1.（2016·高安质检）如图所示，两次渡河时船相对水的速度大小和方向都不变。
已知第一次实际航程为A至B，位移为x1，实际航速为v1，所用时间为t1。
由于水速增大，第二次实际航程为A至C，位移为x2，实际航速为v2，所用时间为t2。
则（ ）
A．t2>t1，v2＝ B．t2>t1，v2＝
C．t2＝t1，v2＝D．t2＝t1，v2＝
解析：
选C 设河宽为d，船自身的速度为v，与河岸上游的夹角为θ，对垂直河岸的分运动，过河时间t＝，则t1＝t2；对合运动，过河时间t＝＝，解得v2＝，C正确。
2．[多选]下列图中实线为河岸，河水的流动方向如图中v的箭头所示，虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线。
则其中可能正确的是（ ）
解析：
选AB 船头垂直于河岸时，船的实际航向应斜向下游，A正确，C错误；船头斜向上游时，船的实际航向可能垂直于河岸，B正确；船头斜向下游时，船的实际航向一定斜向下游，D错误。
3．河宽60m，水流速度v1＝6m/s，小船在静水中的速度v2＝3m/s，求：
（1）它渡河的最短时间；
（2）它渡河的最短航程。
解析：
（1）设小船与岸成θ角开出，如图甲所示。
渡河时间为t＝
当θ＝90°时渡河时间最短，tmin＝＝s＝20s。
（2）因为船速小于水速，所以小船一定向下游漂移。
如图乙所示，以v1矢量末端为圆心，以v2矢量的大小为半径画弧，从v1矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向时航程最短。
由图可知，最短航程为
x短＝＝d＝×60m＝120m
答案：
（1）20s
（2）120m
考点四
关联速度问题
1．问题特点：
沿绳（或杆）方向的速度分量大小相等。
2．思路与原则
（1）思路
①明确合速度→物体的实际运动速度v；
②明确分速度其一：
沿绳或杆的速度v1；其二：
与绳或杆垂直的分速度v2。
（2）原则：
v1与v2的合成遵循平行四边形定则。
3．解题方法
把物体的实际速度分解为垂直于绳（杆）和平行于绳（杆）两个分量，根据沿绳（杆）方向的分速度大小相等求解。
常见的模型如图所示。
[典题2] 在距河面高度h＝20m的岸上有人用长绳拴住一条小船，开始时绳与水面的夹角为30°。
人以恒定的速率v＝3m/s拉绳，使小船靠岸，那么（ ）
A．5s时绳与水面的夹角为60°
B．5s后小船前进了15m
C．5s时小船的速率为4m/s
D．5s时小船到岸边的距离为15m
[解析] 设开始时小船距岸边为L，则L＝＝20m，5s后绳端沿岸位移为x＝vt＝3×5m＝15m，设5s后小船前进了x′，绳与水平面的夹角为θ，由几何关系得sinθ＝＝＝0.8，解得θ＝53°，选项A错误；由tanθ＝，解得x′＝19.64m，选项B错误；由v船cosθ＝v可得此时小船的速率为v船＝5m/s，选项C错误；5s时小船到岸边的距离为L－x′＝20m－19.64m＝15m，选项D正确。
[答案] D
1.如图所示，物体A、B经无摩擦的定滑轮用细线连在一起，A物体受水平向右的力F的作用，此时B匀速下降，A水平向左运动，可知（ ）
A．物体A做匀速运动
B．物体A做加速运动
C．物体A所受摩擦力逐渐增大
D．物体A所受摩擦力不变
解析：
选B 设系在A上的细线与水平方向夹角为θ，物体B的速度为vB，大小不变，细线的拉力为FT，则物体A的速度vA＝，FfA＝μ（mg－FTsinθ）,因物体下降，θ增大，故vA增大，物体A做加速运动，A错误，B正确；物体B匀速下降，FT不变，故随θ增大，FfA减小，C、D均错误。
2.（2016·上海四区联考）如图所示，长为L的直棒一端可绕固定轴O转动，另一端搁在升降平台上，平台以速度v匀速上升，当棒与竖直方向的夹角为α时，棒的角速度为（ ）
