人教版九年级数学上一元二次方程教案.docx

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人教版九年级数学上一元二次方程教案

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第二十二章一元二次方程

单元要点分析

教材内容

1．本单元教学的主要内容．

一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程应用题．

2．本单元在教材中的地位与作用．

一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法．学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程．应该说，一元二次方程是本书的重点内容．

教学目标

1．知识与技能

了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；应用熟练掌握以上知识解决问题．

2．过程与方法

（1）通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型．根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念．

（2）结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等．

（3）通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法，导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程．

（4）通过用已学的配方法解ax2+bx+c=0（a≠0）导出解一元二次方程的求根公式，接着讨论求根公式的条件：

b2-4ac>0，b2-4ac=0，b2-4ac<0．

（5）通过复习八年级上册《整式》的第5节因式分解进行知识迁移，解决用因式分解法解一元二次方程，并用练习巩固它．

（6）提出问题、分析问题，建立一元二次方程的数学模型，并用该模型解决实际问题．

3．情感、态度与价值观

经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型；经历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程，使同学们体会到转化等数学思想；经历设置丰富的问题情景，使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程，从而更好地理解方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣．

教学重点

1．一元二次方程及其它有关的概念．

2．用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程．

3．利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题．

教学难点

1．一元二次方程配方法解题．

2．用公式法解一元二次方程时的讨论．

3．建立一元二次方程实际问题的数学模型；方程解与实际问题解的区别．

教学关键

1．分析实际问题如何建立一元二次方程的数学模型．

2．用配方法解一元二次方程的步骤．

3．解一元二次方程公式法的推导．

课时划分

本单元教学时间约需16课时，具体分配如下：

22．1一元二次方程2课时

22．2降次──解一元二次方程7课时

22．3实际问题与一元二次方程5课时

发现一元二次方程根与系数的关系2课时

第1课时22．1一元二次方程

教学内容

一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念．

教学目标

了解一元二次方程的概念；一般式ax2+bx+c=0（a≠0）及其派生的概念；应用一元二次方程概念解决一些简单题目．

1．通过设置问题，建立数学模型，模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义．

2．一元二次方程的一般形式及其有关概念．

3．解决一些概念性的题目．

4．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．

重难点关键

1．重点：

一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．

2．难点关键：

通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．

教学过程

一、复习引入

学生活动：

列方程．

问题

（1）古算趣题：

“执竿进屋”

笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭。

有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足。

借问竿长多少数，谁人算出我佩服。

如果假设门的高为x尺，那么，这个门的宽为_______尺，长为_______尺，

根据题意，得________．

整理、化简，得：

__________．

问题

（2）如图，如果，那么点C叫做线段AB的黄金分割点．

如果假设AB=1，AC=x，那么BC=________，根据题意，得：

________．

整理得：

_________．

问题（3）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？

如果假设剪后的正方形边长为x，那么原来长方形长是________，宽是_____，根据题意，得：

_______．

整理，得：

________．

老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型，并整理．

二、探索新知

学生活动：

请口答下面问题．

（1）上面三个方程整理后含有几个未知数？

（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？

（3）有等号吗？

还是与多项式一样只有式子？

老师点评：

（1）都只含一个未知数x；

（2）它们的最高次数都是2次的；（3）都有等号，是方程．

因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．

一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．

一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．

例1．将方程3x（x-1）=5（x+2）化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．

分析：

一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程3x（x-1）=5（x+2）必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等．

解：

略

注意:

二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号.

