中考第一轮复习三角形.docx
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中考第一轮复习三角形
年级
初三
学科
数学
版本
北师大版
内容标题
中考第一轮复习——三角形
编稿老师
巩建兵
【本讲教育信息】
一、教学内容：
复习七：
三角形
1.三角形的有关概念，三角形的角平分线、中线、高线、中位线的性质．
2.等腰三角形、等边三角形、直角三角形的有关性质和判定方法．
3.全等三角形的性质和判定方法．
二、知识要点：
1.三角形的有关概念
（1）三角形：
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形，三角形具有稳定性．
（2）三角形中的三条重要线段：
角平分线、中线、高．如下图所示．
（3）三角形三条边的关系：
三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．
（4）三角形内、外角的关系：
三角形的内角和等于180°，外角和等于360°．
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和．
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
（5）三角形的中位线：
经过三角形两边中点的线段平行于第三边并且等于第三边的一半．
（6）三角形的分类：
按角分类：
三角形
2.全等三角形
（1）能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
（2）全等三角形的性质：
全等三角形的对应边（角）相等；全等三角形的对应线段（角平分线、中线、高）相等，周长相等，面积相等．
（3）两个三角形全等的条件：
一般三角形有：
SAS、ASA、AAS、SSS．
直角三角形有：
SAS、ASA、AAS、HL．
3.等腰三角形
（1）等腰三角形的性质：
两底角相等；
顶角的角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合；
等边三角形的各角都相等，并且都等于60°．
（2）判定等腰三角形的条件：
等角对等边；
三个角都相等的三角形是等边三角形；
有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
4.直角三角形
（1）直角三角形的性质：
直角三角形两个锐角互余；
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
（2）勾股定理及其逆定理
定理：
直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：
a2＋b2＝c2．
逆定理：
如果三角形的三边长a、b、c有以下关系：
a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
三、重、难点：
本讲重点是三角形的有关概念、特殊三角形的有关性质和判定方法．难点是等腰三角形的判定和性质，以及三角形和四边形的综合问题．
四、考点分析：
纵观近几年全国各地的中考试题，三角形常出现的知识点有三角形的性质和概念，三角形内角和与外角和，三角形的三边关系，以及三角形全等的性质与判定．今后的命题趋势仍以考查以上知识点为主，以填空题和选择题为主要考查形式，并将三角形的全等融入平行四边形的证明和计算之中．
【典型例题】
例1.选择题
（1）现有两根木棒，它们的长分别是20cm和30cm，若不改变木棒的长度，要钉成一个三角形木架，则应在下列四根木棒中选取（）
A．10cm的木棒B．20cm的木棒
C．50cm的木棒D．60cm的木棒
解析：
这类试题只需根据“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”就可解决，即设第三根木棒长为xcm．依题意有30－20＜x＜30＋20，即10＜x＜50，满足10＜x＜50的只有B选项．
（2）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别为AC、AB的中点，连DE、CE，则下列结论中不一定正确的是（）
A．ED∥BCB．ED⊥AC
C．∠ACE＝∠BCED．AE＝CE
解析：
易知DE为△ABC的中位线，∴DE∥BC，∴ED⊥AC，又∵AD＝CD，∴AE＝CE，故选C．
例2.填空题
（1）如图所示，已知∠1＝100°，∠2＝140°，那么∠3＝__________．
解析：
本题可先由两个外角求出两个内角的度数，再根据三角形的内角和来求得∠3的度数．∠3＝60°．
（2）已知直角三角形两边x、y的长度满足︱x2－4︱＋
＝0，则第三边的长为__________．
解析：
因为︱x2－4︱＋
＝0，由非负数的性质知，
，解得
，当直角三角形的两边为2与2时，第三边的长＝
＝2
；当直角三角形的两边为2与3且最长边（斜边）为3时，则第三边的长＝
＝
，当最长边（斜边）为第三边时，其长为
＝
＝
．所以第三边长为2
或
或
．
例3.如图所示，一根长2a的木棍（AB）斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍的中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．
（1）请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理由；
（2）在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，△AOB的面积最大？
