各地初三毕业升学考试数学压轴题精选.docx
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各地初三毕业升学考试数学压轴题精选
2012年各地初三毕业升学考试数学压轴题精选
【31.2012娄底】
24.已知二次函数y=x2﹣（m2﹣2）x﹣2m的图象与x轴交于点A（x1，0）和点B（x2，0），x1
（1）求这个二次函数的解析式;
（2）探究：
在直线y=x+3上是否存在一点P，使四边形PACB为平行四边形?
如果有，求出点P的坐标;如果没有，请说明理由.
考点：
二次函数综合题。
分析：
（1）欲求抛物线的解析式，关键是求得m的值.根据题中所给关系式，利用一元二次方程根与系数的关系，可以求得m的值，从而问题得到解决.注意：
解答中求得两个m的值，需要进行检验，把不符合题意的m值舍去;
（2）利用平行四边形的性质构造全等三角形，根据全等关系求得P点的纵坐标，进而得到P点的横坐标，从而求得P点坐标.
解答：
解：
（1）∵二次函数y=x2﹣（m2﹣2）x﹣2m的图象与x轴交于点A（x1，0）和点B（x2，0），x1
令y=0，即x2﹣（m2﹣2）x﹣2m=0①，则有：
x1+x2=m2﹣2，x1x2=﹣2m.
∴===，
化简得到：
m2+m﹣2=0，解得m1=﹣2，m2=1.
当m=﹣2时，方程①为：
x2﹣2x+4=0，其判别式△=b2﹣4ac=﹣12<0，此时抛物线与x轴没有交点，不符合题意，舍去;
当m=1时，方程①为：
x2+x﹣2=0，其判别式△=b2﹣4ac=9>0，此时抛物线与x轴有两个不同的交点，符合题意.
∴m=1，
∴抛物线的解析式为y=x2+x﹣2.
（2）假设在直线y=x+3上是否存在一点P，使四边形PACB为平行四边形.
如图所示，连接PA.PB.AC.BC，过点P作PD⊥x轴于D点.
∵抛物线y=x2+x﹣2与x轴交于A.B两点，与y轴交于C点，
∴A（﹣2，0），B（1，0），C（0，2），∴OB=1，OC=2.
∵PACB为平行四边形，∴PA∥BC，PA=BC，
∴∠PAD=∠CBO，∴∠APD=∠OCB.
在Rt△PAD与Rt△CBO中，
∵，
∴Rt△PAD≌Rt△CBO，
∴PD=OC=2，即yP=2，
∴直线解析式为y=x+3，
∴xP=﹣1，
∴P（﹣1，2）.
所以在直线y=x+3上存在一点P，使四边形PACB为平行四边形，P点坐标为（﹣1，2）.
点评：
本题是代数几何综合题，考查了二次函数的图象与性质、抛物线与x轴的交点、一元二次方程根的解法及根与系数关系、一次函数、平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等方面的知识，涉及的考点较多，有一定的难度.
【32.2012福州】
22.（满分14分）如图①，已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）两点.
（1）求抛物线的解析式;
（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标;
（3）如图②，若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在
（2）的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P的坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）.
考点：
二次函数综合题.
分析：
（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可;
（2）根据已知条件可求出OB的解析式为y=x，则向下平移m个单位长度后的解析式为：
y=x-m.由于抛物线与直线只有一个公共点，意味着联立解析式后得到的一元二次方程，其根的判别式等于0，由此可求出m的值和D点坐标;
（3）综合利用几何变换和相似关系求解.
方法一：
翻折变换，将△NOB沿x轴翻折;
方法二：
旋转变换，将△NOB绕原点顺时针旋转90°.
特别注意求出P点坐标之后，该点关于直线y=-x的对称点也满足题意，即满足题意的P点有两个，避免漏解.
解答：
解：
（1）∵抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过点A（3，0）、B（4，4）.
∴9a+3b=016a+4b=4，解得：
a=1b=-3.
∴抛物线的解析式是y=x2-3x.
（2）设直线OB的解析式为y=k1x，由点B（4，4），
得：
4=4k1，解得k1=1.
∴直线OB的解析式为y=x.
∴直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为：
y=x-m.
∵点D在抛物线y=x2-3x上.
∴可设D（x，x2-3x）.
又点D在直线y=x-m上，
∴x2-3x=x-m，即x2-4x+m=0.
∵抛物线与直线只有一个公共点，
∴△=16-4m=0，解得：
m=4.