例2．（学生活动：

请二至三位同学上台演练）将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．

分析：

通过完全平方公式和平方差公式把（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成ax2+bx+c=0（a≠0）的形式．

解：

略

三、巩固练习

教材P32练习1、2

补充练习:

判断下列方程是否为一元二次方程？

（1）3x+2=5y-3

（2）x2=4（3）3x2-=0（4）x2-4=（x+2）2（5）ax2+bx+c=0

四、应用拓展

例3．求证：

关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．

分析：

要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2-8m+17≠0即可．

证明：

m2-8m+17=（m-4）2+1

∵（m-4）2≥0

∴（m-4）2+1>0，即（m-4）2+1≠0

∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程．

•练习:

1.方程（2a—4）x2—2bx+a=0,在什么条件下此方程为一元二次方程？

在什么条件下此方程为一元一次方程？

2.当m为何值时,方程（m+1）x4m-4+27mx+5=0是关于的一元二次方程

五、归纳小结（学生总结，老师点评）

本节课要掌握：

（1）一元二次方程的概念；

（2）一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用．

六、布置作业

1．教材P34习题22．11

（2）（4）（6）、2．

2．选用作业设计．补充:

若x2-2xm-1+3=0是关于x的一元二次方程,求m的值

作业设计

一、选择题

1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（）．

①3x2+7=0②ax2+bx+c=0③（x-2）（x+5）=x2-1④3x2-=0

A．1个B．2个C．3个D．4个

2．方程2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为（）．

A．2，3，-6B．2，-3，18C．2，-3，6D．2，3，6

3．px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（）．

A．p=1B．p>0C．p≠0D．p为任意实数

二、填空题

1．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________．

2．一元二次方程的一般形式是__________．

3．关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是________．

三、综合提高题

1．a满足什么条件时，关于x的方程a（x2+x）=x-（x+1）是一元二次方程？

2．关于x的方程（2m2+m）xm+1+3x=6可能是一元二次方程吗？

为什么？

3．一块矩形铁片，面积为1m2，长比宽多3m，求铁片的长，小明在做这道题时，是这样做的：

设铁片的长为x，列出的方程为x（x-3）=1，整理得：

x2-3x-1=0．小明列出方程后，想知道铁片的长到底是多少，下面是他的探索过程：

第一步：

x

1

2

3

4

x2-3x-1

-3

-3

所以，________

第二步：

x

3.1

3.2

3.3

3.4

x2-3x-1

-0.96

-0.36

所以，________

（1）请你帮小明填完空格，完成他未完成的部分；

（2）通过以上探索，估计出矩形铁片的整数部分为_______，十分位为______．

课后反思

第2课时22．1一元二次方程

教学内容

1．一元二次方程根的概念；

2．根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目．

教学目标

了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题．

提出问题，根据问题列出方程，化为一元二次方程的一般形式，列式求解；由解给出根的概念；再由根的概念判定一个数是否是根．同时应用以上的几个知识点解决一些具体问题．

重难点关键

1．重点：

判定一个数是否是方程的根；

2．难点关键：

由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根．

教学过程

一、复习引入

学生活动：

请同学独立完成下列问题．

问题1．前面有关“执竿进屋”的问题中,我们列得方程x2-8x+20=0

列表：

x

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

…

x2-8x+20

…

问题2．前面有关长方形的面积的问题中,我们列得方程x2+7x-44=0即x2+7x=44

x

1

2

3

4

5

6

…

x2+7x

…

列表：

老师点评（略）

二、探索新知

提问：

（1）问题1中一元二次方程的解是多少？

问题2中一元二次方程的解是多少？

（2）如果抛开实际问题，问题2中还有其它解吗？

老师点评：

（1）问题1中x=2与x=10是x2-8x+20=0的解，问题2中，x=4是x2+7x-44=0的解.

（2）如果抛开实际问题，问题2中还有x=-11的解．

一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．

回过头来看：

x2-8x+20=0有两个根，一个是2，另一个是10，都满足题意；但是，问题2中的x=-11的根不满足题意．因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解．

例1．下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？

-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．

分析：

要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可．

解：

将上面的这些数代入后，只有-2和-3满足方程的等式，所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的两根．

例2.若x=1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个根,求代数式2007（a+b+c）的值

练习:

关于x的一元二次方程（a-1）x2+x+a2-1=0的一个根为0,则求a的值

点拨:

如果一个数是方程的根,那么把该数代入方程,一定能使左右两边相等,这种解决问题的思维方法经常用到,同学们要深刻理解.

