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创新话旧第4章
有幸参与了巴切勒1982沉降大工程
《创新话旧》第4章
温景嵩
南开大学西南村69楼1门401号
（2007年11月21日于南开园）
第四章创新点（3）──突破巴切勒1972单分散沉降理论的限制
4．1从亚里士多德到斯托克斯
从本章起我们把话题从悬浮粒子的碰并过程，转到悬浮粒子的沉降问题。
物体的重力沉降，是自然界中非常重要的现象，人类对此已经有了很长的研究历史。
早在两千三百年前，古希腊的哲人亚里士多德对此就做了研究，他的结论是：
物体沉降的速度和它的重量成正比。
这一认识符合人们的直观。
因此，一直被奉为权威的结论，持续了一千多年。
直到16和17世纪之交，意大利著名的科学家伽利略做了一个实验，即比萨斜塔实验。
他把两个轻重不同的物体带到斜塔上，使它们同时，在相同高度上降落下来，从而发现两者同时落地，推翻了延续了一千多年之久的亚里士多德理论，并且由此而发现重力加速度g。
它在同一高度上，对任何物体都相同。
接下来就是17和18世纪之交英国剑桥大学的牛顿，他那举世闻名的苹果从树上掉下来打疼头的故事，也可能是真的。
直到现在，在剑桥大学他所工作过的著名的三一学院大门口，还有一棵据说是从牛顿家乡移植过来的苹果树，以此来纪念他所由此而发现的万有引力定律。
当然我们在第一章中已经说过，牛顿发现物体之间的万有引力定律，主要是从开普勒行星运动三大定律中提炼出来。
但是也无法否认那个从树上掉下来的苹果曾对牛顿产生了启发作用，至少他找到了物体的重力沉降的真正动因。
再往下来对重力沉降做出重要贡献的仍然是剑桥大学的著名学者，生活在19世纪的国际流体力学大师斯托克斯，他是粘性流体力学的两位创始人之一。
1822年法国学者纳维在一特殊条件下导出了粘性流体的粘性应力表达式，1845年斯托克斯在更普遍的条件下导出了同样的粘性应力表达式，因此得到支配粘性流体运动的微分方程，为纪念这两个创始人的伟大功绩，该方程就以这两位的姓氏命名，叫纳维-斯托克斯方程。
有时简称为N-S方程。
把N-S方程无量纲化以后，就可发现该方程解的性质依赖于一个无量纲数—雷诺数。
它是粘性流体的非线性的流体惯性力和线性的流体粘性力的比。
斯托克斯的第二个贡献就是在低雷诺数条件下，做为一级近似，他建议把N-S方程中弱的非线性流体惯性力忽略，于是方程简化为线性的二阶偏微分方程，为纪念他的第二个贡献，人们把这个方程命名为斯托克斯方程。
所得的解叫斯托克斯流。
在斯托克斯流中起支配作用的是流体的粘性力，所以斯托克斯流又叫粘性流。
这是流体力学发展史上第一个成功的近似，叫斯托克斯粘性流近似。
斯托克斯的第三个贡献就是他对一个孤立的刚性球在静止的无界的粘性流体中，以一定常的平移速度U向前运动做了细致研究。
运动属低雷诺数性质，可以使用斯托克斯方程求解，由此而得到在四周流体中所产生的扰动流场结构，所得到的是一个很漂亮的解析解。
从这个解不难求出扰动流场对这刚性球所产生的阻力。
这个阻力与球的半径a成正比，与球运动速度U成正比，与流体的粘性系数成正比，比例系数是6，这就是著名的斯托克斯阻力定律。
有了这第三个贡献,他就很容易导出他的最后一个重大贡献。
这是和本章直接有关的重力沉降问题，使刚性球的重力和阻力平衡，他就得到球的重力沉降速度，它和球的半径a平方成正比，和球的密度与介质密度差成正比，与重力加速度g成正比，和介质粘性系数成反比，比例系数是2/9，这就是著名的斯托克斯沉降公式，这个公式为两千多年前的亚里士多德翻了案。
