数学习题八年级上天府前沿.docx
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数学习题八年级上天府前沿
数学习题八年级上天府前沿
P49天府前沿
14、如图,在平行四边形ABCD中,点E在AD上,以BE为折痕,将三角形ABE向上翻折,点A正好落在CD上的点F处,若三角形FDE的周长为8,三角形FCB的周长为22,求FC的长。
答:
因为折叠,EF=AE,BF=AB,
所以DF+FC=DC=AB=FB
(1), DE+EF=DE+EA=DA=CB
(2)
(1)+
(2)得DF+DE+EF=FB+CB-FC
DF+DE+EF=8,
FB+CB-FC=(FB+FC+CB)-2FC=22
所以-2FC=8-22
FC=7
P49页
15、如图,已知在平行四边形ABCD中,AB=二分之一BC,延长AB至F,使BF=AB,再延长BA至E,使AE=BA,请你判断EC与FD的位置关系,并说明理由。
答:
EC交AD于M,FD交BC于N,AE=AB=BF=CD,内错角相等,据角边角定理,三角形AEM≌三角形DMC
三角形BFN≌三角形DCN∴AM=DMBN=NCM,N分别为AB,BC的中点,连接MN
∵AB=1/2BC∴MD=DC=NC=MN
四边形MNCD为棱形,MC,ND为对角线,MC垂直ND
所以EC垂直FD
P53页
13、如图,在梯形ABCD中,AD//BC,AD=6,BC=16,E是BC的中点,点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发,沿AD向点D运动;点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发,沿CB向点B运动,点P停止运动时,点Q也随之停止运动,当运动时间为()秒时,以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形。
答:
AP=t,PD=6-t
CQ=2t
1.EQ=8-2t
PD=EQ
6-t=8-2t
t=2s
2.EQ=2t-8
6-t=2t-8
3t=14
t=14/3s(∵14/3<18/3=6,∴此时P未到D点,成立)
∴当t=2秒时,PDQE是平行四边形
当t=14/3秒时,PDEQ是平行四边形
14、如图,已知三角形ABC是等边三角形,D、E分别在边BC、AC上,且CD=CE,连接DE并延长至点F,使EF=AE,连接AF、BE和CF。
(1)求证三角形BDE全等于三角形FEC;
(2)判断四边形ABDF是怎样的四边形,并说明理由
(1)三角形ABD≌三角形ACD≌三角形AFD
(2)四边形ABDF是平行四边形
因为CD=CE,角ACB=60,所以三角形CDE为全等三角形。
因为EF=AE,角AEF等于60度,所以三角形AEF为全等三角形,
AE=AC-CE,BD=BC-DC,所以BD=AF,
在三角形BDE和三角形FCE中,角BDE=180-60=120,角CEF=180-60=120,
DE=CE,BD=AF=EF,所以三角形BDE和三角形FCE全等。
因三角形ABC是等边三角形,角CBA等于60度;又角CDF等于60度,所以DF//AB,又DF=AE,三角形DCE是等边三角形,所以EF+DE=AE+EC=AC=AB,
即DF=AB,故四边形ABDF是平行四边形。
15、请用两种方法解答:
如图:
CD为直角三角形ABC斜边AB上的高,AE平分角BAC,并交CD于点E,过E点作EF//AB,并交BC于F点,求证:
CE=BF。
方法一:
证:
过E作EG平行BC交AB于点G
又因为EF平行于AB,所以有EFBG为平行四边形,即有:
FB=EG
再因AE平分角BAC,所以:
角CAE=角BAE
因为在直角三角形ABC中,角BCA=90度,CD垂直于AB
易得:
角ACD=角B=角EGA
因为AE是公共边
所以有三角形CAE全等于三角形GAE
所以有:
CE=EG=BF
方法二:
过E作AC的垂直线交AC于M,过F作AB的垂线交AB于G,
DE=FG,因为AE平分角A,可证三角形ADE和三角形AEM全等,即ME=ED=FG
在Rt三角形BFG和Rt三角形CEM中,角B加角BCE=90,角ACE加角BCE=90,
所以,角B等于角ACE,在Rt三角形BFG和Rt三角形CEM中,ME=FG,所以
Rt三角形BFG和Rt三角形CEM全等。
P55
14、如图所示,在梯形ABCD中,AD//BC,AB=AD,角BAD的平分线AE交BC于点E,连结DE,
(1)求证四边形ABED是菱形;
(2)若角ABC=60度,CE=2BE,试判断三角形CDE的形状并说明理由。
答:
因为AD//BC.AB=AD角BAD的平分线AE交BC于点E
