二次函数性质及应用题.docx

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二次函数性质及应用题

二次函数应用题

例1、一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈。

已知篮圈中心到地面的距离为3.05米。

（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式；

（2）该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，

问：

球出手时，他跳离地面的高度是多少？

简解：

（1）由于抛物线的顶点是（0，3.5），故可设其解析式为y=ax2+3.5。

又由于抛物线过（1.5，3.05），于是求得a=-0.2。

∴抛物线的解析式为y=-0.2x2+3.5。

（2）当x=-2.5时，y=2.25。

∴球出手时，他距地面高度是2.25-1.8-0.25=0.20（米）。

评析：

运用投球时球的运动轨迹、弹道轨迹、跳水时人体的运动轨迹，抛物线形桥孔等设计的二次函数应用问题屡见不鲜。

解这类问题一般分为以下四个步骤：

（1）建立适当的直角坐标系（若题目中给出，不用重建）；

（2）根据给定的条件，找出抛物线上已知的点，并写出坐标；

（3）利用已知点的坐标，求出抛物线的解析式。

①当已知三个点的坐标时，可用一般式y=ax2+bx+c求其解析式；②当已知顶点坐标为（k，h）和另外一点的坐标时，可用顶点式y=a（x-k）2+h求其解析式；③当已知抛物线与x轴的两个交点坐标分别为（x1，0）、（x2，0）时，可用双根式y=a（x-x1）（x-x2）求其解析式；

（4）利用抛物线解析式求出与问题相关的点的坐标，从而使问题获解。

例2、某商场购进一批单价为16元的日用品，经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y（件）是价格x（元/件）的一次函数．

（1）试求y与x之间的关系式；

（2）在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润？

每月的最大利润是多少？

解：

（1）依题意设y=kx+b，则有

所以y=-30x+960（16≤x≤32）．

（2）每月获得利润P=（-30x+960）（x-16）

=30（-x+32）（x-16）

=30（+48x-512）

=-30+1920．

所以当x=24时，P有最大值，最大值为1920．

答：

当价格为24元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为1920元．

注意：

数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用一元二次函数求最值．

例3、在体育测试时，初三的一名高个子男同学推铅球，已知铅球所经过的路线是某个二次函数图像的一部分，如图所示，如果这个男同学的出手处A点的坐标（0，2），铅球路线的最高处B点的坐标为（6，5）

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）该男同学把铅球推出去多远？

（精确到0.01米，）

解：

（1）设二次函数的解析式为

，顶点坐标为（6，5）

A（0，2）在抛物线上

（2）当时，

（不合题意，舍去）

（米）

答：

该同学把铅球抛出13.75米.

例4、某商场以每件42元的价钱购进一种服装，根据试销得知：

这种服装每天的销售量（件），与每件的销售价（元/件）可看成是一次函数关系：

1.写出商场卖这种服装每天的销售利润与每件的销售价之间的函数关系式（每天的销售利润是指所卖出服装的销售价与购进价的差）；

2.通过对所得函数关系式进行配方，指出：

商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适；最大销售利润为多少？

分析：

商场的利润是由每件商品的利润乘每天的销售的数量所决定。

在这个问题中，每件服装的利润为（），而销售的件数是（+204），那么就能得到一个与之间的函数关系，这个函数是二次函数.

要求销售的最大利润，就是要求这个二次函数的最大值.

解：

（1）由题意，销售利润与每件的销售价之间的函数关系为

=（－42）（－3＋204），即=－32+8568

（2）配方，得=－3（－55）2+507

∴当每件的销售价为55元时，可取得最大利润，每天最大销售利润为507元.

例5、某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）.在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面米，入水处距池边的距离为4米，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误.

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是

（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为米，问此次跳水会不会失误？

并通过计算说明理由

分析：

（1）在给出的直角坐标系中，要确定抛物线的解析式，就要确定抛物线上三个点的坐标，如起跳点O（0，0），入水点（2，－10），最高点的纵点标为.

