届高考数学考前回扣教材函数与导数.docx
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届高考数学考前回扣教材函数与导数
2017届高考数学考前回扣教材-函数与导数
回扣2 函数与导数1．函数的定义域和值域
（1）求函数定义域的类型和相应方法
①若已知函数的解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围；
②若已知f（x）的定义域为[a，b]，则f[g（x）]的定义域为不等式a≤g（x）≤b的解集；反之，已知f[g（x）]的定义域为[a，b]，则f（x）的定义域为函数＝g（x）（x∈[a，b]）的值域；
③在实际问题中应使实际问题有意义．
（2）常见函数的值域
①一次函数＝x＋b（≠0）的值域为R；
②二次函数＝ax2＋bx＋（a≠0）：
a>0时，值域为4a－b24a，＋∞，a<0时，值域为－∞，4a－b24a；
③反比例函数＝x（≠0）的值域为{∈R|≠0}．
2．函数的奇偶性、周期性
（1）奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x（定义域关于原点对称），都有f（－x）＝－f（x）成立，则f（x）为奇函数（都有f（－x）＝f（x）成立，则f（x）为偶函数）．
（2）周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f（x），如果对于定义域内的任意一个x的值：
若f（x＋T）＝f（x）（T≠0），则f（x）是周期函数，T是它的一个周期．
3．关于函数周期性、对称性的结论
（1）函数的周期性
①若函数f（x）满足f（x＋a）＝f（x－a），则f（x）为周期函数，2a是它的一个周期．
②设f（x）是R上的偶函数，且图象关于直线x＝a（a≠0）对称，则f（x）是周期函数，2a是它的一个周期．
③设f（x）是R上的奇函数，且图象关于直线x＝a（a≠0）对称，则f（x）是周期函数，4a是它的一个周期．
（2）函数图象的对称性
①若函数＝f（x）满足f（a＋x）＝f（a－x），
即f（x）＝f（2a－x），
则f（x）的图象关于直线x＝a对称．
②若函数＝f（x）满足f（a＋x）＝－f（a－x），
即f（x）＝－f（2a－x），
则f（x）的图象关于点（a,0）对称．
③若函数＝f（x）满足f（a＋x）＝f（b－x），
则函数f（x）的图象关于直线x＝a＋b2对称．
4．函数的单调性
函数的单调性是函数在定义域上的局部性质．
①单调性的定义的等价形式：
设x1，x2∈[a，b]，
那么（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]>0⇔fx1－fx2x1－x2>0⇔f（x）在[a，b]上是增函数；
（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]<0⇔fx1－fx2x1－x2<0⇔f（x）在[a，b]上是减函数．
②若函数f（x）和g（x）都是减函数，则在公共定义域内，f（x）＋g（x）是减函数；若函数f（x）和g（x）都是增函数，则在公共定义域内，f（x）＋g（x）是增函数；根据同增异减判断复合函数＝f[g（x）]的单调性．
．函数图象的基本变换
（1）平移变换：
＝f（x）――→h>0，右移h<0，左移＝f（x－h），
＝f（x）――→>0，上移<0，下移＝f（x）＋
（2）伸缩变换：
＝f（x）――→0<ω<1，伸ω>1，缩＝f（ωx），
＝f（x）――→0<A<1，缩A>1，伸＝Af（x）．
（3）对称变换：
＝f（x）――→x轴＝－f（x），
＝f（x）――→轴＝f（－x），
＝f（x）――→原点＝－f（－x）．
6．准确记忆指数函数与对数函数的基本性质
（1）定点：
＝ax（a>0，且a≠1）恒过（0,1）点；
＝lgax（a>0，且a≠1）恒过（1,0）点．
（2）单调性：
当a>1时，＝ax在R上单调递增；＝lgax在（0，＋∞）上单调递增；
当0<a<1时，＝ax在R上单调递减；＝lgax在（0，＋∞）上单调递减．
7．函数与方程
（1）零点定义：
x0为函数f（x）的零点⇔f（x0）＝0⇔（x0,0）为f（x）的图象与x轴的交点．
（2）确定函数零点的三种常用方法
①解方程判定法：
即解方程f（x）＝0
②零点定理法：
根据连续函数＝f（x）满足f（a）f（b）<0，判断函数在区间（a，b）内存在零点．
③数形结合法：
尤其是方程两端对应的函数类型不同时多用此法求解．
8．导数的几何意义
（1）f′（x0）的几何意义：
曲线＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线的斜率，该切线的方程为－f（x0）＝f′（x0）（x－x0）．