简述理由，并求出面积的最大值．
解：
（1）不变化．理由：
∵∠AOB＝90°，P为AB的中点，∴OP＝
AB．
（2）设OA＝x，OB＝y，∵x2＋y2＝（2a）2＝4a2，
又∵S△AOB＝
xy，且x2＋y2≥2xy，即xy≤
，
∴
xy≤a2，∴x＝y＝
a时△AOB的面积最大为a2．
评析：
本题考查直角三角形斜边上的中线与面积两个知识点，能够熟练掌握直角三角形的性质并构建直角三角形模型是解题的关键；问题
（1）考虑不到斜边上的中线为斜边的一半，易认为变化．问题
（2）容易想到当OA＝OB时面积最大，但说理时易错，不知道运用当（x－y）2≥0时，可以看作x2＋y2≥2xy，即xy≤
来说明理由．
例4.已知：
如图所示，延长△ABC的各边，使BF＝AC，AE＝CD＝AB，顺次连接D、E、F，得到△DEF为等边三角形．
求证：
（1）△AEF≌△CDE；
（2）△ABC为等边三角形．
证明：
（1）∵BF＝AC，AB＝AE，∴FA＝EC．
∵△DEF是等边三角形，∴EF＝DE．
又∵AE＝CD，∴△AEF≌△CDE．
（2）由
（1）知△AEF≌△CDE，∴∠FEA＝∠EDC．
∵∠BCA＝∠EDC＋∠DEC＝∠FEA＋∠DEC＝∠DEF，△DEF是等边三角形，
∴∠DEF＝60°，∴∠BCA＝60°．
同理可证∠BAC＝60°．∴△ABC是等边三角形．
评析：
解答此类题目一定要结合图形认真分析题意，选择适当的方法进行证明．
例5.已知：
在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，
（1）如图所示，E、F分别是AB、AC上的点，且BE＝AF，求证：
△DEF为等腰直角三角形．
（2）若E、F分别为AB、AC延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，那么，△DEF是否仍为等腰直角三角形？
证明你的结论．
分析：
要证明△DEF为等腰直角三角形，需要证DE＝DF，连接AD，利用全等可得这一结论．至于在延长线上，可利用同样的方法．
证明：
（1）如图所示，连接AD．
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，BD＝AD．∴∠B＝∠DAC＝45°．
又BE＝AF，∴△BDE≌△ADF（SAS）．
∴ED＝FD，∠BDE＝∠ADF，
∴∠EDF＝∠EDA＋∠ADF＝∠EDA＋∠BDE＝∠BDA＝90°．
∴△DEF为等腰直角三角形．
（2）若E、F分别是AB、CA延长线上的点，如图所示，连接AD．
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC的中点，
∴AD＝BD，AD⊥BC．
∴∠DAC＝∠ABD＝45°．∴∠DAF＝∠DBE＝135°．
又AF＝BE，∴△DAF≌△DBE（SAS）．
∴FD＝ED，∠FDA＝∠EDB，
∴∠EDF＝∠EDB＋∠FDB＝∠FDA＋∠FDB＝∠ADB＝90°．
∴△DEF仍为等腰直角三角形．
评析：
构造全等三角形证明线段相等，是本题的突破口，而AD则是本题的生命线．大家可以观察图形具有的特点和辅助线，理解之所以这样做的原因才能提高解题能力．
例6.某小区现有一块等腰直角三角形形状的绿地，腰长为100米，直角顶点为A．
小区物业管委会准备把它分割成面积相等的两块，有如下的分割方法：
方法一：
在底边BC上找一点D，连接AD作为分割线；
方法二：
在腰AC上找一点D，连接BD作为分割线；
方法三：
在腰AB上找一点D，作DE∥BC，交AC于点E，DE作为分割线；
方法四：
以顶点A为圆心，AD为半径作弧，交AB于点D，交AC于点E，弧DE作为分割线．
这些分割方法中分割线最短的是哪一个？
解：
方法一中的分割线AD＝
＝50
（米）；方法二中，要想将原三角形分成面积相等的两部分，D应为AC的中点，则分割线BD＝
＝50
（米）；方法三中，如果所分得的三角形与等腰梯形的面积相等，则所分割的小等腰直角三角形与原等腰直角三角形的面积之比为1∶2，两三角形的相似比是1∶
，故DE＝
＝
＝100（米）；方法四中，当扇形的面积等于原直角三角形的面积的一半时，
π·AD2＝
AB2，求得半径AD＝100
，故弧DE的长为
·2π·AD＝50
（米）．分割线最短的是方法一．
评析：
在求图中分割线的长度时，主要的已知条件就是分割成的两部分的面积相等，也就是得到的一个规则图形的面积是原等腰直角三角形的面积的一半，求解分割线的长度时，应结合图形用较简便的方法求值．
【方法总结】
1.在利用三角形三边关系判断线段能否构成三角形时，只需验证两条最短边之和是否大于最长的边即可．
2.有角平分线或中点时，常用到的辅助线
（1）在角的两边截相等的线段，构成全等三角形；
（2）过角平分线上一点向角的两边作垂线；
（3）若有和角平分线垂直的线段时，常把它延长与角的两边相交构造等腰三角形；
（4）有中线或有以线段的中点为端点的线段时，常给它们乘以整数倍，构造全等三角形．
【预习导学案】
（复习八：
四边形）
一、预习前知
1.多边形的内角和、外角和．
2.什么是平行四边形？
什么是矩形、菱形、正方形、梯形？
二、预习导学
1.用同一种正多边形可以镶嵌的正多边形是正三角形、__________和__________，不同的多边形只有满足在同一顶点各个内角和是__________才能镶嵌．
2.两组对边分别__________的四边形叫平行四边形；
两组对边分别__________的四边形是平行四边形；
一组对边__________且__________的四边形是平行四边形；
对角线__________的四边形是平行四边形．
