湖北省咸宁市中考数学.docx
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湖北省咸宁市中考数学
2013年中考数学试题（湖北咸宁卷）
（本试卷满分120分，考试时间120分钟）
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2013年湖北咸宁3分）如果温泉河的水位升高0.8m时水位变化记作+0.8m，那么水位下降0.5m时水位变化记作【】
A．0mB．0.5mC．﹣0.8mD．﹣0.5m
【答案】D。
2．（2013年湖北咸宁3分）2012年，咸宁全面推进“省级战略，咸宁实施”，经济持续增长，全市人均GDP再攀新高，达到约24000元．将24000用科学记数法表示为【】
A．2.4×104B．2.4×103C．0.24×105D．2.4×105
【答案】A。
3．（2013年湖北咸宁3分）下列学习用具中，不是轴对称图形的是【】
A．
B．
C．
D．
【答案】C。
4．（2013年湖北咸宁3分）下列运算正确的是【】
A．a6÷a2=a3B．3a2b﹣a2b=2C．（﹣2a3）2=4a6D．（a+b）2=a2+b2
【答案】C。
5．（2013年湖北咸宁3分）如图，过正五边形ABCDE的顶点A作直线l∥BE，则∠1的度数为【】
A．30°B．36°C．38°D．45°
【答案】B。
6．（2013年湖北咸宁3分）关于x的一元二次方程
有实数根，则整数a的最大值是【】
A．2B．1C．0D．－1
【答案】C。
7．（2013年湖北咸宁3分）如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为【】
A．
B．
C．
D．
【答案】C。
8．（2013年湖北咸宁3分）如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于
MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为（2a，b+1），则a与b的数量关系为【】
A．a=bB．2a+b=﹣1C．2a﹣b=1D．2a+b=1
【答案】B。
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
9．（2013年湖北咸宁3分）﹣3的倒数为 ▲ ．
【答案】
10．（2013年湖北咸宁3分）化简
的结果为 ▲ ．
【答案】
。
11．（2013年湖北咸宁3分）如图是正方体的一种平面展开图，它的每个面上都有一个汉字，那么在原正方体的表面上，与汉字“香”相对的面上的汉字是 ▲ ．
【答案】泉。
12．（2013年湖北咸宁3分）已知
是二元一次方程组
的解，则m+3n的立方根为 ▲ ．
【答案】2。
13．（2013年湖北咸宁3分）在数轴上，点A（表示整数a）在原点的左侧，点B（表示整数b）在原点的右侧．若|a﹣b|=2013，且AO=2BO，则a+b的值为 ▲ ．
【答案】﹣671。
14．（2013年湖北咸宁3分）跳远运动员李刚对训练效果进行测试，6次跳远的成绩如下：
7.6，7.8，7.7，7.8，
8.0，7.9．（单位：
m）这六次成绩的平均数为7.8，方差为
．如果李刚再跳两次，成绩分别为7.7，7.9．则李刚
这8次跳远成绩的方差 ▲ （填“变大”、“不变”或“变小”）．
【答案】变小。
15．（2013年湖北咸宁3分）如图，在Rt△AOB中，OA=OB=
，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值为 ▲ ．
【答案】
。
16．（2013年湖北咸宁3分）“龟兔首次赛跑”之后，输了比赛的兔子没有气馁，总结反思后，和乌龟约定再赛一场．图中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的故事（x表示乌龟从起点出发所行的时间，y1表示乌龟所行的路程，y2表示兔子所行的路程）．有下列说法：
①“龟兔再次赛跑”的路程为1000米；
②兔子和乌龟同时从起点出发；
③乌龟在途中休息了10分钟；
④兔子在途中750米处追上乌龟．
其中正确的说法是 ▲ ．（把你认为正确说法的序号都填上）
【答案】①③④。
三、解答题（共8小题，满分72分）
17．（2013年湖北咸宁10分）
（1）（2013年湖北咸宁5分）计算：
【答案】解：
原式=
。
（2）（2013年湖北咸宁5分）解不等式组：
．
【答案】解：
解不等式x+6≤3x+4，得；x≥1，
解不等式
，得：
x＜4，
∴原不等式组的解集为：
1≤x＜4。