原来中世纪的伽利略的比萨斜塔实验，测量的是自由落体沉降速度，也就是说，只有在介质对落体的阻力可以忽略不计时，伽利略才可以推翻亚里士多德的结论，否则在介质阻力不可忽略条件下，亚里士多德的结论就仍然正确。
落体的平衡速度就仍和落体所受的重力成正比，之所以在斯托克斯沉降公式中不是正比与球的半径a的3次方，只是a的2次方，是由于介质阻力正比于a的1次方，两者相抵使原来的a的3次方降为a的2次方。
结论仍然是球越重，沉降速度越大。
当然，事情不是简单地回归到两千多年前的亚里士多德的定性结论，由于斯托克斯对粘性流体力学做出的努力，现在对球的重力沉降的认识更精确更定量了。
进入20世纪后，人们对他的重力沉降公式进行了各种实验检验，结果发现，无论是液态介质，还是气态介质，斯托克斯沉降公式都正确，富克斯曾说过，它是人们所知道的最精确的物理定律之一。
在斯托克斯之后，沿着孤立球的沉降问题，继续有不少人做了研究。
1911年哈达马特（Hadamard）把刚性球的假定放松，研究了液滴运动时所受阻力问题。
此外在20世纪上半叶还有一些人研究了非球形物体运动时所受阻力，从最简单的一种椭球体看，情形就相当复杂。
不仅和运动速度，还和运动方向有关。
到了1967年巴切勒还从更一般的角度探讨了任意形状物体运动时所受的阻力问题。
第三，斯托克斯公式是在低雷诺数条件下，完全忽略了非线性流体惯性力的影响后得到的，1910年奥森（Oseen）考虑了低雷诺数条件下，弱的非线性流体惯性力的影响，指出这是一个奇异扰动问题，并由此而得到了二级近似，更高级的近似则是在1957年分别由两组人员得到。
即：
卡普隆（Kaplun）和拉杰斯托姆（Lagerstrom）,以及普劳德曼（Proudman）和皮尔森（Pearson）。
至于在高雷诺数条件下运动物体所受介质阻力问题，则更复杂。
1904年普朗托的边界层理论已指明这又是一个奇异扰动问题，在外域可忽略掉粘性力，问题转化为无粘性的理想流体运动，而在内域即在运动物体的表面有一边界层，在这层中粘性力不可忽略，而不管雷诺数是如何之大。
但是如何使边界层理论应用到具体物体则遇到了很大的困难。
1975年范戴克指出问题出在外域，在完全忽略了粘性力，当物体具有有界尺寸时，物体后面的流体会出现分离脱体现象，流场的解就不唯一。
范戴克曾以园球绕流为例举出外域解至少有三种可能性，一种是连续的位势饶流，一种是球背后出现死水区的分离流，第三种是球背后出现尖顶涡尾流区。
这种解的不确定性，使求解的工作无法进行下去，因此在高雷诺数条件下，严格的理论求解就只能限在不会产生分离流或尾流的半无界平板绕流问题，是令人遗憾的事。
4．2巴切勒1972年的卓越贡献
在斯托克斯之后，另一个发展方向，就是放松他的孤立球假定，研究在多球相互作用下的重力沉降问题。
球越小，它的雷诺数越小。
在斯托克斯范围它和球半径的3次方成正比，所以斯托克斯沉降公式特别适用于我们所研究的气溶胶或水溶胶问题，当球小到气溶胶粒子的尺度例如半径为10微米时，它的雷诺数已降到10的－2次方。
半径降为1微米时，雷诺数降为10的－5次方，半径降为0.1微米时其雷诺数就仅为10的－8次方了。
所以斯托克斯沉降公式完全可以适用到气溶胶或水溶胶体系中来。
问题在于这是个多粒子相互作用下的沉降问题，对于这种体系，只有当体系极端稀释时，斯托克斯孤粒子沉降公式才能适用，否则，就必须研究多粒子相互作用下对沉降的影响。
