家都知道，活动左手可以开发右脑，这也是的九连环的一个作用。
三、九连环的四个规则
试着玩几下，就可以发现九连环有三个基本动作，其中只
改变一个环的状态的（每次只能把一个环上或者下）有以下两个动作：
1.基本动作①．
任何时候可以改变1号环的状态，即：
当1号环在上的时候，可以下1号环；当1号环在下的时候，可以上1号环。
10
注意这两个动作只能进行其一。
下面几图表示了这个动作。
开始状况000000000
1号环上升
11
把1号环从钗中间向上穿过
钗稍后移，1号环向下倾斜
使钗从1号环中穿过
12
至此，1号环上去了，状态变为100000000。
如果是反过来进行，就是下1号环。
我们把上或下1号环都称作动作P。
2.基本动作②．
可以改变”第一个在上的环”的下一个环（指右边的一个环，如果右边没有环，当然不能做此动作）的状态。
注意这里“第一
个在上的环”并不是“1号环”。
例如，当仅有1号环在上时即状态100000000，这1号环就是第一个在上的环，可以改变它右面即2号环的状态：
原来在上可以下，原来在下可以上。
又如当仅有5号环和8号环在上时即状态000010010，第一个在上的环就是5号环，此时可以改变6号环的状态：
原来在上可以下，原来在下可以上。
操作方法如下图。
状态000010010，即仅有5号和8号环在上
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6号环升高，从拆中穿过
6号环降低,钗前移穿过5，6号环
至此，6号环上去了，状态变为000011010。
当然，如果是反
过来进行，就是下这第二个在上的环。
我们把上或下第二个在上
的环都称作动作Q。
注意，所有环都在下的状态000000000，或者仅有最后一个
环（第九个环）在上的状态000000001，是不能做动作Q的，
因为前者没有第一个在上的环，后者第一个在上的环右面没有环
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了。
其他状态都可以做这个动作。
同时改变两个环的状态，仅有一个动作：
3.简化动作1号2号环状态相同时可以同时改变状态，即
当1号2号环都在上时可以一次操作同时下来；当1号2号
环都在下时可以一次操作同时上去。
操作与仅1号环上或下相似，见下面图示。
状态000000000
第1，2号环上升由钗中穿过
15
钗后移
第1,2号环向下倾斜，钗从中穿过，成为状态110000000
同时上或下1号2号环称作动作R。
当然，如果1，2号
环有一个在上而另一个在下，不能进行动作R。
这样，任何状态都可以进行动作P；除了状态000000000和
000000001外，都可进行动作Q；状态00*******或11*******
可以进行动作R。
九连环只有这三个基本动作可以一次进行，其
他动作都是相继进行这三个动作。
有一个重要的限制。
每种动作如果连续进行两次，例如PP，
那就是刚上了1号环，又下1号环；或者刚下了1号环，又
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上1号环。
又如QQ，那就是刚上了第二个在上的环，紧跟着又下这个环；或者是刚下了第二个在上的环，紧跟着又上这个环。
再如RR，是刚下了第1，2号环，又上这两个环；或者刚上了第1，2号环，又下这两个环。
这都是刚刚向目标前进了一步，又原路后退一步，白费了功夫，而九连环的状态没有改变。
反之，只要不连续做同一个动作，就不会原路退回。
因此，在实际玩九连环时，应该规定：
4.不重复规则动作P、Q、R都不可连续重复做两次。
以上四点，就是九连环的玩法的全部依据，可以称为四个规
则。
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第三课九连环（三）
九的解法
掌握了九的基本原以后，我可以学九的解法了。
此，我先看一个各上、下的可能性。
于1号，由于没有的的杆束它，所以可以自由上下，是没有疑的。
于2号，由于1号的杆从其中穿，受到束，所以
它可以同1号“随”，即随同1号一起上下。
如果2号
要独下，1号必留在上，否的，由于1号的杆
是穿2号的，而1号已从上脱下，它的杆已在外，