18．（2013年湖北咸宁7分）在咸宁创建”国家卫生城市“的活动中，市园林公司加大了对市区主干道两旁植“景观树”的力度，平均每天比原计划多植5棵，现在植60棵所需的时间与原计划植45棵所需的时间相同，问现在平均每天植多少棵树？
【答案】解：
设现在平均每天植树x棵，则原计划平均每天植树（x﹣5）棵．依题意得：
，
解得：
x=20，
经检验，x=20是方程的解，且符合题意。
答：
现在平均每天植树20棵。
19．（2013年湖北咸宁8分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+b（b＜0）与坐标轴交于A，B两点，与双曲线
（x＞0）交于D点，过点D作DC⊥x轴，垂足为G，连接OD．已知△AOB≌△ACD．
（1）如果b=﹣2，求k的值；
（2）试探究k与b的数量关系，并写出直线OD的解析式．
【答案】解：
（1）当b=﹣2时，直线y=2x﹣2与坐标轴交点的坐标为A（1，0），B（0，﹣2），
∵△AOB≌△ACD，∴CD=DB=2，AO=AC=1。
∴点D的坐标为（2，2）。
∵点D在双曲线
（x＞0）的图象上，∴k=2×2=4。
（2）直线y=2x+b与坐标轴交点的坐标为A（
，0），B（0，b），
∵△AOB≌△ACD，∴CD=OB=b，AO=AC=
，
∴点D的坐标为（﹣b，﹣b）。
∵点D在双曲线
（x＞0）的图象上，
∴
，即k与b的数量关系为：
。
直线OD的解析式为：
y=x。
20．（2013年湖北咸宁8分）如图，△ABC内接于⊙O，OC和AB相交于点E，点D在OC的延长线上，且∠B=∠D=∠BAC=30°．
（1）试判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）AB=
，求⊙O的半径．
【答案】解：
（1）直线AD与⊙O相切。
理由如下：
如图，连接OA，
∵∠B=30°，∴∠AOC=2∠B=60°。
又∵∠D=30°，∴∠OAD=180°﹣∠AOD﹣∠D=90°。
∴OA⊥AD。
∵OA为半径，∴AD是⊙O的切线。
（2）∵OA=OC，∠AOC=60°，∴△ACO是等边三角形。
∴∠ACO=60°，AC=OA。
∴∠AEC=180°﹣∠EAC﹣∠ACE=90°。
∴OC⊥AB，
又∵OC是⊙O的半径，∴AE=
AB=
。
在Rt△ACE中，
，∴⊙O的半径为6。
21．（2013年湖北咸宁8分）在对全市初中生进行的体质健康测试中，青少年体质研究中心随机抽取的10名学生的坐位体前屈的成绩（单位：
厘米）如下：
11.2，10.5，11.4，10.2，11.4，11.4，11.2，9.5，12.0，10.2
（1）通过计算，样本数据（10名学生的成绩）的平均数是10.9，中位数是 ▲ ，众数是 ▲ ；
（2）一个学生的成绩是11.3厘米，你认为他的成绩如何？
说明理由；
（3）研究中心确定了一个标准成绩，等于或大于这个成绩的学生该项素质被评定为“优秀”等级，如果全市有一半左右的学生能够达到“优秀”等级，你认为标准成绩定为多少？
说明理由．
【答案】解：
（1）11.2；11.4。
（2）方法1：
根据
（1）中得到的样本数据的结论，可以估计，在这次坐位体前屈的成绩测试中，全市大约有一半学生的成绩大于11.2厘米，有一半学生的成绩小于11.2厘米，这位学生的成绩是11.3厘米，大于中位数11.2厘米，可以推测他的成绩比一半以上学生的成绩好。
方法2：
根据
（1）中得到的样本数据的结论，可以估计，在这次坐位体前屈的成绩测试中，全市学生的平均成绩是10.9厘米，这位学生的成绩是11.3厘米，大于平均成绩10.9厘米，可以推测他的成绩比全市学生的平均成绩好。
（3）如果全市有一半左右的学生评定为“优秀”等级，标准成绩应定为11.2厘米（中位数）．因为从样本情况看，成绩在11.2厘米以上（含11.2厘米）的学生占总人数的一半左右．可以估计，如果标准成绩定为11.2厘米，全市将有一半左右的学生能够评定为“优秀”等级。
22．（2013年湖北咸宁9分）为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：
由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：
y=﹣10x+500．
（1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？
（2）设李明获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？