这问题的研究也是在20世纪初由斯莫鲁霍夫斯基1912年工作所开始。
多粒子相互作用下的沉降又分两种，一种是在无界空间中粒子云的沉降，一种是在有界空间中的（例如在容器中，在沉淀池中，或在水库中等）的沉降，前者平均沉降速度较斯托克斯孤粒子沉降为大，叫“增速沉降”，后者平均沉降速度较斯托克斯沉降为小，叫“阻滞沉降”。
由于“阻滞沉降”应用价值较大，近一个世纪来，研究很多，形成了三种不同的方法：
一是晶格法，二是壳层法,三是统计理论法。
第一种方法以粒子间平均距离为晶格格点之间的距离,假定胶体系统的粒子都规则地排列在这些晶格的格点上，第二种方法以粒子间平均距离为半径，以参考粒子中心为球心，假定其他粒子对参考粒子沉降的影响都集中在这个大球面上，并使这一球面上流体速度降为0，以此来计算对参考粒子沉降速度的影响。
以上两种方法都涉及到胶体系统粒子间的平均距离，从量纲分析考虑，四周粒子对参考粒子沉降速度所造成的阻滞量必然和粒子间平均距离成反比，而平均距离又和粒子的体积浓度的1/3次方成反比。
故此，从以上两种方法得到的阻滞量都和粒子体积浓度的1/3次方成正比，比例系数各有不同，而晶格法的比例系数又因晶格列阵的几何形状假定不同而不同。
第三种方法则是统计理论法，这方法不对粒子分布以及粒子间相互作用做任何硬性的人为假定，它只认定N个粒子在空间中的构型，因粒子的随机的布朗运动而是一个3N维随机场。
问题是要求出这种多粒子的统计结构。
在稀释体系中就是要求出粒子对的对分布函数。
所得结果与前两种方法有很大差异。
统计理论法所得的阻滞沉降量与的1次方成正比，而与前两种方法有规律上的不同。
由于随机的布朗运动是悬浮粒子运动的基本特征。
因此，这一方法较之前两种人为假定的方法更易于让人们接受。
然而这一方法，不可避免地遇到积分发散和对分布方程求解两大难题而进展十分缓慢。
只是到了1942年伯杰斯的工作开始才对单分散沉降的统计理论有了研究，对于所遇到的积分发散问题，他尝试采取了几种不同的方法使积分收敛，所得结果也不相同，他也不知道他是否得到了正确的答案。
1964年皮恩（Pyun）和菲克斯曼（Fixman）沿着伯杰斯的方向进一步做了努力，结果他们成功地使其中的一项积分收敛，但在使另一项发散积分收敛时，遭遇失败。
又过了八年到了1972年巴切勒终于取得突破性进展，他发明一种类似于理论物理中的重整化方法使两项发散积分，都达到了收敛的目的，所得的沉降速度的阻滞量自然仍是与的1次方成正比。
比例系数（现在叫沉降系数）是－6.55，这是一次重大的突破。
自从19世纪斯托克斯在1851年得到孤粒子沉降公式后，人类经过了100多年的努力，只是到20世纪下半叶才由巴切勒在1972年得到多粒子相互作用下的单分散沉降公式。
如果从斯莫鲁霍夫斯基1912年研究算起，则经历了60年，如果从1942年伯杰斯努力从统计理论出发探讨多粒子单分散沉降算起，也走了30年。
这是多么慢长的一条道路啊。
人们常说现在是知识爆炸的时代，其实这多半是指技术知识的进步，而非基础理论的发展，做基础理论工作，必须要有耐心，要经受得住寂寞，更要有甘为人梯精神。
当然，人类在这个领域所付出的代价完全值得。
基础理论一旦有了新的突破，常常就会使技术知识领域产生一个质的飞跃，面貌会焕然一新。
第一章中所谈到的维纳的控制论就是一例。