所以角DAE=角AEB=角BAE,所以BE=AB=AD,所以四边形ABED是菱形
所以角DEC=角B=60度,又因为CE=2BE=2DE,
取CE重点F,连结DF,则EF=ED
所以▲CDF是等边三角形,所以DF=CF,一个外角等于两个内角之和,所以角C=角DFE的一半=30度
所以角CDE=90度,所以▲CDE是直角三角形
15、如图,AD是Rt三角形ABC斜边BC上的高,角B的平分线交AD于点E,交AC于点G,
(1)比较AE、AG的大小,并说明理由;
(2)作GF垂直BC于点F,连结EF,判断四边形AEFG的形状,并说明理由。
(3)若AD=4,BD=3,求AE的长。
1.∵∠C+DAC=90°,∠BAD+∠DAC=90°,∴∠C=∠BAD,∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE,∵∠AGE=∠BAD+∠ABE,∠AEG=∠C+∠CBE,∴∠AGE=∠AEG,∴AG=AE。
(2)AG=GF(角平分线上的点到两边的距离相等)
BG=BG,所以△ABG≡△FBG,故,∠AGB=∠FGB
又EG=EGAG=GF所以△AEG≡△FEG,故AE=EF,
即AG=GF=AE=EF所以四边形AEFG的形状是菱形
∴四边形AEFG是菱形
(3)3)AD=4,BD=3则AB=5,
根据角平分线定理:
AE/ED=AB/BD即AE/(AD-AE)=AB/BD
AE/(3-AE)=5/4
解得:
AE=5/3
P57页:
第十二题:
如图8,在长方形ABCD中,AB=3CM,AD=4CM,过对角线BD的中点0作BD的垂直平分线EF,分别交AD、BC于点E、F,则AE的长为:
∵解:
设AE=x,连接BE,∵OE垂直平分BD,∴EB=ED=4-x,在直角三角形ABE中,BE²-AE²=AB²,即(4-x)²-x²=3²,解得:
x=7/8,答:
AE=7/8
P57页第13题:
如图,依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形,依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形,按照此方法继续下去,已知第一个矩形的面积为一,则第n个矩形的面积为:
第n个矩形的面积为sn。
sn=1/2^(2n-2)
易得第二个矩形的周长为1/2,第三个矩形的周长为1/2^2,依此类推,第n个矩形的周长为1/2^n-1,面积为=(1/2^n-1*1/2^n-1)=1/2^(2n-2)
P57页14题:
如图,在三角形ABC中,点O是AC边上(端点除外)的一个动点,过点O作直线MV//BC,设MN交角BCA的平分线于点E,交角BCA的外角平分线于点F,连结AE、AF,那么当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?
并证明你的结论。
当点O运动到AC的中点(或OA=OC)时,四边形AECF是矩形.由于CE平分∠BCA,那么有∠1=∠2,而MN∥BC,利用平行线的性质有∠1=∠3,等量代换有∠2=∠3,于OE=OC,同理OC=OF,于是OE=OF,而OA=OC,那么可证四边形AECF是平行四边形,又CE、CF分别是∠BCA及其外角的角平分线,易证∠ECF是90°,从而可证四边形AECF是矩形.
解答:
解:
当点O运动到AC的中点(或OA=OC)时,四边形AECF是矩形.证明:
∵CE平分∠BCA,∴∠1=∠2,又∵MN∥BC,∴∠1=∠3,∴∠3=∠2,∴EO=CO,同理,FO=CO,∴EO=OF,而OA=OC
AECF是平行四边形,又CE、CF分别是∠BCA及其外角的角平分线,∠ECF是90°,
P57页:
15题。
在平分四边ABCD中,角BAD的平分线交直线BC于点E,交直线DC于点F。
(1)在图1中证明CE=CF;
(2)若角ABC=90度,G是EF的中点(如图2),直接写出角BDG的度数;(3)若角ABC=120度,FG//CE,FG=CE,分别连接DB、DG(如图3),求角BDG的度数。
解:
(1)证明:
∵AF平分∠BAD,∴∠BAF=∠DAF.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AB∥CD.∴∠DAF=∠CEF,∠BAF=∠F.∴∠CEF=∠F.∴CE=Cf
(2)连BG、CG,∵BE=AB=DC,EG=CG,∠BEG=135°=∠DCG,
∴△BEG≌△DCG,BG=DG,∴∠BGE=∠DGC,∴∠BGD=∠EGC=90°
∴△BDG是等腰直角三角形,∴∠BDG=45°
(3)
分别连接GB,GE,GC(如图4)∵AB∥DC,∠ABC=120°,∴∠ECF=∠ABC=120°,
∵FG∥CE且FG=CE,∴四边形CEGF是平行四边形.