（2）求出抛物线的解析式后，要判断此次跳水会不会失误，就是要看当该运动员在距池边水平距离为米.时，该运动员是不是距水面高度为5米.

解：

（1）在给定的直角坐标系下，设最高点为A，入水点为B，抛物线的解析式为.

由题意，知O（0，0），B（2，－10），且顶点A的纵坐标为.

解得或

∵抛物线对称轴在轴右侧，∴

又∵抛物线开口向下，∴a＜0,b＞0

∴抛物线的解析式为

（2）当运动员在空中距池边的水平距离为米时，

即时，

∴此时运动员距水面的高为

因此，此次跳水会失误.

例6、某服装经销商甲，库存有进价每套400元的A品牌服装1200套，正常销售时每套600元，每月可买出100套，一年内刚好卖完，现在市场上流行B品牌服装，此品牌服装进价每套200元，售出价每套500元，每月可买出120套（两套服装的市场行情互不影响）。

目前有一可进B品牌的机会，若这一机会错过，估计一年内进不到这种服装，可是，经销商手头无流动资金可用，只有低价转让A品牌服装，经与经销商乙协商，达成协议，转让价格（元/套）与转让数量（套）有如下关系：

转让数量（套）120011001000900800700600500400300200100

价格（元/套）240250260270280290300310320330340350

方案1：

不转让A品牌服装，也不经销B品牌服装；

方案2：

全部转让A品牌服装，用转让来的资金购B品牌服装后，经销B品牌服装；

方案3：

部份转让A品牌服装，用转让来的资金购B品牌服装后，经销B品牌服装，同时经销A品牌服装。

问：

①经销商甲选择方案1与方案2一年内分别获得利润各多少元？

②经销商甲选择哪种方案可以使自己一年内获得最大利润？

若选用方案3，请问他转让给经销商乙的A品牌服装的数量是多少（精确到百套）？

此时他在一年内共得利润多少元？

解：

经销商甲的进货成本是==480000（元）

①若选方案1，则获利1200600-480000=240000（元）

若选方案2，得转让款1200240=288000元，可进购B品牌服装套，一年内刚好卖空可获利1440500-480000=240000（元）。

②设转让A品牌服装x套，则转让价格是每套元，可进购B品牌服装套，全部售出B品牌服装后得款元，此时还剩A品牌服装（1200-x）套，全部售出A品牌服装后得款600（1200-x）元，共获利，故当x=600套时，可的最大利润330000元。

三、练习题：

1、某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量（件）与每件的销售价（元）满足一次函数：

（1）写出商场卖这种商品每天的销售利润与每件的销售价间的函数数关系式.

（2）如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？

最大销售利润为多少？

2、如图，一边靠学校院墙，其它三边用40米长的篱笆围成一个矩形花圃，设矩形的边米，面积为平方米.

（1）求：

与之间的函数关系式，并求当米2时，的值；

（2）设矩形的边米，如果满足关系式即矩形成黄金矩形，求此黄金矩形的长和宽.

练习1答案：

当定价为42元时，最大销售利润为432元.

练习2答案：

（1）

当时，

（2）当则①

又②

由①、②解得，

其中20不合题意，舍去，

当矩形成黄金矩形时，宽为，长为.

3、某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上，抛物线形状如图所示，如图建立直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是.

请回答下列问题：

1.柱子OA的高度为多少米？

2.喷出的水流距水平面的最大高度是多少米？

3.若不计其它因素，水池的半径至少要多少米，才能喷出的水流不至于落在池外？

练习3答案：

（1）OA高度为米.

（2）当时，，即水流距水平面的最大高为米.

（3）

其中不合题意，

答：

水池的半径至少要2.5米，才能使喷出的水流不至于落在池外.

一、选择题:

1.（2003•大连）抛物线y=（x-2）2+3的对称轴是（）.

A.直线x=-3B.直线x=3C.直线x=-2D.直线x=2

2.（2004•重庆）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,则点M（b,）在（）.

A.第一象限;B.第二象限;C.第三象限;D.第四象限

3.（2004•天津）已知二次函数y=ax2+bx+c,且a<0,a-b+c>0,则一定有（）.