此时x1=x2=2，y=x2-3x=-2，
∴D点坐标为（2，-2）.
（3）∵直线OB的解析式为y=x，且A（3，0），
∴点A关于直线OB的对称点A'的坐标是（0，3）.
设直线A'B的解析式为y=k2x+3，过点B（4，4），
∴4k2+3=4，解得：
k2=14.
∴直线A'B的解析式是y=14x+3.
∵∠NBO=∠ABO，
∴点N在直线A'B上，
∴设点N（n，14n+3），又点N在抛物线y=x2-3x上，
∴14n+3=n2-3n，
解得：
n1=-34，n2=4（不合题意，会去），
∴点N的坐标为（-34，4516）.
方法一：
如图1，将△NOB沿x轴翻折，得到△N1OB1，
则N1（-34，-4516），B1（4，-4），
∴O、D、B1都在直线y=-x上.
∵△P1OD∽△NOB，
∴△P1OD∽△N1OB1，
∴OP1ON1=ODOB1=12，
∴点P1的坐标为（-38，-4532）.
将△OP1D沿直线y=-x翻折，可得另一个满足条件的点P2（4532，38）.
综上所述，点P的坐标是（-38，-4532）或（4532，38）.
方法二：
如图2，将△NOB绕原点顺时针旋转90°，得到△N2OB2，
则N2（4516，34），B2（4，-4），
∴O、D、B2都在直线y=-x上.
∵△P1OD∽△NOB，
∴△P1OD∽△N2OB2，
∴OP1ON2=ODOB2=12，
∴点P1的坐标为（4532，38）.
将△OP1D沿直线y=-x翻折，可得另一个满足条件的点P2（-38，-4532）.
综上所述，点P的坐标是（-38，-4532）或（4532，38）.
点评：
本题是基于二次函数的代数几何综合题，综合考查了待定系数法求抛物线解析式、一次函数（直线）的平移、一元二次方程根的判别式、翻折变换、旋转变换以及相似三角形等重要知识点.本题将初中阶段重点代数、几何知识熔于一炉，难度很大，对学生能力要求极高，具有良好的区分度，是一道非常好的中考压轴题.
【33.2012南昌】
27.如图，已知二次函数L1：
y=x2﹣4x+3与x轴交于A.B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C.
（1）写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标;
（2）研究二次函数L2：
y=kx2﹣4kx+3k（k≠0）.
①写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质;
②若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否发生变化?
如果不会，请求出EF的长度;如果会，请说明理由.
考点：
二次函数综合题。
专题：
综合题。
分析：
（1）抛物线y=ax2+bx+c中：
a的值决定了抛物线的开口方向，a>0时，抛物线的开口向上;a<0时，抛物线的开口向下.
抛物线的对称轴方程：
x=﹣;顶点坐标：
（﹣，）.
（2）①新函数是由原函数的各项系数同时乘以k所得，因此从二次函数的图象与解析式的系数的关系入手进行分析.
②联系直线和抛物线L2的解析式，先求出点E、F的坐标，进而可表示出EF的长，若该长度为定值，则线段EF的长不会发生变化.
解答：
解：
（1）抛物线y=x2﹣4x+3中，a=1、b=﹣4、c=3;
∴﹣=﹣=2，==﹣1;
∴二次函数L1的开口向上，对称轴是直线x=2，顶点坐标（2，﹣1）.
（2）①二次函数L2与L1有关图象的两条相同的性质：
对称轴为x=2或定点的横坐标为2，
都经过A（1，0），B（3，0）两点;
②线段EF的长度不会发生变化.
∵直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，
∴kx2﹣4kx+3k=8k，
∵k≠0，∴x2﹣4x+3=8，
解得：
x1=﹣1，x2=5，∴EF=x2﹣x1=6，
∴线段EF的长度不会发生变化.
点评：
该题主要考查的是函数的基础知识，有：
二次函数的性质、函数图象交点坐标的解法等，难度不大，但需要熟练掌握.
【34.2012•恩施州】
24.如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N.其顶点为D.
（1）抛物线及直线AC的函数关系式;
（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值;
（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形?
若能，求点E的坐标;若不能，请说明理由;
（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值.
