最新导数计算公式.docx
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最新导数计算公式
导数计算公式
导数公式
一、基本初等函数的导数公式
已知函数：
（1）y＝f（x）＝c；
（2）y＝f（x）＝x；（3）y＝f（x）＝x2；（4）y＝f（x）＝
；（5）y＝f（x）＝
.
问题：
上述函数的导数是什么？
提示：
（1）∵
＝
＝
＝0，∴y′＝
＝0.
2）（x）′＝1，（3）（x2）′＝2x，（4）
′＝－
，（5）（
）′＝
.
函数
（2）（3）（5）均可表示为y＝xα（α∈Q*）的形式，其导数有何规律？
提示：
∵
（2）（x）′＝1·x1－1，（3）（x2）′＝2·x2－1，（5）（
）′＝（x
）′＝
x
＝
，∴（xα）′＝αxα－1.
基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f（x）＝c（c为常数）
f′（x）＝0
f（x）＝xα（α∈Q*）
f′（x）＝αxα－1
f（x）＝sin x
f′（x）＝cosx
f（x）＝cos x
f′（x）＝－sinx
f（x）＝ax
f′（x）＝axlna
f（x）＝ex
f′（x）＝ex
f（x）＝logax
f′（x）＝
f（x）＝lnx
f′（x）＝
二、导数运算法则
已知f（x）＝x，g（x）＝
.
问题1：
f（x），g（x）的导数分别是什么？
问题2：
试求Q（x）＝x＋
，H（x）＝x－
的导数．
提示：
∵Δy＝（x＋Δx）＋
－
＝Δx＋
，
∴
＝1－
，∴Q′（x）＝
＝
＝1－
.同理H′（x）＝1＋
.
问题3：
Q（x），H（x）的导数与f（x），g（x）的导数有何关系？
提示：
Q（x）的导数等于f（x），g（x）导数的和，H（x）的导数等于f（x），g（x）导数的差．
导数运算法则
1．[f（x）±g（x）]′＝f′（x）±g′（x）
2．[f（x）·g（x）]′＝f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）
3.
′＝
（g（x）≠0）
题型一利用导数公式直接求导
[例1] 求下列函数的导数：
（1）y＝10x；
（2）y＝lgx；（3）
；
（4）y＝
；（5）
.
[解]
（1）y′＝（10x）′＝10xln10；
（2）y′＝（lgx）′＝
；
（3）y′＝
＝－
；（4）y′＝（
）′＝
；（5）∵y＝
2－1＝sin2
＋2sin
cos
＋cos2
－1＝sinx，∴y′＝（sinx）′＝cosx.
练习求下列函数的导数：
（1）y＝
x；
（2）y＝
x；（3）y＝lg5；（4）y＝3lg
；（5）y＝2cos2
－1.
解：
（1）y′＝
′＝
xln
＝－
＝－e－x；
（2）y′＝
′＝
xln
＝
＝－10－xln10；（3）∵y＝lg5是常数函数，∴y′＝（lg5）′＝0；
（4）∵y＝3lg
＝lgx，∴y′＝（lgx）′＝
；（5）∵y＝2cos2
－1＝cosx，
∴y′＝（cosx）′＝－sinx.
题型二利用导数的运算法则求函数的导数
[例2] 求下列函数的导数：
（1）y＝x3·ex；
（2）y＝x－sin
cos
；（3）y＝x2＋log3x；（4）y＝
.
[解]
（1）y′＝（x3）′ex＋x3（ex）′＝3x2ex＋x3ex＝x2（3＋x）ex.
（2）∵y＝x－
sinx，∴y′＝x′－
（sinx）′＝1－
cosx.
（3）y′＝（x2＋log3x）′＝（x2）′＋（log3x）′＝2x＋
.
（4）y′＝
＝
＝
.
练习求下列函数的导数：
（1）y＝
；
（2）y＝xsinx＋
；（3）y＝
＋
；（4）y＝lgx－
.
解：
（1）y′＝
′＝
＝
＝－
.
（2）y′＝（xsinx）′＋（
）′＝sinx＋xcosx＋
.
（3）∵y＝
＋
＝
＝
－2，∴y′＝
′＝
＝
.
（4）y′＝
′＝（lgx）′－
′＝
＋
.
题型三导数几何意义的应用
[例3]
（1）曲线y＝－5ex＋3在点（0，－2）处的切线方程为________．
（2）在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：
y＝x3－10x＋13上，且在第一象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为________．
[解析]
（1）y′＝－5ex，∴所求曲线的切线斜率k＝y′|x＝0＝－5e0＝－5，
∴切线方程为y－（－2）＝－5（x－0），即5x＋y＋2＝0.
（2）设点P的坐标为（x0，y0），因为y′＝3x2－10，所以3x
－10＝2，解得x0＝±2.又点P在第一象限内，所以x0＝2，又点P在曲线C上，所以y0＝23－10×2＋13＝1，所以点P的坐标为（2,1）．
（1）5x＋y＋2＝0
（2）（2,1）
练习若曲线f（x）＝acosx与曲线g（x）＝x2＋bx＋1在交点（0，m）处有公切线，则a＋b＝________.