将阻止2号在左移柄后返回，重新从两根横杆中落
下，也就是无法下。
因此2号独下的必要条件是1号留在柄上。
至于上2号，1号在上是下均可，1号在下由于1号的杆是穿2号的，在2号上，将着把1号也到内横杠上方“浮”着，只要把它推端即可。
于3号的下，我看到，若1，2号同在上，1号的杆将阻止3号左移柄，而若1，2号均在下，
2号的杆将阻止3号左移柄从两个横杠中落下，都是无法的，因此，只有当1号在下，而2号在上是，
3号才能下。
反之亦然。
往下，4号、5号⋯⋯的上下，就都同3号似了，也
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就是，只有当它前面的一个在上，再前面的所有都在柄下，个才有可能上下。
用数学方法表达的，其是：
如果只有n号在上，n+1号就可以从上取下或装上。
因此，如果想要取下9号，8号必在上，而1-7号又都必在下；如果取下7号，6号必在上，而小
于6号的都先取下；如果取下5号，4号必在上而先要将1-3号取下⋯⋯，在玩九要把9个都从上取下，第一步取下1号，而不可将1、2号同取下。
：
九的每个互相制，只有第一能自由上下。
要想下/上第n个，就必足两个条件（第一个除外）：
（一）第n-1个在架上；
（二）n-1个前面的全部不在架上。
一句概括：
后一个要上或下，前面要有且只有与它相的那个。
解法的本：
解n，就是先解一个n-2，再解最后一个，再上n-2，再解n-1；
每一个的上法：
从杆的中上穿并从手柄的端套入；每一个的下法：
从杆的端解套并从手柄的中下放。
下面，出取下九的全程。
其中12上、12下指的是
1号和2号同上下，算一步。
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基本练习
（一）
第1环：
自由上下（1上1下）
1～2环：
同上同下（12上12下）
基本练习
（二）
1～3环下法：
1下3下1上12下
基本练习（三）
1～3环上法：
12上1下3上12上
问题与思考：
12环在上，3能否拿下？
12环在下，3能否上去？
3在什么情况下可以自由上下？
回答：
3的前面有且只有2时，才能自由上下。
结论：
后一个环要上或下，则前面要有且只有与它相邻的那个
环。
基本练习（四）
1～4环下法：
12下4下12上1下3下1上12下
基本练习（五）
1～4环上法：
12上1下3上1上12下4上12上
20
归纳与总结：
1～4环下环全部过程：
（一）12环下，4环下。
（二）12环上，1～3环下。
1～4环上环全部过程：
（一）1～3环上，12环下。
（二）4环上，12环上。
结论：
4的前面有且只有3时，才能自由上下。
基本练习（六）
1～5环下法：
1下3下1上2下1下5下12上1下3上1
上12下4下12上1下3下1上12下
基本练习（七）
1～5环上法：
12上1下3上1上12下4上12上1下3下
1上12下5上12上1下3上12上
归纳与总结：
1～5环下环全部过程：
（一）1～3环下，5环下。
（二）1～3环上，1～4环下。
21
1～5环上环全部过程：
（一）1～4环上，1～3环下，5环上。
（二）1～3环上。
结论：
5的前面有且只有4时，才能自由上下
五、比一比赛一赛
（一）看谁先完成1～5环的下环过程
（二）看谁先完成1～5环的上环过程
六、挑战
看谁最快能达到以下状态：
（一）1、3、5在下，2、4在上。
（二）1、3、5在上，2、4在下。
（三）1、2、4在上，3、5在下。
（四）1、2、4在下，3、5在上。
第四课九连环（四）
一、复习与巩固
22
复习与巩固
（一）
1～5环下法：
1下3下1上2下1下5下12上1下3上1
上12下4下12上1下3下1上12下
复习与巩固
（二）
1～5环上法：
12上1下3上1上12下4上12上1下3
下1上12下5上12上1下3上12上
复习与巩固（三）
1～5环下环全部过程：
（一）1～3环下，5环下。
（二）1～3环上，1～4环下。
1～5环上环全部过程：
（一）1～4环上，1～3环下，5环上。
（二）1～3环上。
结论：
5的前面有且只有4时，才能自由上下。
二、基本练习
基本练习
（一）
下1-7环过程：
23
（一）1～5环下，7环下。
（二）1～5环上，1～6环下
基本练习