考点：
二次函数综合题。
分析：
（1）利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式;
（2）根据两点之间线段最短作N点关于直线x=3的对称点N′，当M（3，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小;
（3）需要分类讨论：
①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，x+3）和②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，x﹣1），然后利用二次函数图象上点的坐标特征可以求得点E的坐标;
（4）方法一：
过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q;过点C作CG⊥x轴于点G，如图1.设Q（x，x+1），则P（x，﹣x2+2x+3）.根据两点间的距离公式可以求得线段PQ=﹣x2+x+2;最后由图示以及三角形的面积公式知S△APC=﹣（x﹣）2+，所以由二次函数的最值的求法可知△APC的面积的最大值;
方法二：
过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H;过点C作CG⊥x轴于点G，如图2.设Q（x，x+1），则P（x，﹣x2+2x+3）.根据图示以及三角形的面积公式知S△APC=S△APH+S直角梯形PHGC﹣S△AGC=﹣（x﹣）2+，所以由二次函数的最值的求法可知△APC的面积的最大值;
解答：
解：
（1）由抛物线y=﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0）及C（2，3）得，
，
解得，
故抛物线为y=﹣x2+2x+3
又设直线为y=kx+n过点A（﹣1，0）及C（2，3）得
，
解得
故直线AC为y=x+1;
（2）作N点关于直线x=3的对称点N′，则N′（6，3），由
（1）得D（1，4），
故直线DN′的函数关系式为y=﹣x+，
当M（3，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小，
则m=﹣×=;
（3）由
（1）、
（2）得D（1，4），B（1，2）
∵点E在直线AC上，
设E（x，x+1），
①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，
则F（x，x+3），
∵F在抛物线上，
∴x+3=﹣x2+2x+3，
解得，x=0或x=1（舍去）
∴E（0，1）;
②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，
则F（x，x﹣1）
由F在抛物线上
∴x﹣1=﹣x2+2x+3
解得x=或x=
∴E（，）或（，）
综上，满足条件的点E为E（0，1）、（，）或（，）;
（4）方法一：
过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q;过点C作CG⊥x轴于点G，如图1
设Q（x，x+1），则P（x，﹣x2+2x+3）
∴PQ=（﹣x2+2x+3）﹣（x﹣1）
=﹣x2+x+2
又∵S△APC=S△APQ+S△CPQ=PQ•AG
=（﹣x2+x+2）×3
=﹣（x﹣）2+
∴面积的最大值为.
方法二：
过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H;过点C作CG⊥x轴于点G，如图2，
设Q（x，x+1），则P（x，﹣x2+2x+3）
又∵S△APC=S△APH+S直角梯形PHGC﹣S△AGC=（x+1）（﹣x2+2x+3）+（﹣x2+2x+3+3）（2﹣x）﹣×3×3
=﹣x2+x+3
=﹣（x﹣）2+
∴△APC的面积的最大值为.
点评：
本题考查了二次函数综合题.解答（3）题时，要对点E所在的位置进行分类讨论，以防漏解.
【35.2012•兰州】
28.如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（-3，0）、（0，4），抛物线y=x2+bx+c经过点B，且顶点在直线x=上.
（1）求抛物线对应的函数关系式;
（2）若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由;
（3）在
（2）的条件下，连接BD，已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小，求出P点的坐标;
（4）在
（2）、（3）的条件下，若点M是线段OB上的一个动点（点M与点O、B不重合），过点M作∥BD交x轴于点N，连接PM、PN，设OM的长为t，△PMN的面积为S，求S和t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，S是否存在最大值?
若存在，求出最大值和此时M点的坐标;若不存在，说明理由.
考点：
二次函数综合题。
分析：
（1）根据抛物线y=经过点B（0，4），以及顶点在直线x=上，得出b，c即可;
（2）根据菱形的性质得出C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0），利用图象上点的性质得出x=5或2时，y的值即可.
（3）首先设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b，求出解析式，当x=时，求出y即可;
（4）利用MN∥BD，得出△OMN∽△OBD，进而得出，得到ON=，进而表示出△PMN的面积，利用二次函数最值求出即可.
解答：
解：
（1）∵抛物线y=经过点B（0，4）
∴c=4，
∵顶点在直线x=上，
∴;
∴所求函数关系式为;
（2）在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，
∴AB=，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD=DA=AB=5，
∴C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0），
当x=5时，y=，
当x=2时，y=，
∴点C和点D都在所求抛物线上;
（3）设CD与对称轴交于点P，则P为所求的点，
设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b，
则，
解得：
，
∴，
当x=时，y=，
∴P（），
（4）∵MN∥BD，
∴△OMN∽△OBD，
∴即得ON=，
设对称轴交x于点F，
则（PF+OM）•OF=（+t）×，
∵，
（）×=，
S=（-），
=-（0
S存在最大值.