A. B.C.D.
解析：
选B 棒与平台接触点的实际运动即合运动的速度方向是垂直于棒指向左上方，合速度沿竖直向上方向上的速度分量等于v，即ωLsinα＝v，所以ω＝。
3．如图所示，水平面上有一汽车A，通过定滑轮用绳子拉同一水平面的物体B，当拉至图示位置时，两绳子与水平面的夹角分别为α、β，二者速度分别为vA和vB，则（ ）
A．vA∶vB＝1∶1
B．vA∶vB＝sinα∶sinβ
C．vA∶vB＝cosβ∶cosα
D．vA∶vB＝sinα∶cosβ
解析：
选C 物体B实际的速度水平向右，根据它的实际运动效果，两分运动分别为：
沿绳收缩方向的分运动，设其速度为v1，垂直绳方向的分运动，设其速度为v2，如图甲所示，则有
v1＝vBcosβ①
汽车A实际的速度水平向右，根据它的实际运动效果，两分运动分别为：
沿绳收缩方向的分运动，设其速度为v3，垂直绳方向的分运动，设其速度为v4，如图乙所示，则有
v3＝vAcosα②
又因二者沿绳子方向上的速度相等，则有v1＝v3③
由①②③式得vA∶vB＝cosβ∶cosα。
专题突破训练
一、单项选择题
1．关于曲线运动，下列说法中正确的是（ ）
A．做曲线运动的物体速度方向必定变化
B．速度变化的运动必定是曲线运动
C．加速度恒定的运动不可能是曲线运动
D．加速度变化的运动必定是曲线运动
解析：
选A 做曲线运动的物体速度大小不一定变化，但速度方向必定变化，A正确；速度变化的运动可能是速度方向在变，也可能是速度大小在变，不一定是曲线运动，B错误；加速度恒定的运动可能是匀变速直线运动，也可能是匀变速曲线运动，C错误；加速度变化的运动可能是变加速直线运动，也可能是变加速曲线运动，D错误。
2.（2016·苏州模拟）如图所示，一块橡皮用细线悬挂于O点，用铅笔靠着线的左侧向右上方45°方向匀速移动，运动中始终保持悬线竖直，则橡皮运动速度的（ ）
A．大小和方向均不变
B．大小不变，方向改变
C．大小改变，方向不变
D．大小和方向均改变
解析：
选A 橡皮同时参与两个方向的运动：
一个是水平方向的匀速直线运动，另一个是竖直方向的匀速直线运动，由于这两个方向上的分运动都是匀速直线运动，因此这两个运动的合运动也是匀速直线运动，即橡皮的速度大小和方向都保持不变，所以A正确。
3.质点仅在恒力F的作用下，由O点运动到A点的轨迹如图所示，在A点时速度的方向与x轴平行，则恒力F的方向可能沿（ ）
A．x轴正方向
B．x轴负方向
C．y轴正方向
D．y轴负方向
解析：
选D 质点的初速度沿y轴正方向的分速度到A点时减为零，说明质点受的恒力F有沿y轴负方向的分量，又知在A点时速度的方向与x轴平行，D正确。
4.如图所示，船从A处开出后沿直线AB到达对岸，若AB与河岸成37°角，水流速度为4m/s，则船从A点开出的最小速度为（ ）
A．2m/s B．2.4m/sC．3m/sD．3.5m/s
解析：
选B 如图所示，当v船⊥v合时，v船最小，v船＝v水sin37°＝2.4m/s，B正确。
5.如图所示，开始时A、B间的细绳呈水平状态，现由计算机控制物体A的运动，使其恰好以速度v沿竖直杆匀速下滑，经细绳通过定滑轮拉动物体B在水平面上运动，则下列vt图象中，最接近物体B的运动情况的是（ ）
解析：
选A 将与物体A相连的绳端速度v分解为沿绳伸长方向的速度v1和垂直于绳方向的速度v2，则物体B的速度vB＝v1＝vsinθ，在t＝0时刻θ＝0°，vB＝0，C项错误；之后随θ增大，sinθ增大，B的速度增大，但开始时θ变化快，速度增加得快，图线的斜率大，若绳和杆足够长，则物体B的速度趋近于A的速度，A项正确。
6．在一个光滑水平面内建立平面直角坐标系xOy，质量为1kg的物体原来静止在坐标原点O（0,0），t＝0时受到如图所示随时间变化的外力作用，图甲中Fx表示沿x轴方向的外力，图乙中Fy表示沿y轴方向的外力，下列描述正确的是（ ）
A．0～4s内物体的运动轨迹是一条直线
B．0～4s内物体的运动轨迹是一条抛物线
C．前2s内物体做匀加速直线运动，后2s内物体做匀加速曲线运动
D．前2s内物体做匀加速直线运动，后2s内物体做匀速圆周运动
解析：
选C 0～2s内物体沿x轴方向做初速度为零的匀加速直线运动，2s时受沿y轴方向的恒力作用，与速度方向垂直，故2～4s内物体做类平抛运动，C项正确。
二、多项选择题
7．（2016·海淀区模拟）如图所示，某同学在研究运动的合成时做了如图所示活动：