3.平行四边形的对角__________，对边__________，邻角__________，对角线__________，是__________对称图形．
4.矩形的四个角都是__________；矩形的对角线__________；矩形既是__________图形，也是中心对称图形．
5.有一个角是直角的__________叫做矩形．对角线__________的平行四边形是矩形；有三个角是直角的__________是矩形．
6.菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线__________，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，菱形也是__________图形．
7.一组邻边相等的__________是菱形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形；__________的四边形是菱形．
8.四条边都相等且四个角都是直角的四边形是正方形．__________的菱形是正方形；__________的矩形是正方形；对角线__________的四边形是正方形．
9.等腰梯形的两条对角线__________，在同一底上的两个角__________．
反思：
（1）各四边形概念之间有什么联系？
（2）各类平行四边形有什么共性和特性？
【模拟试题】（答题时间：
50分钟）
一、选择题
1.到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（）
A.三条中线的交点B.三条高的交点
C.三条边的垂直平分线的交点D.三条角平分线的交点
2.下列判断错误的是（）
A.有两角和一边对应相等的两个三角形全等
B.有两边和一角对应相等的两个三角形全等
C.有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等
D.有一边对应相等的两个等边三角形全等
3.某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（）
A.9cmB.12cmC.15cmD.12cm或15cm
4.一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7，这个三角形一定是（）
A.直角三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形
5.如果三角形的两边分别为3和5，那么这个三角形的周长可以是（）
A.15B.16C.8D.7
6.如图所示，在正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连接AE，交对角线BD于点F，连接CF，则图中全等三角形共有（）
A.1对B.2对C.3对D.4对
7.如图所示，在锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，且CD、BE交于一点P，若∠A＝50°，则∠BPC的度数是（）
A.150°B.130°C.120°D.100°
*8.如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN等于（）
A.
B.
C.
D.
**9.如图所示，在等边△ABC中，AC＝9，点O在AC上，且AO＝3，点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD．要使点D恰好落在BC上，则AP的长是（）
A.4B.5C.6D.8
**10.如图所示，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：
①△ACE≌△DCB；②CM＝CN；③AC＝DN．其中，结论正确的有（）
A.3个B.2个C.1个D.0个
二、填空题
1.如图所示，OA＝OB，OC＝OD，∠O＝60°，∠C＝25°，则∠BED等于__________度．
2.由三角形三条中位线所围成的三角形的面积是原三角形面积的__________．
3.如图所示，AB＝CD，AD、BC相交于点O，要使△ABO≌△DCO．应添加的条件为__________．（添加一个条件即可）
4.如图所示，△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，请你写出∠A与∠D的关系__________．
5.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，CD平分∠ACB交AB于D点，AE∥DC交BC的延长线于点E，已知∠E＝36°，则∠B＝__________度．
*6.已知BD、CE是△ABC的高，直线BD、CE相交所成的角中有一个角为50°，则∠A等于__________度．
*7.已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，连接AD，若△ACD和△ABD都是等腰三角形，则∠C的度数是__________．
**8.在△ABC中，AB＝2，AC＝
，∠B＝30°，则∠BAC的度数是__________．
三、解答题
1.如图所示，∠BAC＝∠ABD，AC＝BD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点．试判断OE和AB的位置关系，并给出证明．
*2.已知线段AC与BD相交于点O，连结AB、DC，E为OB的中点，F为OC的中点，连结EF（如图所示）．
