17.解
(1)因为sin,
所以cosC=1-2sin2=-
(2)因为sin2A+sin2B=sin2C,
所以a2+b2=c2.①
由余弦定理得a2+b2=c2+2abcosC,将cosC=-及①代入上式得ab=c2.②
由S△ABC=及sinC=,得ab=6.③
由①②③得经检验都满足题意.所以
18.解
(1)由题意可知,K2=2.932>2.706,
故在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为对这一问题的看法与性别有关.
(2)①设“男士和女士各至少有1人发言”为事件A,则所求概率为P(A)=;
②根据题意可知X服从超几何分布,故P(X=k)=,k=0,1,2,3,
因此,X的分布列为
X
0
1
2
3
P
X的均值为E(X)=0+1+2+3=1.
19.
(1)证明取BC的中点Q,连接NQ,FQ,则NQ=AC,NQ∥AC.又MF=AC,MF∥AC,
∴MF=NQ,MF∥NQ,∴四边形MNQF为平行四边形.∴MN∥FQ.
∵FQ⊂平面FCB,MN⊄平面FCB,
∴MN∥平面FCB.
(2)解由AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°,可得∠ACB=90°,AC=,AB=2.
∵四边形ACFE为矩形,
∴AC⊥CF.
又AC⊥BC,
∴AC⊥平面FCB.
∵直线AF与平面FCB所成的角为30°,
∴∠AFC=30°,
∴FC=3.
∵FB=,
∴FC⊥BC.
∴可建立如图所示的空间直角坐标系.
∴A(,0,0),B(0,1,0),M
设平面MAB的法向量m,则可得出平面MAB的一个法向量m=(2,6,1).
又n=(,0,0)为平面FCB的一个法向量,∴cos=平面MAB与平面FCB所成角的余弦值为
20.
(1)解由题意可知a=2,b=,故所求椭圆方程为=1.
(2)证明设过点F2(1,0)的直线l的方程为y=k(x-1).
由可得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0.
因为点F2(1,0)在椭圆内,所以直线l和椭圆相交,即Δ>0恒成立.
设点E(x1,y1),D(x2,y2),
可得x1+x2=,x1x2=
因为直线AE的方程为y=(x-2),直线AD的方程为y=(x-2),
令x=3,可得M,N,
所以点P的坐标为
所以直线PF2的斜率为
k'=
=
=
=
=-,
所以k·k'为定值-
21.解
(1)由题意可知f(x)的定义域为(0,+∞),
f'(x)=1+
令f'(x)=0,得x2-ax+1=0.
①当-2≤a≤2时,Δ=a2-4≤0,此时,f'(x)≥0恒成立,所以f(x)在定义域(0,+∞)内单调递增;
②当a<-2时,Δ=a2-4>0,但x2-ax+1=0的两根x1,x2均为负数,
此时,f'(x)>0在(0,+∞)内恒成立,所以f(x)在定义域(0,+∞)内单调递增;
③当a>2时,Δ=a2-4>0,解得x2-ax+1=0的两根为x1=,x2=,当x时,f'(x)>0,f(x)单调递增;
当x时,f'(x)<0,f(x)单调递减;
当x时,f'(x)>0,f(x)单调递增.
综上可得,当a≤2时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间;
当a>2时,f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为
(2)由题意可知,g(x)=x-+alnx,定义域为(0,+∞),
则g'(x)=1+
令g'(x)=0,得x2+ax+1=0,其两根为x1,x2,且
所以x2=,a=-
所以a<0.
所以g(x1)-g(x2)=g(x1)-g=x1-+alnx1-=2+2alnx1=2-2lnx1.
设h(x)=2-2lnx,x∈(0,e],可知[g(x1)-g(x2)]min=h(x)min.
因为h'(x)=2-2,
所以当x∈(0,e]时,恒有h'(x)≤0.
所以h(x)在(0,e]上单调递减.
所以h(x)min=h(e)=-,
所以[g(x1)-g(x2)]min=-
22.解
(1)因为C1的极坐标方程为
ρ=2sin=2sinθ+2cosθ,
所以C1的直角坐标方程为x2+y2=2y+2x,化为标准方程为(x-1)2+(y-1)2=2.
由题意可知曲线C2的直角坐标方程为y=a.
因为曲线C1关于曲线C2对称,所以a=1,
所以曲线C2的直角坐标方程为y=1.
(2)因为|OA|=2sin,
|OB|=2sin=2cosφ,
|OC|=2sinφ,
|OD|=2sin=2cos,
所以|OA|·|OC|+|OB|·|OD|
=2sin2sinφ+2cosφ·2cos=8cos
=8=4
23.解
(1)因为|x-a|≤m,所以a-m≤x≤a+m.
又因为f(x)≤m的解集为[-1,5],
所以解得
(2)当a=2时,f(x)+t≥f(x+2)等价于|x-2|+t≥|x|.
当x≥2时,不等式转化为x-2+t≥x,解得t≥2,与0≤t<2矛盾,故舍去;
当0≤x<2时,不等式转化为2-x+t≥x,解得0≤x;
当x<0时,不等式转化为2-x+t≥-x,解得t≥-2,符合题意.
所以原不等式解集是