第一讲有理数+例题+练习.docx
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第一讲有理数+例题+练习
第一讲有理数
(一)
姓名:
____________
【知识概括】
知识点一:
正数和负数
正数:
大于零的数
负数:
小于零的数(在正数前面加上负号“—”的数)
注意:
(1)0既不是正数也不是负数,它是正负数的分界点
知识窗口:
我们习惯上把向东、向北、上升、盈利、运进、增加、收入、高于海平面等等规定为正,把相反意义的量规定为负。
知识点二:
有理数
有理数的分类
按定义分按性质符号分
注意:
1、有理数只包括整数和分数,无限不循环小数不是有理数,如圆周率就不是有理数了。
2、0是整数不是分数
知识点三:
数轴(重点)
定义:
规定了原点、正方向、单位长度的直线
数轴的含义:
(1)数轴是一条直线,可以向两边无限延伸
(2)数轴的三要素:
原点、正方向、单位长度、这三者缺一不可
(3)数轴一般取右(或向上)为正方向,数轴的原点的选定,正方向的取向,单位长度大小的确定都是根据实际需要规定的。
(4)同一数轴的单位长度必须一致
注意:
在数轴上求任意两点a、b的距离L,则有公式
。
知识点四:
相反数(重点)
定义:
只有符号不同的两个数叫做相反数。
(在数轴上分别位于原点的两侧,到原点的距离相等的两个点所表示的数叫做互为相反数。
)
求一个数的相反数,只要在这个数的前面添上“-”号即可。
相反数的表示方法及多重符号的化简:
(1)
(2)多重符号的化简:
同号得正,异号得负。
如-(-8)=8,-(+8)=-8
知识点五:
倒数
倒数:
乘积为1的两个数互为倒数。
负倒数:
乘积为-1的两个数互为负倒数。
知识点六:
绝对值
绝对值的定义:
数轴上表示a的点与原点的距离叫做a的绝对值,记为∣a∣,读作:
a的绝对值
因为数的绝对值是表示两点之间的距离,所以一个数的绝对值不可能是负数。
即:
任何数的绝对值都是正数(0的绝对值是0)
绝对值的代数定义:
1)一个正数的绝对值是它本身
2)一个负数的绝对值是它的相反数
3)0的绝对值是0
绝对值的计算规律:
互为相反数的两个数的绝对值相等
若
,则a=b或a=-b;
若
知识点七:
有理数的大小比较
(1)正数大于0,0大于负数,正数大于负数
(2)两个负数,绝对值大的反而小
【经典例题】
题组一正、负数
【例1】用正数和负数表示相反意义的量
(1)、收入1000和支出50元
(2)、向北走30米和向南走15米
(3)、节约8吨水和浪费3吨水
练习:
⑴下列各组量中,具有相反意义的量是()
A.节约汽油10升和浪费粮食B.向东走8公里和向北走8公里
C.收入300元和支出100元D.身高1.8米和身高0.9米
⑵如果零上
记作
,那么零下
记作()
A.-5B.-10C.
D.
⑶如果水位升高4m时水位变化记为+4m,那么水位下降3m记作___,水位不升不降时水位变化记为____m
⑷甲乙两地的海拔高度分别为200米,-150米,那么甲地比乙地高出()
A.200米B.50米C.300米D.350米
【例2】一种零件的长度在图纸上是
米,表示这种零件加工要求最大不超过_______,最小不小于_____.
练习:
某饮料公司生产的一种瓶装饮料外包装上印有“
”字样,请问“
”是什么意思?
质监局对该产品抽查3瓶,容量分别为
,问抽查产品的容量是否合格?
【例3】下面是某条河流在一周内的水位变化情况:
星期
一
二
三
四
五
六
七
水位变化(单位米)
+0.01
+0.4
-0.25
-0.1
+0.05
+0.25
-0.1
在此表中,正数表示当天水位比前一天上升了,且上周日水位是50米。
(1)哪天水位最高?
哪天水位最低?
分别是多少米?
(2)与上周日相比,本周日水位是上升了还是下降了?
上升(或下降)了多少?
【例4】把下列各数填在相应的括号里:
-7,
,2003,0,-
,+8.4,-5%,-0.0103,-0.
整数集合:
……
负数集合:
……
非负整数集合:
……
负分数集合:
……
有理数集合:
……
练习:
把下列各数填入表示它所在的数集的圈里:
-
,0.618,-3.14,260,-2001,
,-0.
,-10%
整数集分数集负数集有理数集
【拓展训练】
1、观察下面依次排列的一列数,它的排列有什么规律?
你能接着写出后面的数吗?
(1)1,-1,1,-1,1,-1,,,,……(第100个),__(第101个),……___________(第200个),……
(2)1,-2,3,-4,5,-6,,,,……(第100个),(第101个),……(第200个),……
(3)-1,
,-
,
,-
,
,,,,……(第100个),(第101个),……(第200个),……
题组二数轴、相反数
【例1】在数轴上表示下列各有理数并比较有理数的大小:
-4-21-
3.52
0
练习:
⑴画出数轴,在数轴上表示下列各数,并把数用“<”连接。
⑵在数轴上,一个点从原点开始,先向右移动了2个单位长度,再向左移动3个单位长度,最终达到终点,此时这个点表示的数是()
A.5B.1C.-1D.-5
⑶数轴上的点A、B分别表示数-3和1,点C是AB的中点,则点C所表示的数是_______.
⑷如图所示,数轴的一部分被墨水污染了,被污染的部分内含有的整数为____.
【例2】
⑴数轴上点A对应的数为-3,那么与A相距1个单位长度的点B所对应的数是____。
练习:
1.与原点距离为2个单位的点对应的有理数为.