在粒子沉降领域，19世纪的斯托克斯和20世纪的巴切勒都是流体力学中剑桥学派的代表人物。
这并非偶然，由于剑桥学派在国际流体力学中的领先地位，由于为要精确地预测粒子重力沉降速度，必须先要精确地预测出粒子在沉降时所受的流体阻力。
在斯托克斯孤粒子沉降时代要求能精确地预测出流体对孤粒子沉降的阻力。
在巴切勒多粒子沉降时代，要求能精确地预测出在多粒子流体动力相互作用下，流体对参考粒子沉降的阻力，这就要求有非比一般的流体力学的高超水平，对流体运动的物理本质有非比一般的深刻认识。
巴切勒1972年单分散沉降的统计理论，不仅给出了精确的沉降系数数值，而且找出了阻滞沉降的来源。
来源有四：
一是四周粒子自身沉降时，所引起粒子周围流体的反向补偿流，这项贡献为－1。
二是四周粒子沉降时，会使与这些粒子相邻的流体一起被拖带下沉，从而在更大范围内引起流体的反向补偿流，这项贡献最大，为－4.5。
三是四周粒子对来自介质阻力的反作用力，传达到参考粒子身上时会有一项正的作用力，是四项贡献中唯一的正效应。
可惜很小，贡献只有＋0.5。
最后，第四项是四周粒子对来自参考粒子作用力的反作用，仍为负效应，贡献是－1.５５,总起来即为－6.55。
可见阻滞效应主要来自流体的反向补偿流，可称之为粒子的总体的流体动力相互作用。
在稀释的单分散硬球体系中，它可使参考粒子的斯托克斯沉降速度减少6.55倍。
这是人类所得到的多粒子体系沉降的第一个公式。
巴切勒单分散硬球沉降公式，并没有为当时存在的单分散沉降实验所证实。
很明显，由于当时存在的单分散沉降实验都不是用符合硬球条件的粒子做出，它们都是具有相互作用势的具势粒子，所以所测得的沉降系数都比巴切勒的－6.55大，一般在－5――4之间。
在这个意义上，巴切勒单分散硬球沉降理论也是走在了实验的前面。
在1972年以前世界上还没有一个单分散硬球沉降实验数据，正是由于在1972年巴切勒发明了单分散硬球沉降理论，才引起了人们对硬球实验的浓厚兴趣，在实验科学家的努力下，1974年纽曼（Newman）完成了第一批单分散硬球沉降实验，所测得沉降系数为－6.70.8。
1982年考普斯-沃克赫文（Kops-Werkhoven）小组又得到了第二批单分散硬球沉降数据，为－6.60.6。
到了1992年埃尔纳法和塞里姆又得到新的数据,为-6.510.4。
这些数据均和巴切勒1972年的理论预测一致，从此确立了这理论在沉降领域中的地位，三十多年来，直到现在还经常被人们所引用，成为这领域中国际公认的经典理论。
4．３多分散沉降理论的建立
4．３．１我的贡献
如上所述,巴切勒1972年单分散沉降理论是沉降研究中的一次重大进展,然而对沉降的统计理论而言,单分散沉降的成功还只完成了任务的一半,它意味着统计理论中的两大难题,他只解决了一个积分发散；而第二个难题，即求解粒子对统计对分布方程难题仍有待解决,只有解决这一难题沉降的统计理论才算全部完成，才能突破单分散沉降理论的局限,把理论推进到多分散沉降理论阶段。
多分散体系普遍存在于自然界和工程领域,真正的单分散系统只有在实验室中采取特殊设备才能制造出来。
因此在应用上单分散理论也有很大的局限性,应予以突破建立更普遍的多分散理论。
在多分散体系中，由于粒子大小，成分都不同，在重力的作用下，它们各自的沉降速度也就不同，因此它们之间也就存在相对的重力沉降速度。
对分布方程中重力输送项也就不为0，对于这种多分散体系，即使仍假定粒子为硬球，不存在相互作用势，求解对分布方程的困难也不再能回避。