例3．你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？

（1）x2-64=0

（2）3x2-6=0（3）x2-3x=0

分析：

要求出方程的根，就是要求出满足等式的数，可用直接观察结合平方根的意义．

解：

略

三、巩固练习

教材P33思考题练习1、2．

四、应用拓展

例3．要剪一块面积为150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm，这块铁片应该怎样剪？

设长为xcm，则宽为（x-5）cm

列方程x（x-5）=150，即x2-5x-150=0

请根据列方程回答以下问题：

（1）x可能小于5吗？

可能等于10吗？

说说你的理由．

（2）完成下表：

x

10

11

12

13

14

15

16

17

…

x2-5x-150

（3）你知道铁片的长x是多少吗？

分析：

x2-5x-150=0与上面两道例题明显不同，不能用平方根的意义和八年级上册的整式中的分解因式的方法去求根，但是我们可以用一种新的方法──“夹逼”方法求出该方程的根．

解：

（1）x不可能小于5．理由：

如果x<5，则宽（x-5）<0，不合题意．

x不可能等于10．理由：

如果x=10，则面积x2-5x-150=-100，也不可能．

（2）

x

10

11

12

13

14

15

16

17

……

x2-5x-150

-100

-84

-66

-46

-24

0

26

54

……

（3）铁片长x=15cm

五、归纳小结（学生归纳，老师点评）

本节课应掌握：

（1）一元二次方程根的概念；

（2）要会判断一个数是否是一元二次方程的根；

（3）要会用一些方法求一元二次方程的根．（“夹逼”方法;平方根的意义）

六、布置作业

1．教材P34复习巩固3、4综合运用5、6、7拓广探索8、9．

2．选用课时作业设计．

作业设计

一、选择题

1．方程x（x-1）=2的两根为（）．

A．x1=0，x2=1B．x1=0，x2=-1C．x1=1，x2=2D．x1=-1，x2=2

2．方程ax（x-b）+（b-x）=0的根是（）．

A．x1=b，x2=aB．x1=b，x2=C．x1=a，x2=D．x1=a2，x2=b2

3．已知x=-1是方程ax2+bx+c=0的根（b≠0），则=（）．

A．1B．-1C．0D．2

二、填空题

1．如果x2-81=0，那么x2-81=0的两个根分别是x1=________，x2=__________．

2．已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________．

3．方程（x+1）2+x（x+1）=0，那么方程的根x1=______；x2=________．

三、综合提高题

1．如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根，求（a-b）2+4ab的值．

2．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证：

-1必是该方程的一个根．

3．在一次数学课外活动中，小明给全班同学演示了一个有趣的变形，即在（）2-2x+1=0，令=y，则有y2-2y+1=0，根据上述变形数学思想（换元法），解决小明给出的问题：

在（x2-1）2+（x2-1）=0中，求出（x2-1）2+（x2-1）=0的根．

课后反思

第3课时22.2.1直接开平方法

教学内容

运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．

教学目标

理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．

提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程．

重难点关键

1．重点：

运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．

2．难点与关键：

通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程．

教学过程

一、复习引入

学生活动：

请同学们完成下列各题

问题1．填空

（1）x2-8x+______=（x-______）2；

（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x2+px+_____=（x+______）2．

问题1：

根据完全平方公式可得：

（1）164；

（2）42；（3）（）2．

问题2：

目前我们都学过哪些方程?