（1）添加条件∠A＝∠D，∠OEF＝∠OFE，求证：
AB＝DC．
（2）分别将“∠A＝∠D”记为①，“∠OEF＝∠OFE”记为②，“AB＝DC”记为③，添加条件①、③，以②为结论构成命题1，添加条件②、③，以①为结论构成命题2．命题1是__________命题，命题2是__________命题（选择“真”或“假”填入空格）．
3.如图所示，在△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：
①∠EBO＝∠DCO；②∠BEO＝∠CDO；③BE＝CD．
（1）上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出所有情况）；
（2）选择第
（1）小题中的一种情况，证明△ABC是等腰三角形．
**4.已知：
如图所示，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F．H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G．
（1）求证：
BF＝AC；
（2）求证：
CE＝
BF；
（3）CE与BG的大小关系如何？
试证明你的结论．
【试题答案】
一、选择题
1.D
2.B
3.C【分两种情况：
①当腰为3cm，底为6cm时，由于3＋3＝6，不能构成三角形；②当腰为6cm，底为3cm，由于3＋6＞6，可以组成三角形，它的周长为3＋6＋6＝15cm，故选C】
4.D【这个三角形的最大角为180°×
＞90°】
5.A【设三角形的第三边长为x，则5－36.C【因为由正方形的对称性可知：
△ABD≌△CBD，△AFD≌△CFD，△ABF≌△CBF，故全等三角形有3对】
7.B【由于CD、BE分别是AB、AC边上的高，所以∠BEA＝∠CDA＝90°，由∠ABP＋∠A＝90°，∠ABP＋∠BPD＝90°知∠BPD＝∠A＝50°，因此∠BPC＝180°－50°＝130°，故选B．】
8.C【连接AM，由等腰三角形三线合一知AM⊥BC．MC＝
BC＝3．在Rt△AMC中，AC＝5，∴AM＝4，S△AMC＝
AM·MC＝
AC·MN，∴MN＝
＝
】
9.C【此题属探索性问题，难度较大．当点D恰好落在BC上时，OP＝OD．∠A＝∠C＝60°，因为∠POD＝60°，所以∠AOP＝∠CDO，故△AOP≌△CDO，所以AP＝CO＝6，选C．】
10.B【∵DC＝AC，∠ACE＝∠DCB，EC＝BC，∴△ACE≌△DCB，则∠AEC＝∠DBC，又∵EC＝BC，∠ECB＝∠DCE，∴△MCE≌△NCB，则MC＝NC，而由已知不能得出AC＝ND，故选B】
二、填空题
1.70【由条件易得△OBC≌△OAD，所以∠D＝25°，∠OBC＝180°－∠O－∠C＝
，则∠BED＝∠OBC－∠D＝70°】
2.
【根据三角形中位线的意义及平行四边形的性质可以求得】
3.AB∥CD（或∠B＝∠C，∠A＝∠D）
4.∠D＝
∠A【∵∠DCE＝∠D＋∠DBC，∠ACE＝∠A＋∠ABC，∠ABC＝2∠DBC，∵∠ACE＝2∠DCE，∴∠D＝
∠A】
5.72【∵CD∥AE，∴∠EAC＝∠DCA．∵CD平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠ACD＝2∠EAC，∵∠ACB＝∠E＋∠EAC，∴∠EAC＝∠E，∴∠ACB＝2∠E＝72°．∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝72°．】
6.50或130【分为锐角三角形和钝角三角形两种情况考虑，再借助于内角和定理计算】
7.36°或45°【如图所示】
8.15°或105°【如图所示，可分两种情况△ABC和△ABC’，作出高AD，可得AD＝1，可求得CD＝C’D＝1．所以知∠ACD＝∠AC’D＝45°，故∠BAC＝15°或∠BAC’＝105°】
三、解答题
1.OE⊥AB．证明：
在△BAC和△ABD中，
，∴△BAC≌△ABD．∴∠OBA＝∠OAB，∴OA＝OB．又∵AE＝BE，∴OE⊥AB．
2.
（1）证明：
由已知条件得：
OE＝OF，2OE＝2OF，所以OB＝OC，又∠A＝∠D，∠AOB＝∠DOC．所以△ABO≌△DCO，所以AB＝DC．
（2）真，假
3.
（1）①③；②③．
（1）①③．证明：
∵∠EBO＝∠DCO，∠EOB＝∠DOC，BE＝CD，∴△BEO≌△CDO．∴OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB．∴∠EBO＋∠OBC＝∠DCO＋∠OCB，即∠ABC＝∠ACB．∴AB＝AC．∴△ABC为等边三角形．
4.
（1）证明：
∵CD⊥AB，∠ABC＝45°，∴△BCD是等腰直角三角形．∴BD＝CD．在Rt△DFB和Rt△DAC中，∵∠DBF＝90°－∠BFD，∠DCA＝90°－∠EFC，且∠BDF＝∠CDA＝90°，BD＝CD，∴Rt△DFB≌Rt△DAC，∴BF＝AC．
（2）证明：
在Rt△BEA和Rt△BEC中，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，又∵BE＝BE，∠BEA＝∠BEC＝
，∴Rt△BEA≌Rt△BEC．∴CE＝AE＝
AC．又由
（1）知BF＝AC，∴CE＝
AC＝
BF．（3）CE＜BG．证明：
连接CG．∵△BCD是等腰直角三角形，∴BD＝CD．又H是BC边的中点，∴DH垂直平分BC，∴BG＝CG．在Rt△CEG中，∵CG是斜边，CE是直角边，∴CE＜CG．∴CE＜BG．
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