用左手沿黑板推动直尺竖直向上运动，运动中保持直尺水平，同时用右手沿直尺向右移动笔尖。
若该同学左手的运动为匀速运动，右手相对于直尺的运动为初速度为零的匀加速运动，则关于笔尖的实际运动，下列说法中正确的是（ ）
A．笔尖做匀速直线运动
B．笔尖做匀变速直线运动
C．笔尖做匀变速曲线运动
D．笔尖的速度方向与水平方向夹角逐渐变小
解析：
选CD 由题意知笔尖做匀变速曲线运动，A、B错误，C正确；笔尖的速度方向为合速度方向，右手沿水平方向的速度逐渐增大，则合速度方向与水平方向夹角逐渐变小，D正确。
8.如图所示，起重机将货物沿竖直方向以速度v1匀速吊起，同时又沿横梁以速度v2水平匀速向右运动，关于货物的运动下列表述正确的是（ ）
A．货物的实际运动速度大小为v1＋v2
B．货物的实际运动速度大小为
C．货物相对地面做曲线运动
D．货物相对地面做直线运动
解析：
选BD 货物的实际速度大小为，选项B正确，A错误；货物的速度大小和方向均不变，做直线运动，D正确，C错误。
9.如图所示，用一根长杆和两个定滑轮的组合装置来提升重物M，长杆的一端放在地上通过铰链连接形成转轴，其端点恰好处于左侧滑轮正下方O点处，在杆的中点C处拴一细绳，通过两个滑轮后挂上重物M。
C点与O点距离为L，现在杆的另一端用力使其逆时针匀速转动，由竖直位置以角速度ω缓慢转至水平（转过了90°角），此过程中下列说法正确的是（ ）
A．重物M做匀速直线运动
B．重物M做匀变速直线运动
C．重物M的最大速度是ωL
D．重物M的速度先增大后减小
解析：
选CD 与杆垂直的速度v是C点的实际速度，vx是细绳的速度，即重物M的速度。
vx与v的夹角是θ，vx＝vcosθ，开始时θ减小，则vx增大；当杆与细绳垂直（θ＝0）时，重物M的速度最大，为vmax＝ωL，然后再减小，C、D正确。
10．（2016·汕头模拟）一条河宽100m，船在静水中的速度为4m/s，水流速度是5m/s，则（ ）
A．该船能垂直河岸横渡到对岸
B．当船头垂直河岸横渡时，过河所用的时间最短
C．当船头垂直河岸横渡时，船的位移最小，是100m
D．该船渡到对岸时，船沿岸方向的位移可能小于100m
解析：
选BD 据题意，由于船速为v1＝4m/s，而水速为v2＝5m/s，即船速小于水速，则无论船头指向哪个方向，都不可能使船垂直驶向对岸，A错误；据t＝（θ为船头指向与水流方向的夹角），知道使t最小需要使sinθ最大，即使船头与河岸垂直，B正确；要使船的渡河位移最短，需要使船速方向与合运动方向垂直，则有合速度为v＝3m/s，渡河时间为t＝＝s，则船的合位移为vt＝125m，所以C错误；船的渡河位移最小时，船沿岸方向的位移为：
t＝75m，所以D正确。
三、计算题
11．直升机空投物资时，可以停留在空中不动，设投出的物资离开飞机后由于降落伞的作用在空中能匀速下落，无风时落地速度为5m/s。
若飞机停留在离地面100m高处空投物资，由于风的作用，可使降落伞和物资在水平方向产生1m/s的速度，求：
（1）物资在空中运动的时间；
（2）物资落地时速度的大小；
（3）物资在下落过程中水平方向移动的距离。
解析：
如图所示，物资的实际运动可以看成竖直方向的匀速直线运动和水平方向的匀速直线运动两个分运动的合运动。
（1）分运动与合运动具有等时性，故物资实际运动的时间与竖直方向分运动的时间相等，所以
t＝＝s＝20s
（2）物资落地时vy＝5m/s，vx＝1m/s
由平行四边形定则得
v＝＝m/s＝m/s
（3）物资在水平方向的位移大小为
x＝vxt＝1×20m＝20m
答案：
（1）20s
（2）m/s （3）20m
12．河宽l＝300m，水速u＝1m/s，船在静水中的速度v＝3m/s，欲分别按下列要求过河时，船头应与河岸成多大角度？
过河时间是多少？
（1）以最短时间过河；
（2）以最小位移过河；
（3）到达正对岸上游100m处。
解析：
（1）以最短时间渡河时，船头应垂直于河岸航行，即与河岸成90°角。
最短时间为
t＝＝s＝100s
（2）以最小位移过河时，船的实际航向应垂直河岸，即船头应指向上游河岸。
设船头与上游河岸夹角为θ，有
vcosθ＝u，
θ＝arccos＝arccos
sinθ＝＝
渡河时间为t＝
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