（2）切点的两大特征：
①在曲线＝f（x）上；②在切线上．
9．利用导数研究函数的单调性
（1）求可导函数单调区间的一般步骤：
①求函数f（x）的定义域；②求导函数f′（x）；③由f′（x）>0的解集确定函数f（x）的单调增区间，由f′（x）<0的解集确定函数f（x）的单调减区间．
（2）由函数的单调性求参数的取值范围：
①若可导函数f（x）在区间上单调递增，则f′（x）≥0（x∈）恒成立；若可导函数f（x）在区间上单调递减，则f′（x）≤0（x∈）恒成立；②若可导函数在某区间上存在单调递增（减）区间，f′（x）>0（或f′（x）<0）在该区间上存在解集；③若已知f（x）在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f（x）的单调区间，则I是其单调区间的子集．
10．利用导数研究函数的极值与最值
（1）求函数的极值的一般步骤：
①确定函数的定义域；②解方程f′（x）＝0；③判断f′（x）在方程f′（x）＝0的根x0两侧的符号变化：
若左正右负，则x0为极大值点；
若左负右正，则x0为极小值点；
若不变号，则x0不是极值点．
（2）求函数f（x）在区间[a，b]上的最值的一般步骤：
①求函数＝f（x）在（a，b）内的极值；
②比较函数＝f（x）的各极值与端点处的函数值f（a）、f（b）的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．1．解决函数问题时要注意函数的定义域，要树立定义域优先原则．
2．解决分段函数问题时，要注意与解析式对应的自变量的取值范围．
3．求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“及”连接或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替．
4．判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响．
．准确理解基本初等函数的定义和性质．如函数＝ax（a>0，a≠1）的单调性忽视字母a的取值讨论，忽视ax>0；对数函数＝lgax（a>0，a≠1）忽视真数与底数的限制条．
6．易混淆函数的零点和函数图象与x轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化．
7．已知可导函数f（x）在（a，b）上单调递增（减），则f′（x）≥0（≤0）对∀x∈（a，b）恒成立，不能漏掉“＝”号，且需验证“＝”不能恒成立；而已知可导函数f（x）的单调递增（减）区间为（a，b），则f′（x）＞0（＜0）的解集为（a，b）．
8．f′（x）＝0的解不一定是函数f（x）的极值点．一定要检验在x＝x0的两侧f′（x）的符号是否发生变化，若变化，则为极值点；若不变化，则不是极值点．1．若函数f（x）＝2x＋2，x≤0，2x－4，x>0，则f[f
（1）]等于（ ）
A．－10B．10．－2D．2
答案
解析 由f[f
（1）]＝f（21－4）＝f（－2）＝2×（－2）＋2＝－2，故选
2．若函数f（x）＝x2－12lnx＋1在其定义域内的一个子区间（－1，＋1）内不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A．[1，＋∞）B．[1，32）
．[1,2）D．[32，2）
答案 B
解析 因为f（x）的定义域为（0，＋∞），′＝2x－12x，
由f′（x）＝0，得x＝12利用图象可得，
－1<12<＋1，－1≥0，解得1≤<32，故选B
3．若函数f（x）＝3－ax－3，x≤7，ax－6，x>7单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．（94，3）B．[94，3）
．（1,3）D．（2,3）
答案 D
解析 因为函数f（x）＝3－ax－3，x≤7，ax－6，x>7单调递增，所以1<a<3且由f（7）<f（8）得，7（3－a）－3<a2，解得a<－9或a>2，所以实数a的取值范围是（2,3），故选D
4．函数＝x•2x|x|的图象大致形状是（ ）答案 A
解析 ＝2x，x>0，－2x，x<0，
＝2x在（0，＋∞）上单调递增，且＝2x＞0，
排除B，D；
又＝－2x在（－∞，0）上单调递减，排除
．（2016•标全国甲）下列函数中，其定义域和值域分别与函数＝10lgx的定义域和值域相同的是（ ）
A．＝xB．＝lgx．＝2xD．＝1x
答案 D
解析 函数＝10lgx的定义域为{x|x>0}，值域为{|>0}，所以与其定义域和值域分别相同的函数为＝1x，故选D