解析：
f′（x）＝－asinx，g′（x）＝2x＋b，
∵曲线f（x）＝acosx与曲线g（x）＝x2＋bx＋1在交点（0，m）处有公切线，
∴f（0）＝a＝g（0）＝1，且f′（0）＝0＝g′（0）＝b，∴a＋b＝1.答案：
1
[典例] 已知a∈R，函数f（x）＝x3－3x2＋3ax－3a＋3，求曲线y＝f（x）在点（1，f
（1））处的切线方程．
[解] 由已知得f′（x）＝3x2－6x＋3a，故f′
（1）＝3－6＋3a＝3a－3，
且f
（1）＝1－3＋3a－3a＋3＝1.故所求切线方程为y－1＝（3a－3）（x－1），
即3（a－1）x－y＋4－3a＝0.
一、已知斜率，求切线方程．
此类问题可以设出切点，利用导数与已知直线的斜率关系来确定切点，进而求出切线方程．
例：
求与直线x＋4y＋1＝0垂直的曲线f（x）＝2x2－1的切线方程．
解：
所求切线与直线x＋4y＋1＝0垂直，所以所求切线的斜率k＝4.
设切点坐标为（x0，y0），则f′（x0）＝4x0＝4，即x0＝1.所以切点坐标为（1,1）．
故所求切线方程为y－1＝4（x－1），即4x－y－3＝0.
二、已知过曲线上一点，求切线方程．
过曲线上一点的切线，该点不一定是切点，故应先设出切点，再利用该点在切线上来确定切点，进而求出切线方程．
例：
求过曲线f（x）＝x3－2x上的点（1，－1）的切线方程．
解：
设切点坐标为（x0，y0），
因为f′（x）＝3x2－2，
所以f′（x0）＝3x
－2，且y0＝f（x0）＝x
－2x0.
所以切线方程为y－y0＝（3x
－2）（x－x0），
即y－（x
－2x0）＝（3x
－2）（x－x0）．
因为切线过点（1，－1），
故－1－（x
－2x0）＝（3x
－2）·（1－x0）
即2x
－3x
＋1＝0，
解得x0＝1或x0＝－
，
故所求切线方程为x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.
三、已知过曲线外一点，求切线方程．
这一题型要设出切点，再利用斜率公式及导数的几何意义列方程求出切点，从而求出切线方程．
例：
已知函数f（x）＝x3－3x，过点A（0,16）作曲线y＝f（x）的切线，求切线方程．
解：
由题意知点A（0,16）不在曲线f（x）＝x3－3x上，设切点坐标为M（x0，y0）．
则f′（x0）＝3x
－3，
故切线方程为y－y0＝3（x
－1）（x－x0）．
又点A（0,16）在切线上，
所以16－（x
－3x0）＝3（x
－1）（0－x0），
化简得x
＝－8，解得x0＝－2，即切点为M（－2，－2），
故切线方程为9x－y＋16＝0.
课后练习
1．给出下列结论：
①（cosx）′＝sinx； ②
′＝cos
；
③若y＝
，则y′＝－
；④
′＝
.
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
解析：
（cosx）′＝－sinx，所以①错误；sin
＝
，而
′＝0，所以②错误；
′＝
＝
＝－2x－3，所以③错误；
′＝－
＝
＝
x
＝
，
所以④正确．答案：
B
2．函数y＝sinx·cosx的导数是（ ）
A．y′＝cos2x＋sin2xB．y′＝cos2x－sin2x
C．y′＝2cosx·sinxD．y′＝cosx·sinx
解析：
y′＝（sinx·cosx）′＝cosx·cosx＋sinx·（－sinx）＝cos2x－sin2x.
3．若f（x）＝（2x＋a）2，且f′
（2）＝20，则a＝________.
解析：
f（x）＝4x2＋4ax＋a2，∵f′（x）＝8x＋4a，∴f′
（2）＝16＋4a＝20，∴a＝1.答案：
1
4．已知曲线y＝x4＋ax2＋1在点（－1，a＋2）处切线的斜率为8，则a＝________.
解析：
y′＝4x3＋2ax，因为曲线在点（－1，a＋2）处切线的斜率为8，所以y′|x＝－1＝－4－2a＝8，解得a＝－6.答案：
－6
5．求下列函数的导数：
（1）y＝x
；
（2）y＝
；
（3）y＝（4x－x）（ex＋1）．
解：
（1）∵y＝x
＝x3＋1＋
，∴y′＝3x2－
.
（2）y′＝
＝
.
（3）法一：
∵y＝（4x－x）（ex＋1）＝4xex＋4x－xex－x，∴y′＝（4xex＋4x－xex－x）′＝（4x）′ex＋4x（ex）′＋（4x）′－[x′ex＋x（ex）′]－x′＝ex4xln4＋4xex＋4xln4－ex－xex－1＝ex（4xln4＋4x－1－x）＋4xln4－1.
法二：
y′＝（4x－x）′（ex＋1）＋（4x－x）（ex＋1）′＝（4xln4－1）（ex＋1）＋（4x－x）ex＝ex（4xln4＋4x－1－x）＋4xln4－1.
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