由S=-（t-）2+，
∴当S=时，S取最大值是，
此时，点M的坐标为（0，）.
点评：
此题主要考查了二次函数的综合应用，以及菱形性质和待定系数法求解析式，求图形面积最值，利用二次函数的最值求出是解题关键.
【36.2012南通】
28.（本小题满分14分）
如图，经过点A（0，-4）的抛物线y=12x2+bx+c与x轴相交于点B（-0，0）和C，O为坐标原点.
（1）求抛物线的解析式;
（2）将抛物线y=12x2+bx+c向上平移72个单位长度、再向左平移m（m>0）个单位长度，得到新抛物线.若新抛物线的顶点P在△ABC内，求m的取值范围;
（3）设点M在y轴上，∠OMB+∠OAB=∠ACB，求AM的长.
【考点】二次函数综合题.
【专题】分类讨论.
【分析】
（1）该抛物线的解析式中只有两个待定系数，只需将A、B两点坐标代入即可得解.
（2）首先根据平移条件表示出移动后的函数解析式，进而用m表示出该函数的顶点坐标，将其代入直线AB、AC的解析式中，即可确定P在△ABC内时m的取值范围.
（3）先在OA上取点N，使得∠ONB=∠ACB，那么只需令∠NBA=∠OMB即可，显然在y轴的正负半轴上都有一个符合条件的M点;以y轴正半轴上的点M为例，先证△ABN、△AMB相似，然后通过相关比例线段求出AM的长.
【解答】解：
（1）将A（0，-4）、B（-2，0）代入抛物线y=12x2+bx+c中，得：
0+c=-412×4-2b+c=0，
解得：
b=-1c=-4
∴抛物线的解析式：
y=12x2-x-4.
（2）由题意，新抛物线的解析式可表示为：
y=12（x+m）2-（x+m）-4+72，
即：
y=12x2+（m-1）x+12m2-m-12;
它的顶点坐标P：
（1-m，-1）;
由
（1）的抛物线解析式可得：
C（4，0）;
那么直线AB：
y=-2x-4;直线AC：
y=x-4;
当点P在直线AB上时，-2（1-m）-4=-1，解得：
m=52;
当点P在直线AC上时，（1-m）-4=-1，解得：
m=-2;
∴当点P在△ABC内时，-2
又∵m>0，
∴符合条件的m的取值范围：
0
（3）由A（0，-4）、B（4，0）得：
OA=OC=4，且△OAC是等腰直角三角形;
如图，在OA上取ON=OB=2，则∠ONB=∠ACB=45°;
∴∠ONB=∠NBA+OAB=∠ACB=∠OMB+∠OAB，即∠ONB=∠OMB;
如图，在△ABN、△AM1B中，
∠BAN=∠M1AB，∠ABN=∠AM1B，
∴△ABN∽△AM1B，得：
AB2=AN•AM1;
易得：
AB2=（-2）2+42=20，AN=OA-ON=4-2=2;
∴AM1=20÷2=10，OM1=AM1-OA=10-4=6;
而∠BM1A=∠BM2A=∠ABN，
∴OM1=OM2=6，AM2=OM2-OA=6-4=2.
综上，AM的长为6或2.
【点评】考查了二次函数综合题，该函数综合题的难度较大，（3）题注意分类讨论，通过构建相似三角形是打开思路的关键所在.
【36.2012常德】
25、如图11，已知二次函数的图像过点A（-4，3），B（4，4）.
（1）求二次函数的解析式：
（2）求证：
△ACB是直角三角形;
（3）若点P在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P作PH垂直x轴于点H，是否存在以P、H、D、为顶点的三角形与△ABC相似?
若存在，求出点P的坐标;若不存在，请
说明理由。
知识点考察：
①二次函数解析式的确定，
②勾股定理及其逆定理的应用，
③相似三角形的性质，
④坐标系中点的坐标的特征，
⑤抛物线与X轴的交点，⑥一元二次方程的解法，
⑦垂直的定义。
⑧二元一次方程组的解法。
能力考察：
①观察能力，②逻辑思维与推理能力，③书写表达能力，
④综合运用知识的能力，⑤分类讨论的能力。
⑥动点的探求能力
⑦准确的计算能力。
分析：
①求二次函数的解析式，也就是要求中a、b的值，
只要把A（-4，3），B（4，4）代人即可。
②求证△ACB是直角三角形，只要求出AC，BC，AB的长度，然后用
勾股定理及其逆定理去考察。
③是否存在以P、H、D、为顶点的三角形与△ABC相似?