A.b2-4ac>0B.b2-4ac=0

C.b2-4ac<0D.b2-4ac≤0

4.（2003•杭州）把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式是y=x2-3x+5,则有（）.

A.b=3,c=7B.b=-9,c=-15

C.b=3,c=3D.b=-9,c=21

5.（2004•河北）在同一直角坐标系中,一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为（）.

6.（2004•昆明）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点P的横坐标是4,图象交x轴于点A（m,0）和点B,且m>4,那么AB的长是（）.

A.4+mB.mC.2m-8D.8-2m

二、填空题

1.（2004•河北）若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=（x-h）2+k的形式,则y=_______.

2.（2003•新疆）请你写出函数y=（x+1）2与y=x2+1具有的一个共同性质_______.

3.（2003•天津）已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2,且经过点（1,4）和点（5,0）,则该抛物线的解析式为_________.

4.（2004•武汉）已知二次函数的图象开口向下,且与y轴的正半轴相交,请你写出一个满足条件的二次函数的解析式:

_________.

5.（2003•黑龙江）已知抛物线y=ax2+x+c与x轴交点的横坐标为-1,则a+c=_____.

6.（2002•北京东城）有一个二次函数的图象,三位学生分别说出了它的一些特点:

甲:

对称轴是直线x=4;

乙:

与x轴两个交点的横坐标都是整数;

丙:

与y轴交点的纵坐标也是整数,且以这三个交点为顶点的三角形面积为3.

请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式:

三、解答题

1.（2003•安徽）已知函数y=x2+bx-1的图象经过点（3,2）.

（1）求这个函数的解析式;

（2）画出它的图象,并指出图象的顶点坐标;

（3）当x>0时,求使y≥2的x取值范围.

2.（2004•济南）已知抛物线y=-x2+（6-）x+m-3与x轴有A、B两个交点,且A、B两点关于y轴对称.

（1）求m的值;

（2）写出抛物线解析式及顶点坐标;

（3）根据二次函数与一元二次方程的关系将此题的条件换一种说法写出来.

3.（2004•南昌）在平面直角坐标系中,给定以下五点A（-2,0）,B（1,0）,C（4,0）,D（-2,）,E（0,-6）,从这五点中选取三点,使经过这三点的抛物线满足以平行于y轴的直线为对称轴.我们约定:

把经过三点A、E、B的抛物线表示为抛物线AEB（如图所示）.

（1）问符号条件的抛物线还有哪几条?

不求解析式,请用约定的方法一一表示出来;

（2）在

（1）中是否存在这样的一条抛物线,它与余下的两点所确定的直线不相交?

如果存在,试求出解析式及直线的解析式;如果不存在,请说明理由.

能力提高练习

一、学科内综合题

1.（2003•新疆）如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于B、C两点,与y轴交于A点.

（1）根据图象确定a、b、c的符号,并说明理由;

（2）如果点A的坐标为（0,-3）,∠ABC=45°,∠ACB=60°,求这个二次函数的解析式.

二、实际应用题

2.（2004•河南）某市近年来经济发展速度很快,根据统计:

该市国内生产总值1990年为8.6亿元人民币,1995年为10.4亿元人民币,2000年为12.9亿元人民币.

经论证,上述数据适合一个二次函数关系,请你根据这个函数关系,预测2005年该市国内生产总值将达到多少?

3.（2003•辽宁）某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,公司经历了从亏损到盈利的过程.下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）.

根据图象（图）提供的信息,解答下列问题:

（1）由已知图象上的三点坐标,求累积利润s（万元）与时间t（月）之间的函数关系式;

（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元;

（3）求第8个月公司所获利润是多少万元?

4.（2003•吉林）如图,有一座抛物线形拱桥,在正常水位时水面AB的宽为20m,如果水位上升3m时,水面CD的宽是10m.

