届人教B版理科数学利用导数研究函数的单调性单元测试.docx

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届人教B版理科数学利用导数研究函数的单调性单元测试

十四

利用导数研究函数的单调性

一、选择题（每小题5分,共25分）

1.已知函数f（x）=-x3+ax2-x-1在（-∞,+∞）上是单调减函数,则实数a的取值范围是（　　）

A.（-∞,-∪[,+∞）

B.（-∞,-）∪（,+∞）

C.[-,

D.（-,）

【解析】选C.函数f（x）=-x3+ax2-x-1的导数为f′（x）=-3x2+2ax-1,因为函数f（x）在（-∞,+∞）上是单调减函数,所以在（-∞,+∞）上f′（x）≤0恒成立,即-3x2+2ax-1≤0恒成立,Δ=4a2-12≤0,解得-≤a≤.所以实数a的取值范围是[-,.

2.（2017·浙江高考）函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示,则函数y=f（x）的图象可能是（　　）

【解析】选D.由导函数的图象可知函数在（-∞,0）上是先减后增,在（0,+∞）上是先增后减再增,故选D.

【变式备选】若f（x）=-（x-2）2+blnx在（1,+∞）上是减函数,则b的取值范围是

（　　）

A.[-1,+∞）B.（-1,+∞）

C.（-∞,-1D.（-∞,-1）

【解析】选C.由题意可知f′（x）=-（x-2）+≤0在x∈（1,+∞）上恒成立,即b≤x（x-2）在x∈（1,+∞）上恒成立,由于φ（x）=x（x-2）=x2-2x在（1,+∞）上的值域是（-1,+∞）,故只要b≤-1即可.

3.已知函数f（x）=x2+2cosx,若f′（x）是f（x）的导函数,则函数f′（x）的图象大致是（　　）

【解析】选A.因为f（x）=x2+2cosx,所以f′（x）=2x-2sinx=2（x-sinx）.

设g（x）=2（x-sinx）,则g′（x）=2（1-cosx）≥0,所以f′（x）为增函数.

【变式备选】（2018·合肥模拟）定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x）,已知函数y=2f′（x）的图象如图所示,则函数y=f（x）的单调递减区间为（　　）

A.（1,+∞）B.（1,2）

C.（-∞,2）D.（2,+∞）

【解析】选D.结合题干图可知,

当x∈（-∞,2时,2f′（x）≥1,即f′（x）≥0;

当x∈（2,+∞）时,2f′（x）<1,即f′（x）<0;

故函数y=f（x）的单调递减区间为（2,+∞）.

4.已知f（x）是定义域,值域都为（0,+∞）的函数,满足2f（x）+xf′（x）>0,则下列不等式正确的是（　　）

A.2019f（2019）>2018f（2018）

B.2019f（2019）<2018f（2018）

C.20182f（2018）<20192f（2019）

D.20182f（2018）>20192f（2019）

【解析】选C.构造函数g（x）=x2f（x）,当x>0时,g′（x）=2xf（x）+x2f′（x）>0,

所以g（x）在（0,+∞）上单调递增,

所以20182f（2018）<20192f（2019）.

【变式备选】（2018·抚州模拟）若函数f（x）=x+alnx不是单调函数,则实数a的取值范围是（　　）

A.[0,+∞）B.（-∞,0

C.（-∞,0）D.（0,+∞）

【解析】选C.由题意知x>0,f′（x）=1+,要使函数f（x）=x+alnx不是单调函数,则需方程1+=0在x>0上有解,即x=-a,所以a<0.

5.（2018·昆明模拟）已知函数f（x）=xsinx+cosx+x2,则不等式f（lnx）　+f<2f

（1）的解集为（　　）

A.（e,+∞）B.（0,e）

C.∪（1,e）D.

【解析】选D.函数f（x）=xsinx+cosx+x2的导数为f′（x）=sinx+xcosx-

sinx+2x=x（2+cosx）,

则x>0时,f′（x）>0,f（x）单调递增,

且f（-x）=（-x）sin（-x）+cos（-x）+（-x）2=f（x）,

所以f（x）为偶函数,即有f（x）=f（|x|）,

则不等式f（lnx）+f<2f

（1）,

即为f（lnx）

（1）

即为f（|lnx|）

（1）,

则|lnx|<1,即-1

二、填空题（每小题5分,共15分）

6.函数f（x）=lnx-x2+x的单调增区间为________. 

【解析】因为f（x）=lnx-x2+x,所以f′（x）=-x+1=,x∈（0,+∞）,由f′（x）>0,得0

答案:

7.已知向量a=,b=（1,t）,若函数f（x）=a·b在区间（-1,1）上存在增区间,则t的取值范围为________. 

【解析】f（x）=a·b=ex+-tx,x∈（-1,1）,

f′（x）=ex+x-t,函数f（x）在（-1,1）上存在增区间,所以f（x）在（-1,1）的子区间（x1,x2）上单调递增,故ex+x≥t,当x∈（x1,x2）时恒成立,又因为-1

答案:

（-∞,e+1）

8.（2018·兰州模拟）已知函数f（x）（x∈R）满足f

（1）=1,且f（x）的导函数f′（x）<,则f（x）<+的解集为________. 

【解题指南】根据条件,构造函数g（x）=f（x）--,求函数的导数,利用函数的单调性即可得到结论.

【解析】设g（x）=f（x）--,则函数g（x）的导数g′（x）=f′（x）-,

因为f（x）的导函数f′（x）<,

所以g′（x）=f′（x）-<0,

则函数g（x）单调递减,

因为f

（1）=1,

所以g

（1）=f

（1）--=1-1=0,

则不等式f（x）<+,等价为g（x）<0,

即g（x）

（1）,则x>1,

即f（x）<+的解集为{x|x>1}.