（二）
上1-7环过程：
（一）1～6环上，1～5环下，7环上。
（二）1～5环上。
归纳与总结
1～7环下环全部过程：
（一）1～5环下，7环下。
（二）1～5环上，1～6环下。
1～7环上环全部过程：
（一）1～6环上，1～5环下，7环上。
（二）1～5环上。
结论：
7的前面有且只有6时，才能自由上下。
三、比一比赛一赛
（一）看谁先完成1～7环的下环过程
（二）看谁先完成1～7环的上环过程
24
四、问题与思考
思考：
当环的总数是奇数时，要全部上下应如何操作？
结论：
奇数个环时，应依次取下最前面的奇数环。
例：
要下7连环应先下1、3、5环。
思考：
当环的总数是偶数时，要全部上下应如何操作？
结论：
偶数个环时，应依次取下最前面的偶数环。
例：
要下6连环应先下2、4环。
五、比一比赛一赛
（一）看谁先完成1～6环的下环过程
（二）看谁先完成1～6环的上环过程
六、挑战
看谁最快能达到以下状态：
（一）1、3、5、7在下，2、4、6在上。
（二）3、5、7在上，2、4、6在下。
（三）1、4、7在下，2、3、5、6在上。
（四）1、4、7在上，2、3、5、6在下。
第五课九连环（五）
一、复习与巩固
25
复习与巩固
（一）
1～5环下法：
1下3下1上2下1下5下12上1下3上1
上12下4下12上1下3下1上12下
复习与巩固
（二）
1～5环上法：
12上1下3上1上12下4上12上1下3
下1上12下5上12上1下3上12上
复习与巩固（三）——归纳与总结：
1～5环下环全部过程：
（一）
1～3
环下，5环下。
（二）
1～3
环上，1～4环下。
1～5环上环全部过程：
（一）1～4环上，1～3环下，5环上。
（二）1～3环上。
结论：
5的前面有且只有4时，才能自由上下。
复习与巩固（四）
下1-7环过程：
（一）1～5环下，7环下。
26
（二）1～5环上，1～6环下。
复习与巩固（五）
上1-7环过程：
（一）1～6环上，1～5环下，7环上。
（二）1～5环上。
复习与巩固（六）——归纳与总结：
1～7环下环全部过程：
（一）1～5环下，7环下。
（二）1～5环上，1～6环下。
1～7环上环全部过程：
（一）1～6环上，1～5环下，7环上。
（二）1～5环上。
结论：
7的前面有且只有6时，才能自由上下。
二、基本练习
基本练习
（一）
27
下1-9环过程：
（一）1～7环下，9环下。
（二）1～7环上，1～8环下。
基本练习
（二）
上1-9环过程：
（一）1～8环上，1～7环下，9环上。
（二）1～7环上。
归纳与总结
1～9环下环全部过程：
（一）1～7环下，9环下。
（二）1～7环上，1～8环下
1～9环上环全部过程：
（一）1～8环上，1～7环下，9环上。
（二）1～7环上。
结论：
9的前面有且只有8时，才能自由上下。
三、比一比赛一赛
（一）看谁先完成1～9环的下环过程
28
（二）看谁先完成1～9环的上环过程
问题与思考：
当环的总数是奇数时，要全部上下应如何操作？
结论：
奇数个环时，应依次取下最前面的奇数环。
例：
要下7连环应先下1、3、5、7环。
问题与思考：
当环的总数是偶数时，要全部上下应如何操作？
结论：
偶数个环时，应依次取下最前面的偶数环。
例：
要下6连环应先下2、4、6环。
四、比一比赛一赛
（一）看谁先完成1～9环的下环过程
（二）看谁先完成1～9环的上环过程
问题与思考：
（一）要全解开或全套上，下一步分别是什么？
（二）要全解开或全套上，下一步分别是什么？
五、挑战
看谁最快能达到以下状态：
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（一）2、4、6、8在下，1、3、5、7、9在上。
（二）2、4、6、8在上，1、3、5、7、9在下。
（三）1、2、3、4、5在上，6、7、8、9在下。
（四）2、4、5、7、8在下，1、3、6、9在下。
（五）2、4、7在下，1、3、5、6、8、9在上。
第六课九连环（六）
给出取下九连环的全过程。
其中12上、12下指的是1号环和2
30
号环同时上下，这算一步。
下1，（1号环下）
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