二元怎样转化成一元？

一元二次方程于一元一次方程有什么不同？

二次如何转化成一次？

怎样降次？

以前学过哪些降次的方法？

二、探索新知

上面我们已经讲了x2=9，根据平方根的意义，直接开平方得x=±3，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=9，能否也用直接开平方的方法求解呢？

（学生分组讨论）

老师点评：

回答是肯定的，把2t+1变为上面的x，那么2t+1=±3

即2t+1=3，2t+1=-3

方程的两根为t1=1，t2=--2

例1：

解方程：

（1）（2x-1）2=5

（2）x2+6x+9=2（3）x2-2x+4=-1

分析：

很清楚，x2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2）2=1．

解：

（2）由已知，得：

（x+3）2=2

直接开平方，得：

x+3=±

即x+3=，x+3=-

所以，方程的两根x1=-3+，x2=-3-

例2．市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率．

分析：

设每年人均住房面积增长率为x．一年后人均住房面积就应该是10+10x=10（1+x）；二年后人均住房面积就应该是10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2

解：

设每年人均住房面积增长率为x，

则：

10（1+x）2=14.4

（1+x）2=1.44

直接开平方，得1+x=±1.2

即1+x=1.2，1+x=-1.2

所以，方程的两根是x1=0.2=20%，x2=-2.2

因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2=-2.2应舍去．

所以，每年人均住房面积增长率应为20%．

（学生小结）老师引导提问：

解一元二次方程，它们的共同特点是什么？

共同特点：

把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“降次转化思想”．

三、巩固练习

教材P36练习．

补充题：

如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始，沿AB边向点B以1cms的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cms的速度移动，如果AB=6cm，BC=12cm，P、Q都从B点同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8cm2？

老师点评：

问题2：

设x秒后△PBQ的面积等于8cm2

则PB=x，BQ=2x

依题意，得：

x·2x=8

x2=8

根据平方根的意义，得x=±2

即x1=2，x2=-2

可以验证，2和-2都是方程x·2x=8的两根，但是移动时间不能是负值．

所以2秒后△PBQ的面积等于8cm2．

四、应用拓展

例3．某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为3.31万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？

分析：

设该公司二、三月份营业额平均增长率为x，那么二月份的营业额就应该是（1+x），三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是（1+x）2．

解：

设该公司二、三月份营业额平均增长率为x．

那么1+（1+x）+（1+x）2=3.31

把（1+x）当成一个数，配方得：

（1+x+）2=2.56，即（x+）2=2．56

x+=±1.6，即x+=1.6，x+=-1.6

方程的根为x1=10%，x2=-3.1

因为增长率为正数，

所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%．

五、归纳小结

本节课应掌握：

由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=±转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=±，达到降次转化之目的．若p＜0则方程无解

六、布置作业

1．教材P45复习巩固1、2．

2．选用作业设计:

一、选择题

1．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（）．

A．p=4，q=2B．p=4，q=-2C．p=-4，q=2D．p=-4，q=-2

2．方程3x2+9=0的根为（）．

A．3B．-3C．±3D．无实数根

3．用配方法解方程x2-x+1=0正确的解法是（）．

A．（x-）2=，x=±B．（x-）2=-，原方程无解

C．（x-）2=，x1=+，x2=D．（x-）2=1，x1=，x2=-

二、填空题

1．若8x2-16=0，则x的值是_________．

2．如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________．

3．如果a、b为实数，满足+b2-12b+36=0，那么ab的值是_______．

三、综合提高题

1．解关于x的方程（x+m）2=n．

2．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），另三边用木栏围成，木栏长40m．

（1）鸡场的面积能达到180m2吗？

能达到200m吗？

（2）鸡场的面积能达到210m2吗？

3．在一次手工制作中，某同学准备了一根长4米的铁丝，由于需要，现在要制成一个矩形方框，并且要使面积尽可能大，你能帮助这名同学制成方框，并说明你制作的理由吗？

课后反思

第4课时22.2.2配方法

（1）

教学内容

间接即通过变形运用开平方法降次解方程．

教学目标

理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题．

通过复习可直接化成x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤．

重难点关键

1．重点：

讲清“直接降次有困难，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤．

2．难点与关键：

不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．

教学过程

一、复习引入

（学生活动）