先要选择一点P
然后自P点作垂线构成Rt△PHD，把两个三角形相似作条件，运用三角形
相似的性质去构建关于P点横坐标的方程。
解：
（1）将A（-4，3），B（4，4）代人中，整理得：
解得
∴二次函数的解析式为：
，
整理得：
（2）由整理
∴X1=-2，X2=∴C（-2，0）D
从而有：
AC2=4+9BC2=36+16AC2+BC2=13+52=65
AB2=64+1=65
∴AC2+BC2=AB2故△ACB是直角三角形
（3）设（X<0）
PH=HD=AC=BC=
①当△PHD∽△ACB时有：
即：
整理
∴（舍去）此时，
∴
②当△DHP∽△ACB时有：
即：
整理
∴（舍去）此时，
∴
综上所述，满足条件的点有两个即
点评：
这是一个二次函数开放性的综合题，解决问题的思路容易建立，切入点也好找，
但运算难度较大。
出题的老师看准了我们的学生在学习中存在的问题，那就是
每一个学生在计算时无论简单与复杂总是离不开计算器，所以遇到分数运算时
没有信心进行运算，最后还是放弃了。
因此在这里要提醒每一位学生在平时计
算的练习中多用心算和笔算，才能提高自己的运算能力。
【37.2012荆门】
24.如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连接AB、AE、BE.已知tan∠CBE=，A（3，0），D（﹣1，0），E（0，3）.
（1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标;
（2）求证：
CB是△ABE外接圆的切线;
（3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标;若不存在，请说明理由;
（4）设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度（0
解：
由题意，设抛物线解析式为y=a（x﹣3）（x+1）.
将E（0，3）代入上式，解得：
a=﹣1.
∴y=﹣x2+2x+3.
则点B（1，4）.
（2）证明：
如图1，过点B作BM⊥y于点M，则M（0，4）.
在Rt△AOE中，OA=OE=3，
∴∠1=∠2=45°，AE==3.
在Rt△EMB中，EM=OM﹣OE=1=BM，
∴∠MEB=∠MBE=45°，BE==.
∴∠BEA=180°﹣∠1﹣∠MEB=90°.
∴AB是△ABE外接圆的直径.
在Rt△ABE中，tan∠BAE===tan∠CBE，
∴∠BAE=∠CBE.
在Rt△ABE中，∠BAE+∠3=90°，∴∠CBE+∠3=90°.
∴∠CBA=90°，即CB⊥AB.
∴CB是△ABE外接圆的切线.
（3）解：
Rt△ABE中，∠AEB=90°，tan∠BAE=，sin∠BAE=，cos∠BAE=;
若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则△DEP必为直角三角形;
①DE为斜边时，P1在x轴上，此时P1与O重合;
由D（﹣1，0）、E（0，3），得OD=1、OE=3，即tan∠DEO==tan∠BAE，即∠DEO=∠BAE
满足△DEO∽△BAE的条件，因此O点是符合条件的P1点，坐标为（0，0）.
②DE为短直角边时，P2在x轴上;
若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则∠DEP2=∠AEB=90°，sin∠DP2E=sin∠BAE=;
而DE==，则DP2=DE÷sin∠DP2E=÷=10，OP2=DP2﹣OD=9
即：
P2（9，0）;
③DE为长直角边时，点P3在y轴上;
若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则∠EDP3=∠AEB=90°，cos∠DEP3=cos∠BAE=;
则EP3=DE÷cos∠DEP3=÷=，OP3=EP3﹣OE=;
综上，得：
P1（0，0），P2（9，0），P3（0，﹣）.
（4）解：
设直线AB的解析式为y=kx+b.
将A（3，0），B（1，4）代入，得解得
∴y=﹣2x+6.
过点E作射线EF∥x轴交AB于点F，当y=3时，得x=，∴F（，3）.
情况一：
如图2，当0
则ON=AD=t，过点H作LK⊥x轴于点K，交EF于点L.
由△AHD∽△FHM，得，即.
解得HK=2t.
∴S阴=S△MND﹣S△GNA﹣S△HAD=×3×3﹣（3﹣t）2﹣t
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