由
(1)得CE=CF,∴平行四边形CEGF是菱形.∴EG=EC,∠GCF=∠GCE=1/2∠ECF=60°∴△ECG是等边三角形.∴EG=CG,①∠GEC=∠GCF=60°.∴∠GEC=∠GCF.∴∠BEG=∠DCG.②由AD∥BC及AF平分∠BAD可得∠BAE=∠AEB.∴AB=BE.在平行四边形ABCD中,AB=DC.∴BE=DC.③由①②③得△BEG≌△DCG.∴BG=DG,∠1=∠2.∴∠BGD=∠1+∠3=∠2+∠3=∠EGC=60°.∴∠BDG=(180°-∠BGD)/2=60°
P59页:
13题。
长为1,宽为a的矩形纸片(a大于二分之一小于1),如图那样折一下,剪下一个边长等于矩形宽度的正方形(称第一次操作);再把剩下的矩形如图那样折一下,剪下一个边长等于此时的矩形宽幅的正方形(称第二次操作);如此反复操作下去,若在第n次操作后,剩余的矩形为正方形,则操作终止,当n=3时,a的值为?
一
1/2<a<1时,第一次操作后剩下的矩形的长为a,宽为1-a,所以第二次操作时正方形的边长为1-a,第二次操作以后剩下的矩形的两边分别为1-a,2a-1.此时,分两种情况:
①如果1-a>2a-1,即a<2/3
,那么第三次操作时正方形的边长为2a-1.
则2a-1=(1-a)-(2a-1),解得a=3/5;
②如果1-a<2a-1,即a>2/3,那么第三次操作时正方形的边长为1-a.
则1-a=(2a-1)-(1-a),解得a=3/4
故答案为3/5;或3/4.
P59页第14题:
如图,点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点,以线段AG为边作一个正方形AEFG,线段EB和GD相交点H.
(1)求证:
EB=GD;
(2)判断EB与GD的位置关系,并说明理由;(3)若AB=2,AG=√2,求EB的长。
1)因为正方形AEFG中,AE垂直于AG,那么在三角形AEB和三角形AGD中,AB=AD,所以三角形AEB和三角形AGD全等,所以BE=DG。
2)EB⊥GD,连接BD,由
(1)得∠ADG=∠ABE则在△BDH中,角ABH+角HBD+角BDH=90度,角GDA=角ABH,所以,角HBD+角BDH=90度,所以,DHB=90°所以EB⊥GD;
3)AB=2,AG=√2
设BD与C交O点,在RT三角形ABD中,BD^2=AB^2+AD^2=
√(4+4)=2√2,在Rt三角形GOD中,GD^2=(AG+AO)^2-DO^2=(2√2)^2-√2^2=6
GD=√6,GD=BE所以BE=√6。
P61页,第15题:
如图,在等腰梯形ABCD中,AD//BC,AD=AB=CD=2,角C=60度,M是BC的中点,
(1)求证三角形MDC是等边三角形;
将△MDC绕点M旋转,当MD(即MD′)与AB交于一点E,MC(即MC′)同时与AD交于一点F时,点E,F和点A构成△AEF.试探究△AEF的周长是否存在最小值?
如果不存在,请说明理由;如果存在,请计算出△AEF周长的最小值.
(1)过点D作DP⊥BC于点P,过点A作AQ⊥BC于点Q,得到CP=BQ=1/2AB,CP+BQ=AB=1,得出BC=2CD,由点M是BC的中点,推出CM=CD,由∠C=60°,根据等边三角形的判定即可得到答案;
(2)△AEF的周长存在最小值,理由是连接AM,由ABMD是菱形,得出△MAB,△MAD和△MC′D′是等边三角形,推出∠BME=∠AMF,证出△BME≌△AMF(ASA),得出BE=AF,ME=MF,推出△EMF是等边三角形,根据MF的最小值为点M到AD的距离√3,即EF的最小值是√3,即可求出△AEF的周长..
解答:
(1)证明:
过点D作DP⊥BC于点P,过点A作AQ⊥BC于点Q,即AQ∥DP,∵AD∥BC,∴ADPQ是平行四边形,∴AD=QP=AB=CD,∵∠C=∠B=60°,∴∠BAQ=∠CDP=30°,∴CP=BQ=1/2AB=1,即BC=1+1+2=4,∵CD=2,∴BC=2CD,∵点M是BC的中点,BC=2CM,∴CD=CM,∵∠C=60°,∴△MDC是等边三角形.
(2)解:
△AEF的周长存在最小值,理由如下:
连接AM,由
(1)平行四边形ABMD是菱形,△MAB,△MAD和△MC′D′是等边三角形,∠BMA=∠BME+∠AME=60°,∠EMF=∠AMF+∠AME=60°,∴∠BME=∠AMF,在△BME与△AMF中,BM=AM,∠EBM=∠FAM=60°,∴△BME≌△AMF(ASA),∴BE=AF,ME=MF,AE+AF=AE+BE=AB,∵∠EMF=∠DMC=60°,故△EMF是等边三角形,EF=MF,∵MF的最小值为点M到AD的距离√3,即EF的最小值是√3,△AEF的周长=AE+AF+EF=AB+EF,△AEF的周长的最小值为2+√3,答:
存在,△AEF的周长的最小值为2+√3.