（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于300元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？
【答案】解：
（1）当x=20时，y=﹣10x+500=﹣10×20+500=300，
300×（12﹣10）=300×2=600，
∴政府这个月为他承担的总差价为600元。
（2）依题意得，
，
∵a=﹣10＜0，∴当x=30时，w有最大值4000。
∴当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000．
（3）由题意得：
﹣10x2+600x﹣5000=3000，
解得：
x1=20，x2=40。
∵a=﹣10＜0，抛物线开口向下，
∴结合图象可知：
当20≤x≤40时，w≥3000。
又∵x≤25，∴当20≤x≤25时，w≥3000。
设政府每个月为他承担的总差价为p元，
∴
。
∵k=﹣20＜0，∴p随x的增大而减小。
∴当x=25时，p有最小值500。
∴销售单价定为25元时，政府每个月为他承担的总差价最少为500元。
23．（2013年湖北咸宁10分）阅读理解：
如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点．解决问题：
（1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E；
拓展探究：
（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系．
【答案】解：
（1）点E是四边形ABCD的边AB上的相似点。
理由如下：
∵∠A=55°，∴∠ADE+∠DEA=125°。
∵∠DEC=55°，∴∠BEC+∠DEA=125°。
∴∠ADE=∠BEC。
∵∠A=∠B，∴△ADE∽△BEC。
∴点E是四边形ABCD的AB边上的相似点。
（2）作图如下：
（3）∵点E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，
∴△AEM∽△BCE∽△ECM。
∴∠BCE=∠ECM=∠AEM。
由折叠可知：
△ECM≌△DCM，∴∠ECM=∠DCM，CE=CD。
∴∠BCE=
∠BCD=30°。
∴BE=
CE=
AB。
在Rt△BCE中，
，
∴
，∴
。
24．（2013年湖北咸宁12分）如图，已知直线
与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到△COD．
（1）点C的坐标是 ▲ ，线段AD的长等于 ▲ ；
（2）点M在CD上，且CM=OM，抛物线y=x2+bx+c经过点G，M，求抛物线的解析式；
（3）如果点E在y轴上，且位于点C的下方，点F在直线AC上，那么在
（2）中的抛物线上是否存在点P，使得以C，E，F，P为顶点的四边形是菱形？
若存在，请求出该菱形的周长l；若不存在，请说明理由．
【答案】解：
（1）（0，3）；4。
（2）∵CM=OM，∴∠OCM=∠COM。
∵∠OCM+∠ODM=∠COM+∠MOD=90°，∴∠ODM=∠MOD。
∴OM=MD=CM。
∴点M是CD的中点，∴点M的坐标为（
，
）。
∵抛物线y=x2+bx+c经过点C，M，
∴
，解得：
。
∴抛物线y=x2+bx+c的解析式为：
。
（3）抛物线上存在点P，使得以C，E，F，P为顶点的四边形是菱形。
情形1：
如图1，当点F在点C的左边时，四边形CFEP为菱形，
∴∠FCE=PCE。
由题意可知，OA=OC，∴∠ACO=∠PCE=45°。
∴∠FCP=90°。
∴菱形CFEP为正方形。
过点P作PH⊥CE，垂足为H，
则Rt△CHP为等腰直角三角形。
∴CP=
CH=
PH。
设点P为（x，
），则OH=
，PH=x，
∵PH=CH=OC﹣OH，∴
，解得：
x1=
，x2=0（舍去）。
∴CP=
CH=
。
∴菱形CFEP的周长l为：
。
情形2：
如图2，当点F在点C的右边时，四边形CFPE为菱形，
∴CF=PF，CE∥FP。
∵直线AC过点A（﹣3，0），点C（0，3），
∴直线AC的解析式为：
y=x+3。
过点C作CM⊥PF，垂足为M，
则Rt△CMF为等腰直角三角形，CM=FM。
延长PF交x轴于点N，则PN⊥x轴，
∴PF=FN﹣PN。
设点P为（x，
），则点F为（x，x+3），
∴
。
∴
，解得：
，x2=0（舍去）。
∴
。
∴菱形CFEP的周长l为：
）。
综上所述，这样的菱形存在，它的周长为
或
。
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