6．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x＋2）＝－f（x），且f（－1）＝2，则f（2017）的值是（ ）
A．2B．0．－1D．－2
答案 D
解析 由题意得f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），所以函数是以T＝4的周期函数，所以f（2017）＝f
（1）＝－f（－1）＝－2，故选D
7．已知函数f（x）＝1x－lg3x，若x0是函数＝f（x）的零点，且0＜x1＜x0，则f（x1）的值（ ）
A．恒为正值B．等于0
．恒为负值D．不大于0
答案 A
解析 由题意知f（x）为（0，＋∞）上的减函数，
又f（x0）＝0，x1＜x0，
∴f（x1）＞f（x0）＝0，故选A
8．设a＝lg32，b＝lg2，＝lg23，则（ ）
A．a>>bB．b>>a
．>b>aD．>a>b
答案 D
解析 易知lg23>1，lg32，lg2∈（0,1）．在同一平面直角坐标系中画出函数＝lg3x与＝lgx的图象，观察可知lg32>lg2所以>a>b比较a，b的其他解法：
lg32>lg33＝12，lg2<lg＝12，得a>b；0<lg23<lg2，所以1lg23>1lg2，结合换底公式得lg32>lg2，即a＞b
9．若函数f（x）定义域为[－2,2]，则函数＝f（2x）•ln（x＋1）的定义域为________．
答案 （－1,1]
解析 由题意可得－2≤2x≤2，x＋1>0，∴－1<x≤1，
即函数＝f（2x）•ln（x＋1）的定义域为（－1,1]．
10．（2016•天津）已知函数f（x）＝（2x＋1）ex，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（0）的值为________．
答案 3
解析 因为f（x）＝（2x＋1）ex，
所以f′（x）＝2ex＋（2x＋1）ex＝（2x＋3）ex，
所以f′（0）＝3e0＝3
11．设奇函数＝f（x）（x∈R），满足对任意t∈R都有f（t）＝f（1－t），且x∈[0，12]时f（x）＝－x2，则f（3）＋f（－32）的值等于________．
答案 －14
解析 由于＝f（x）为奇函数，根据对任意t∈R都有f（t）＝f（1－t），
可得f（－t）＝f（1＋t），
所以函数＝f（x）的一个周期为2，
故f（3）＝f
（1）＝f（0＋1）＝－f（0）＝0，
f（－32）＝f（12）＝－14，
∴f（3）＋f（－32）＝－14
12．函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极小值10，则a＋b的值为________．
答案 －7
解析 ∵f′（x）＝3x2＋2ax＋b，
由已知可得f′1＝3＋2a＋b＝0，f1＝1＋a＋b＋a2＝10，
解得a＝4，b＝－11或a＝－3，b＝3，
经验证，a＝4，b＝－11符合题意，
故a＋b＝－7
13．已知函数f（x）＝x＋1ex（e为自然对数的底数）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设函数φ（x）＝xf（x）＋tf′（x）＋1ex，存在实数x1，x2∈[0,1]，使得2φ（x1）<φ（x2）成立，求实数t的取值范围．
解
（1）∵函数的定义域为R，f′（x）＝－xex，
∴当x<0时，f′（x）>0，当x>0时，f′（x）<0，
∴f（x）在（－∞，0）上单调递增，
在（0，＋∞）上单调递减．
（2）存在x1，x2∈[0,1]，使得2φ（x1）<φ（x2）成立，
则2[φ（x）]in<[φ（x）]ax
∵φ（x）＝xf（x）＋tf′（x）＋e－x＝x2＋1－tx＋1ex，
∴φ′（x）＝－x2＋1＋tx－tex＝－x－tx－1ex
①当t≥1时，φ′（x）≤0，φ（x）在[0,1]上单调递减，
∴2φ
（1）<φ（0），即t>3－e2>1；
②当t≤0时，φ′（x）>0，φ（x）在[0,1]上单调递增，
∴2φ（0）<φ
（1），即t<3－2e<0；
③当0<t<1时，若x∈[0，t），φ′（x）<0，φ（x）在[0，t）上单调递减，
若t∈（t,1]，φ′（x）>0，φ（x）在（t,1）上单调递增，
∴2φ（t）<ax{φ（0），φ
（1）}，
即2•t＋1et<ax{1，3－te}．（*）
由
（1）知，g（t）＝2•t＋1et在[0,1]上单调递减，
故4e≤2•t＋1et≤2，而2e≤3－te≤3e，
∴不等式（*）无解．
综上所述，存在t∈（－∞，3－2e）∪（3－e2，＋∞），使得命题成立．
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