只有解决了这一难题，才能建立起多分散沉降统计理论，而这一难题的解决是在我79年到了剑桥后，在我的协助下巴切勒才完成了这第二次突破。
在突破单分散沉降的局限，建立多分散沉降理论的过程中，无疑巴切勒是主角，我只起了一个配角作用，我的作用不可能更多。
因为在我参加到他这个大工程中来时候，我对沉降的了解还只停留在1851年的斯托克斯孤粒子沉降理论上。
尽管如此，这贡献却不是无足轻重的，具体地讲，我的贡献有两点，第一是得到了高皮克列特数下对分布方程在外域的一级近似解，第二是承担了这个大工程中全部数值计算工作。
以上两点贡献，相对于巴切勒的自然很小，但很重要。
尤其是第一点，应该说它起到了关键的作用。
正如我前面曾指出的，从单分散沉降到多分散沉降，必须克服求解对分布方程的难题才行。
1976年巴切勒虽然对多分散沉降进行了初步探讨，为大家描述了多分散沉降理论的轮廓，但那只能算是一个理论框架，还不是理论的真实内容。
因为那时他还未能克服这个求解对分布方程的难题。
1979年底我到了剑桥以后，和巴切勒一起研究我的工作时，也没有提到沉降工作，只是到了1980年他第一次访华时，我在研究悬浮粒子对流碰并的统计理论过程中，得到了不稳定系统高皮克列特数下对分布方程外域的一级近似解，待他回剑桥向他汇报后，才使他想起他1976年还未完成的多分散沉降工作，原来沉降和碰并虽是两个不同的课题，所面对的是两个不同的悬浮体系，但这个不同，在高皮克列特数条件下，仅仅表现在内域边界层上。
而对于外域解却完全相同，再加上他当时做出的第二次近似，忽略掉布朗边界层的贡献后，我那个解就成全部区域中的解，放到沉降积分中去，就可得到高皮克列特数下多分散沉降的统计理论了。
可见我那个解在建立多分散沉降理论中所起的作用，确实很关键。
然而对我来说，那到是意外收获，是“无心插柳柳成行”。
在有了如上沉降的理论以后，巴切勒自己又很快得到低皮克列特数条件下的解，以及粒子大小比，和粒子和介质密度差比两个参数，趋于两个极端情况（0和无穷大）下的解。
于是多分散沉降统计理论的一个相当完整的体系就此完成了。
下一步该进行数值计算。
这时巴切勒找到我，征求我的意见，问我是否愿意把我手头上的碰并工作暂时停下来，帮他把多分散沉降理论的数值计算工作完成，我当即表示愿意，这就是上面谈的第二点贡献。
第一点贡献是“无心插柳”，第二点却是“自觉自愿”。
是一次自愿地选择。
这两点对沉降的贡献，使我自己的碰并工作暂时停了两年，但是完全值得，以后的发展，越来越使我认识到，当时自愿暂停两年的碰并帮助他完成多分散沉降理论，意义是多么重大，应该承认这是我那“闪光的8个创新点”中，影响最深远，意义最重大，最光辉的一个创新点。
当然，这“光辉”主要是巴切勒的，我只是“沾了点光”。
然而巴切勒本人对我这点“光”，也作了充分的肯定，以致在1981年9月他两次让我代表他向华沙的流体力学国际会议，以及维也纳的欧洲力学学会第144次会议做多分散沉降的报告。
1982年2月他又让我代表他向瑞士苏黎世理工大学流体力学研究所做更详尽的多分散沉降报告。
报告后不久，我就结束了在剑桥的高级访问学者的生活回国。
分手时，他一再向我表示感谢，感谢我对他的多分散沉降理论的贡献，他说没有我的帮助这一工作不可能完成。
4．3．2杰弗瑞（Jeffrey）和大西善元的重要贡献
谈到多分散沉降理论创新点的诞生过程，还必须讲一下杰弗瑞和大西善元的重要贡献。