（1）建立如图所示的直角坐标系,求此抛物线的解析式;

（2）现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地,已知甲地距此桥280km（桥长忽略不计）.货车正以每小时40km的速度开往乙地,当行驶1小时时,忽然接到紧急通知:

前方连降暴雨,造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD处,当水位达到桥拱最高点O时,禁止车辆通行）,试问:

如果货车按原来速度行驶,能否完全通过此桥?

若能,请说明理由;若不能,要使货车安全通过此桥,速度应超过每小时多少千米?

三、开放探索题

5.（2003•济南）某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图象性质的问题时,发现了两个重要的结论.一是发现抛物线y=ax2+2x+3（a≠0）,当实数a变化时,它的顶点都在某条直线上;二是发现当实数a变化时,若把抛物线y=ax2+2x+3的顶点的横坐标减少,纵坐标增加,得到A点的坐标;若把顶点的横坐标增加,纵坐标增加,得到B点的坐标,则A、B两点一定仍在抛物线y=ax2+2x+3上.

（1）请你协助探求出当实数a变化时,抛物线y=ax2+2x+3的顶点所在直线的解析式;

（2）问题

（1）中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点,你能找出它来吗?

并说明理由;

（3）在他们第二个发现的启发下,运用“一般——特殊——一般”的思想,你还能发现什么?

你能用数学语言将你的猜想表述出来吗?

你的猜想能成立吗?

若能成立,请说明理由.

6.（2004•重庆）如图,在直角坐标系中,正方形ABCD的边长为a,O为原点,点B在x轴的负半轴上,点D在y轴的正半轴上.直线OE的解析式为y=2x,直线CF过x轴上一点C（-a,0）且与OE平行.现正方形以每秒的速度匀速沿x轴正方向平行移动,设运动时间为t秒,正方形被夹在直线OE和CF间的部分的面积为S.

（1）当0≤t<4时,写出S与t的函数关系;

（2）当4≤t≤5时,写出S与t的函数关系,在这个范围内S有无最大值?

若有,请求出最大值;若没有,请说明理由.

答案:

基础达标验收卷

一、1.D2.D3.A4.A5.B6.C

二、1.（x-1）2+22.图象都是抛物线或开口向上或都具有最低点（最小值）3.y=-x2+2x+4.如y=-x2+15.1

6.y=x2-x+3或y=-x2+x-3或y=-x2-x+1或y=-x2+x-1

三、

1.解:

（1）∵函数y=x2+bx-1的图象经过点（3,2）,

∴9+3b-1=2,解得b=-2.

∴函数解析式为y=x2-2x-1.

（2）y=x2-2x-1=（x-1）2-2.

图象略.

图象的顶点坐标为（1,-2）.

（3）当x=3时,y=2,根据图象知,当x≥3时,y≥2.

∴当x>0时,使y≥2的x的取值范围是x≥3.

2.

（1）设A（x1,0）B（x2,0）.

∵A、B两点关于y轴对称.

∴∴

解得m=6.

（2）求得y=-x2+3.顶点坐标是（0,3）

（3）方程-x2+（6-）x+m-3=0的两根互为相反数（或两根之和为零等）.

3.解:

（1）符合条件的抛物线还有5条,分别如下:

①抛物线AEC;②抛物线CBE;③抛物线DEB;④抛物线DEC;⑤抛物线DBC.

（2）在

（1）中存在抛物线DBC,它与直线AE不相交.

设抛物线DBC的解析式为y=ax2+bx+c.

将D（-2,）,B（1,0）,C（4,0）三点坐标分别代入,得

解这个方程组,得a=,b=-,c=1.

∴抛物线DBC的解析式为y=x2-x+1.

【另法:

设抛物线为y=a（x-1）（x-4）,代入D（-2,）,得a=也可.】

又将直线AE的解析式为y=mx+n.

将A（-2,0）,E（0,-6）两点坐标分别代入,得

解这个方程组,得m=-3,n=-6.

∴直线AE的解析式为y=-3x-6.

能力提高练习

一、

1.解:

（1）∵抛物线开口向上,∴a>0.