答案:

{x|x>1}

三、解答题（每小题10分,共20分）

9.（2018·武威模拟）已知函数f（x）=x3+ax2+bx（a,b∈R）的图象过点P（1,-11）,且在点P处的切线斜率为-12.

（1）求a,b的值.

（2）求函数f（x）的单调区间.

【解析】

（1）因为函数f（x）的图象过点P（1,-11）,所以f

（1）=-11.所以a+b=-12.①

又函数图象在点P处的切线斜率为-12,

所以f′

（1）=-12,又f′（x）=3x2+2ax+b,所以2a+b=-15.②

解由①②组成的方程组,可得a=-3,b=-9.

（2）由

（1）得f′（x）=3x2-6x-9,令f′（x）>0,可得x<-1或x>3;令f′（x）<0,可得-1

10.（2018·张掖模拟）已知函数f（x）=ex+-1（a∈R且a为常数）.

（1）当a=-1时,讨论函数f（x）在（-1,+∞）的单调性.

（2）设y=t（x）可求导数,且它的导函数t′（x）仍可求导数,则t′（x）再次求导所得函数称为原函数y=t（x）的二阶导函数,记为t″（x）,利用二阶导函数可以判断一个函数的凹凸性.一个二阶可导的函数在区间[a,b上是凸函数的充要条件是这个函数在（a,b）的二阶导函数非负.若g（x）=（x+1）[f（x）+1+x2在（-∞,-1）不是凸函数,求a的取值范围.

【解析】

（1）f′（x）=ex-,令f′（x）=ex-=0,得x=0.设r（x）=ex-,则r′（x）=ex+.当x>-1时,r′（x）>0,r（x）在（-1,+∞）上是单调增函数,故x=0是r（x）在（-1,+∞）内的唯一零点,即x=0是f′（x）在（-1,+∞）内的唯一零点.所以当-10时,f′（x）>0,即f（x）在（0,+∞）上是单调增函数.

（2）g（x）=（x+1）[f（x）+1+x2

=（x+1）ex+x2+ax,

g′（x）=（x+2）ex+2x+a,

g″（x）=（x+3）ex+2.

如果g（x）在（-∞,-1）是凸函数,那么∀x∈（-∞,-1）,都有g″（x）≥0.

g″（x）≥0⇒a≥-（x+3）ex.令h（x）=-（x+3）ex,即得h′（x）=-（x+4）ex.

令h′（x）=0⇒x=-4,当x<-4时,h′（x）>0;当-4

即h（x）在（-∞,-4）单调递增,在（-4,-1）单调递减,所以h（x）≤h（-4）=e-4,

即a≥e-4,又g（x）在（-∞,-1）不是凸函数,所以a∈（-∞,e-4）.

1.（5分）已知f（x）在R上可导,且f（x）=x2+2xf′

（2）,则f（-1）与f

（1）的大小关系是（　　）

A.f（-1）=f

（1）B.f（-1）>f

（1）

C.f（-1）

（1）D.不确定

【解析】选B.因为f（x）=x2+2xf′

（2）,所以f′（x）=2x+2f′

（2）,令x=2,解得f′

（2）=-4,所以f′（x）=2x-8,当x<4时,f′（x）<0,f（x）在（-∞,4）上单调递减,所以f（-1）>f

（1）.

2.（5分）（2017·山东高考）若函数g（x）=exf（x）（e=2.71828…是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增,则称f（x）具有M性质,下列函数中具有M性质的是

（　　）

A.f（x）=2-xB.f（x）=x2

C.f（x）=3-xD.f（x）=cosx

【解析】选A.A中,g（x）=ex2-x=,因为>1,所以g（x）单调递增,所以f（x）具有M性质,满足题意.

B中,g（x）=e2,则g′（x）=e（x+2）,所以g（x）在（-2,0）上单调递减,所以f（x）不具有M性质,不满足题意;

C中,g（x）=ex3-x=,因为0<<1,所以g（x）单调递减,所以f（x）不具有M性质,不满足题意;

D中,g（x）=excosx,则g′（x）=ex（cosx-sinx）,所以g（x）在上单调递减,所以f（x）不具有M性质,不满足题意.

【变式备选】已知f（x）的定义域为（0,+∞）,f′（x）为f（x）的导函数,且满足f（x）<-xf′（x）,则不等式f（x+1）>（x-1）·f（x2-1）的解集是（　　）

A.（0,1）B.（1,+∞）

C.（1,2）D.（2,+∞）

【解析】选D.因为f（x）+xf′（x）<0,

所以（xf（x））′<0,即xf（x）在（0,+∞）上为减函数,

又因为（x+1）f（x+1）>（x2-1）·f（x2-1）,所以02.

3.（5分）（2018·绵阳模拟）定义在R上的函数f（x）满足f

（1）=1,且对任意x∈R都有f′（x）<,则不等式f（x2）>的解集为________. 

【解析】设g（x）=f（x）-,g

（1）=f

（1）-=1-1=0,g′（x）=f′（x）-,因为对任意x∈R,都有f′（x）<,所以g′（x）<0即g（x）为实数集上的减函数.不等式f（x2）>,即为g（x2）>0=g

（1）.则x2<1,解得-1

答案:

（-1,1）

4.（12分）（2015·重庆高考）已知函数f（x）=ax3+x2（a∈R）在x=-处取得极值.

（1）确定a的值.

（2）若g（x）=f（x）ex,讨论g（x）的单调性.

【解析】

（1）对f（x）求导得f′（x）=3ax2+2x.

因为f（x）在x=-处取得极值,

所以f′=3a·+2·=-=0