前者是当时在剑桥工作的一位科学家，是巴切勒悬浮体力学小组的正式成员，后者来自日本的一位高级访问学者。
在杰弗瑞那里工作。
他们也是在巴切勒1980年访华回来后，被他请来参加这一大工程。
使我感到奇怪的是，杰弗瑞是悬浮体小组的正式成员，巴切勒是这个小组的负责人，又是这个系的系主任，《JFM》的主编，当代国际公认的流体力学大权威。
按照我们国内通常的做法，把任务布置给杰弗瑞就是了，没有什么商量的余地。
但巴切勒却不。
他是以一个朋友的身份，用商量的口吻，向杰弗瑞提出了两项建议，一是参加到沉降课题组来，为之提供有关在双球流体动力相互作用下迁移率数据，另一个是参加到云物理课题组来，还讲到这是一个很有吸引力的课题，因为云滴是非常美丽的悬浮粒子。
最后说参加不参加，如何参加，由杰弗瑞自己考虑。
杰弗瑞果然有自己的考虑，他接受了第一个建议，而没有接受第二个。
第一个建议他也不是被动式的参加，而是把这一工作发展成他自己另外一个大工程——用他和大西善元发明的双多极展开法，全面系统地完成双球低雷诺数流体力学的计算。
巴切勒和我的大工程只是从他们的大工程中提取了一小部分数据，多分散悬浮粒子沉降统计理论就成为这两个大工程交叉的结果。
他们二人为我们提供的数据非常重要，非常关键。
前曾指出，要想知道在稀释体系中，在双球流体动力相互作用下的参考粒子的平均沉降速，首要的一环就应知道在双球流体动力相互作用下，流体对参考粒子的阻力。
正像当年斯托克斯在完成了低雷诺数孤粒子运动所受流体的阻力计算，才能完成孤粒子沉降速度的计算一样。
在斯托克斯那里两件事事由他一个人完成，而巴切勒这里两件事是分两组人马，由四个人完成。
虽然我们的工作使用的仅是杰弗瑞和大西善元的工程中一小部分数据，但他们仍为此付出了大量劳动。
原因之一在于巴切勒的计划非常庞大，1972年在完成他单分散沉降理论时，他只进行了一个沉降系数计算，得到了-6.55的沉降系数值，而且在那次计算中由于单分散硬球模型的化简，没有必要对对分布函数进行计算。
现在1982年这次多分散沉降系数的计算，却复杂得多，即使对没有相互作用势的硬球，它还和皮克列特数的大小有关。
即使仅计算高皮克列特数和低皮克列特数两种极限情况，它们仍然是粒子大小比与粒子密度和介质密度差比两个参数的函数，是和两个连续变化参数所确定的两个沉降系数曲面。
巴切勒只从中选择了一些代表点，即使这样也有90个沉降系数需要计算，再加上在计算每一个沉降系数值时，还要进行相应皮克列特数下，和相应的和参数下的对分布函数计算。
这里的每一个对分布函数，又要在不同距离上计算它的数值，至少十几个点，算起来就有1000多个数据需要计算，工作量已远非1972年单分散沉降计算可以比拟。
更为重要的一个原因是，为使计算结果正确可靠。
巴切勒研究并确定出好多组渐近线，它们是当和分别趋于它们各自的极限值时（的极限值是0和无穷大，的极限值是正负无穷大）沉降系数所应逼近的渐近线。
如果没有逼近这个渐近线那就是计算中出现了问题。
不是我的对分布函数和沉降系数计算出了问题，就是杰弗瑞和大西善元的迁移率计算出了问题。
必须把错误找出，加以改正，这就是我前面第一章中讲到的计算曾多次推倒重来的原因。
是巴切勒第四境“西风再凋碧树”精神的一个生动体现。
当然也有找到了问题的原因，可就现在工作水平来看已无法解决的情况。
例如在等于1时，对于高皮克列特数下趋于0和无穷大的两个渐近线，当我们减少，计算到等于1/8时，沉降系数已逼近＝0时的渐近线，这个计算可以接受了，可是当时的渐近线却都出了问题。