2.M点在数轴上表示-4,N点离M的距离是3,那么N点表示()
【例3】已知数轴上两点M,N,他们分别表示互为相反数的两个数m,n(其中m>n),
并且M,N两点间的距离是8,求m,n的值。
练习:
一个数在数轴上所对应的点向右移动5个单位长度后得到它的相反数对应的点,则这个数是( )
拓展训练:
数轴上的点A对应的数是-1,一只蚂蚁从A点出发沿着数轴向右以每秒3个单位长度的速度爬行至B点后,用2秒的时间吃光了B点处的蜜糖,又沿着原路返回A点,共用去6秒,则蚂蚁爬行的路程是几个单位长度?
B点与A点的距离是多少个单位长度?
B点对应数是多少?
题组三绝对值
【例1】
1、7的相反数是(),-6的绝对值等于(),-3的倒数是()
2、绝对值是2的数是()
3、如果a<0,化简下列各数的符号,并说出是正数还是负数。
①-(+a);②-(-a);
4、绝对值不大于3的整数有_____。
绝对值大于2而小于5的负整数是____
练习:
1、-5的相反数是(),-4的绝对值等于(),-7的倒数是(),一个数的绝对是1,那么这个数是()
2、化简下列各数符号-|-1.5|-[+(-a)]-[-(-a)]-{+[-(-a)]}
3、绝对值小于3.1的整数有哪些?
它们的和为多少?
4,、下列说法正确的是()
A.符号相反的数互为相反数
B.任何有理数都有倒数
C.最小的自然数是1
D.一个数的绝对值越大,表示它的点在数轴上离原点越远
5、下列正确的是()
A.一个数的相反数一定是负数B.
和-3.14互为相反数
C.所有的有理数都有相反数D.13和31互为相反数
【例2】1、有理数a与b满足|a|>|b|,则下面哪个答案正确()
A.a>bB.a=bC.a2、若ab<|ab|,则下列结论错误的是()
A.a<0,b<0B.a>0,b<0C.a<0,b>0D.ab<0
练习:
1、若a>b,且|a|<|b|,则下面判断正确的是()
A.a<0B.a>0C.b<0D.b>0
2、已知a、b为有理数,且a<0,b>0,|b|<|a|,则a、b、-a、-b的大小关系是( )
A.-b<a<b<-aB.-b<b<-a<a
C.a<-b<b<-aD.-a<b<-b<a
【例3】设a,b是有理数,则|a+b|+9有最小值还是最大值?
其值是多少?
练习;设a,b是有理数,则-8-|a-b|是有最大值还是最小值?
其值是多少?
【例4】|x-2|+|y-2|=0,求xy=____;|x|=-|y-7|,则xy=___。
练习:
(1)若3|x-2|+|y+3|=0,则x+y的值是多少?
(2)若|x+3|+(y-1)
=0,求的xy的值
【例5】若a、b互为相反数,c、d互为负倒数,m的绝对值为2,求
【例6】|x|=4,|y|=6,求代数式|x+y|的值
练习:
1如果x,y表示有理数,且x,y满足条件|x|=5,|y|=2,|x-y|=y-x,那么x+y的值是多少?
2、若已知a与b互为相反数,且|a-b|=4,求
的值
【例7】解方程:
(1)
(2)|4x+8|=12
练习:
1、|3x+2|=-1
|8-x|-26=0
2.已知|x-1|=2,|y|=3,且x与y互为相反数,求
的值
【例8】有理数a,b,c在数轴上对应点如图所示,化简|b+a|+|a+c|+|c-b|
练习:
1、已知a,b,c在数轴上的位置如图所示,化简|a|+|c-b|+|a-c|+|b-a|
2、若-2≤a≤0,化简|a+2|+|a-2|
3、如果0
【家庭作业】
一、选择题。
1.正整数集合和负整数集合合在一起,构成数的集合是()
A.整数集合B.有理数集合
C.自然数集合D.非零整数集合
2.下列说法:
(1)零是正数;
(2)零是整数;(3)零是最小的有理数;
(4)零是非负数;(5)零是偶数。
其中正确说法的个数为()
A.2B.3C.4D.5
3.下列说法正确的是()
A.有理数是指整数、分数、正有理数、零、负有理数这五类数
B.一个有理数不是正数就是负数
C.一个有理数不是整数就是分数
D.以上说法都正确
4.在0,l,
,
这四个数中,是负整数的是()
A.0B.1C.
D.
5.图1-13中表示数轴的是( )
6、在数轴上表示
的点离开原点的距离等于()
A.2B.
C.
D.
7、
为数轴上表示
的点,将
点沿数轴向左移动
个单位长度到
点,则
点所表示的数为()
A.
B.
C.
D.
或
8、2008年8月第29届奥运会将在北京开幕,5个城市的国标标准时间(单位:
时)在数轴上表示如图所示,那么北京时间2008年8月8日20时应是( )
A.伦敦时间2008年8月8日11时
B.巴黎时间2008年8月8日13时
C.纽约时间2008年8月8日5时
D.汉城时间2008年8月8日19时
9、如图,数轴上A、B两点所表示的两数的()
A.和为正数B.和为负数C.积为正数D.积为负数
10、如图,若A是实数a在数轴上对应的点,则关于a,-a,1的大小关系表示正确的是()
A.a<1<-aB.a<-a<1
C.1<-a<aD.-a<a<1
二、解答
1.设向东走为正,向东30米,记作____________,向西走20米记作___________,原地不动记作______________,记作-25米表示向______________走25米,记作+16米表示向_____________走16米。
2.已知|m+3|+|n-
|+|2p-1|=0,求p+2m+3n的值
3.若|a|=1,|b|=2,|c|=3,且a>b>c,那么a+b-c=______
4.解方程:
|4x-5|=8