又∵对称轴在y轴的左侧,

∴-<0,∴b>0.

又∵抛物线交于y轴的负半轴.

∴c<0.

（2）如图,连结AB、AC.

∵在Rt△AOB中,∠ABO=45°,

∴∠OAB=45°.∴OB=OA.∴B（-3,0）.

又∵在Rt△ACO中,∠ACO=60°,

∴OC=OA•cot60°=,∴C（,0）.

设二次函数的解析式为

y=ax2+bx+c（a≠0）.

由题意

∴所求二次函数的解析式为y=x2+（-1）x-3.

2.依题意,可以把三组数据看成三个点:

A（0,8.6）,B（5,10.4）,C（10,12.9）

设y=ax2+bx+c.

把A、B、C三点坐标代入上式,得

解得a=0.014,b=0.29,c=8.6.

即所求二次函数为

y=0.014x2+0.29x+8.6.

令x=15,代入二次函数,得y=16.1.

所以,2005年该市国内生产总值将达到16.1亿元人民币.

3.解:

（1）设s与t的函数关系式为s=at2+bt+c

由题意得或解得

∴s=t2-2t.

（2）把s=30代入s=t2-2t,得30=t2-2t.

解得t1=0,t2=-6（舍）.

答:

截止到10月末公司累积利润可达到30万元.

（3）把t=7代入,得s=×72-2×7==10.5;

把t=8代入,得s=×82-2×8=16.

16-10.5=5.5.

答:

第8个月公司获利润5.5万元.

4.解:

（1）设抛物线的解析式为y=ax2,桥拱最高点O到水面CD的距离为hm,

则D（5,-h）,B（10,-h-3）.

∴解得

抛物线的解析式为y=-x2.

（2）水位由CD处涨到点O的时间为:

1÷0.25=4（小时）.

货车按原来速度行驶的路程为:

40×1+40×4=200<280,

∴货车按原来速度行驶不能安全通过此桥.

设货车速度提高到xkm/h.

当4x+40×1=280时,x=60.

∴要使货车完全通过此桥,货车的速度应超过60km/h.

5.略

6.解:

（1）当0≤t<4时,

**建材店为某工厂代销一种建筑磁疗（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后进行结算，未售出的由厂家负责处理）.当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，该建材店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销。

经市场调查发下：

当每吨下降10元时，月销售量就会增加7.5吨.综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料供需支付厂家及其其他费用共100元。

设每吨材料售价为x（元），该经销店的越利润为y（元）

1.当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；

2.求出y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；

3.该建材店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？

4.小静说：

“当月利润最大时，月销售额也最大。

”你认为对么？

请说明理由.

1、45+（（260-240）/10）×7.5=60

2、y=（x-100）*（45+（260-x）/10*7.5）=-0.75x^2+315x-24000

3、利润最大就是要求函数的最大值，y=-0.75（x-210）^2+9075所以x=210时获得最大利润，y=9075

4、不对。

（这一问有比较多的方法回答，个人觉得最好的方法是画个函数简图）根据图像可以看出当x>210后利润会越来越少直至为负。

如果觉得话图麻烦就举个反例，取x>210，如当x=260时利润为y=7200，即利润为7200，小于x=210时的9072元。

某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体

（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标

系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据

为已知条件）.在跳某个规定动作时，正常情况下，

该运动员在空中的最高处距水面米，入水处

距池边的距离为4米，运动员在距水面高度为5

米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入

水姿势，否则就会出现失误．

（Ⅰ）求这条抛物线的解析式；

（Ⅱ）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（Ⅰ）中的抛物线，且运动员

在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为米，问此次跳水会不会失误？

并通过计算说明理由．

分析：

（Ⅰ）在给出的直角坐标系中，要确定抛物线的解析式，就要确定抛物线上三个点的坐标，如起跳点O（0，0），入水点（2，－10），最高点的纵点标为.

（Ⅱ）求出抛物线的解析式后，要判断此次跳水会不会失误，就是要看当该运动员在距池边水平距离为米，时，该运动员是不是距水面高