我们计算使大到8时，其沉降系数还远高于渐近线，没有降下来的意思，检查结果是杰弗瑞和大西善元的迁移率计算出了问题。
从趋势看还要进一步加大，估计要到64，128时才能收敛到极限值，可这已到了杰弗瑞和大西善元双多极展开法的极限，不要说64，128，即使把从8加大到16，双多极展开法也无法计算下去。
因此就只好住手，把问题留给后来人去解决了。
这样计算工作经历了两年才结束，工作从1980年开始到1982年才发表。
而杰弗瑞和大西善元他们自己那个双球低雷诺数流体力学的大工程却还没有结束，一直到1984年他们的工作才发表，前后共花了他们四年时间。
那一年我不但早已离开剑桥回国，而且也已离开了中国科学院安徽光机所来到了南开大学。
为了使我在南开的学生能继续算下去，我给杰弗瑞写信，向他索取双球低雷诺数迁移率的程序，他很慷慨，马上就把他们全部程序都拷到软盘上给我寄来，并在来信中告诉我，这些程序较之我们1982年沉降工作中所用的又有了好多改进。
精度提高了许多。
看来杰弗瑞也是用同样的精益求精的精神对待自己的工作。
剑桥人的“西风再凋碧树”精神真是令人敬佩啊！
杰弗瑞还有另外一个贡献，是直接对我个人的。
当1980年我答应了巴切勒对我的建议，帮他完成多分散沉降的数值计算工作时，我告诉他数值计算方法，计算机程序设计这方面，我以前没学过，需要一段时间进行学习。
他告诉我，他也没学过，也不懂怎样编程序怎样进行计算。
他建议我去找杰弗瑞，请他帮忙。
这又使我很吃惊，他是应用数学和理论物理系的创始人兼系主任，怎么会不懂计算方法，程序设计。
又怎么敢居然在一个外国人面前承认这一点，他完全可以不提此事，而直接以他很忙为理由去建议我找杰弗瑞。
现在看来，老老实实，不怕丢面子，不懂就是不懂，决不装懂，这正是一个真正的科学家本色。
杰弗瑞很热情地接受了巴切勒的这个建议，他不仅是一位低雷诺数流体力学专家，而且是一位相当老练的计算数学专家。
他帮我找来一本讲Fortran计算机语言的书。
当我学了这本书前几章并准备开始做书上的一些练习题时，他提出了新建议。
要我避开书上的练习题，直接从我自己的工作开始。
巴切勒的庞大计算计划，执行起来当然要设计出一个庞大复杂的程序。
杰弗瑞告诉我，不要一上来就企图编制这个庞大的程序，而要把它分解开来，逐步分解成小的单元。
先编制其中的一个比较小的子程序开始，以这简单的子程序作为你的第一道练习题，然后再逐步逐步加大，增加更多的子程序。
最后就可以组装成符合工作需要的大程序了。
这种单刀直入，越过做书上练习题阶段，直接从工作开始的方法，很符合我们在国内常讲的“边干边学，在干中学”，很有道理，我欣然接受，比较快地进入工作阶段。
编制计算程序，对于我这样一个初学者而言，难免会发生错误，开始时寻找错误还不算难，但随着程序越编越大，越来越复杂。
出现了错误就越来越难查找了。
计算机很听人话，程序中只要随便在那里出了一个技术性错误，它就会按照这个错误的指令执行下去，直到满盘皆错。
可又很难找到错在何处，真让人着急。
这时杰弗瑞又来告诉我，要冷静，不要泛泛的查，对于这种复杂而又庞大的程序，出错时，应把最容易出错的地方先抽出来打一下，这样逐段逐段地打出来，就容易把错误之点找出并予以纠正。
这方法果然很好，工作于是逐步地引向正轨，引向深入。
80年代初期的剑桥还没有进入微机时代
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