<
D．若a>b，则a－c>b－c
6．在△ABC中，若AB＝
，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝
A．1B．2C．3D．4
7．已知数列{an}满足：
a1＝－13，a6＋a8＝－2，且an－1＝2an－an＋1（n≥2），则数列
的前13项和为
A.
B．－
C.
D．－
答题卡
题号
1
2
3
4
5
6
7
答案
二、填空题：
本大题共3个小题，每小题5分，共15分．
8．在△ABC中，已知三个内角为A，B，C满足sinA∶sinB∶sinC＝6∶5∶4，则sinB＝________．
9．将等差数列1，4，7，…，按一定的规则排成了如图所示的三角形数阵．根据这个排列规则，数阵中第20行从左至右的第3个数是________．
10．若x，y均为正数，且9x＋y＝xy，则x＋y的最小值是________．
三、解答题：
（本大题共4个小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
11．（本小题满分12分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ccosB＝（2a－b）cosC.
（1）求角C的大小；
（2）若AB＝4，求△ABC的面积S的最大值，并判断当S最大时△ABC的形状．
12.（本小题满分12分）
制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
13.（本小题满分13分）
已知函数f（x）＝x2－ax（a∈R）．
（1）解不等式f（x）≤1－a；
（2）若x∈[1，＋∞）时，f（x）≥－x2－2恒成立，求a的取值范围．
14.（本小题满分13分）
设数列
是等差数列，数列
是各项都为正数的等比数列，且a1＝1，b1＝2，a3＋b3＝11，a5＋b5＝37.
（1）求数列
，
的通项公式；
（2）设cn＝an·bn，数列
的前n项和为Tn，求证：
Tn≤n2·2n－1＋2.
第Ⅱ卷 （满分50分）
一、选择题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）
15．“a<－1”是“直线ax＋y－3＝0的倾斜角大于
”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
16．已知函数f（x）＝
g（x）＝f（x）＋x＋a.若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是
A．[－1，0）
B．[0，＋∞）
C．[－1，＋∞）
D．[1，＋∞）
17．已知向量a≠e，|e|＝1，t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，则
A．a⊥e
B．a⊥（a－e）
C．e⊥（a－e）
D．（a＋e）⊥（a－e）
答题卡
题号
15
16
17
答案
二、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）
18．已知直线l1：
2x－y＋6＝0和直线l2：
x＝－1，F是抛物线C：
y2＝4x的焦点，点P在抛物线C上运动，当点P到直线l1和直线l2的距离之和最小时，直线PF被抛物线所截得的线段长是________．
19．平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m、n所成角的正弦值为________．
三、解答题（本大题共2小题，共25分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20．（本题满分12分）
已知函数f（x）＝cos2
，g（x）＝1＋
sin2x.
（1）设x＝x0是函数y＝f（x）图象的一条对称轴，求g（x0）的值．
（2）若函数h（x）＝f（x）＋g（x）在区间
上的最大值为2，求m的最小值．
21.（本题满分13分）
已知椭圆E：
＋
＝1（a>b>0）的离心率为
，以E的四个顶点为顶点的四边形的面积为4
.
（1）求椭圆E的方程；
（2）设A，B分别为椭圆E的左、右顶点，P是直线x＝4上不同于点（4，0）的任意一点，若直线AP，BP分别与椭圆相交于异于A，B的点M，N，试探究，点B是否在以MN为直径的圆内？
证明你的结论．
湖南师大附中2020－2020学年度高二第一学期期中考试理科数学参考答案－（这是边文，请据需要手工删加）
湖南师大附中2020－2020学年度高二第一学期期中考试
数学（理科）参考答案
第Ⅰ卷（必修5模块结业考试满分100分）
一、选择题：
本大题共7小题，每小题5分，共35分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．C【解析】不等式x2－5x＋6<0的解集是（2，3），故选C.
2．D【解析】等差数列{an}中，若a5，a7是方程x2－2x－6＝0的两根，
则a5＋a7＝2，∴a6＝12（a5＋a7）＝1，∴{an}的前11项的和为
S11＝11×（a1＋a11）2＝11a6＝11×1＝11.故选D.
3．B【解析】在△ABC中，A＝75°，B＝45°，∴C＝180°－A－B＝60°.设△ABC的外接圆半径为R，则由正弦定理可得2R＝csinC，解得R＝1，
故△ABC的外接圆面积S＝πR2＝π，故选B.
4．D【解析】x，y满足约束条件x－y≥1，y≥0的可行域如图（阴影部分）：
z＝x＋y即y＝－x＋z，当直线过点A时，直线y＝－x＋z的截距最大，z的值最大．
由y＝0，x＋3y＝3，解得A（3，0），所以z＝x＋y的最大值为3.故选D.
5．D
6．A【解析】在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，
由AB2＝BC2＋AC2－2AC·BCcosC，可得：
13＝9＋AC2＋3AC，
解得AC＝1或AC＝－4（舍去）．故选A.
7．B【解析】an－1＝2an－an＋1（n≥2），可得an＋1－an＝an－an－1，
可得数列{an}为等差数列，设公差为d，由a1＝－13，a6＋a8＝－2，即为2a1＋12d＝－2，
解得d＝2，则an＝a1＋（n－1）d＝2n－15.
1anan＋1＝1（2n－15）（2n－13）＝1212n－13，
即有数列1anan＋1的前13项和为
12113＝12×113＝－113.故选B.
二、填空题：
本大题共3个小题，每小题5分，共15分．
8.716【解析】∵sinA∶sinB∶sinC＝6∶5∶4，∴a∶b∶c＝6∶5∶4，
不妨取a＝6，b＝5，c＝4，则cosB＝62＋42－522×6×4＝916，B∈（0，π）．
则sinB＝＝716.
9．577【解析】由题意可得等差数列的通项公式为an＝3n－2，由三角形数阵的特点可知第20行3列的数为第1＋2＋3＋4＋…＋19＋3＝193个数，a193＝3×193－2＝577.
10．16【解析】根据题意，若9x＋y＝xy，则有1x＋9y＝1，
则x＋y＝（x＋y）9y＝10＋yx＋9xy≥10＋29xy＝16，
当且仅当yx＝9xy时，等号成立，即x＋y的最小值是16，故答案为16.
三、解答题：
本大题共4个小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
11．【解析】
（1）∵ccosB＝（2a－b）cosC，∴由正弦定理可知，sinCcosB＝2sinAcosC－sinBcosC，2分
sinCcosB＋sinBcosC＝2sinAcosC，sin（C＋B）＝2sinAcosC.
∵A＋B＋C＝π，∴sinA＝2sinAcosC．4分
∵sinA≠0，∴cosC＝12.∵0（2）由题知，
c＝4，C＝π3，∴S△ABC＝34ab.7分
∵由余弦定理可知：
a2＋b2＝c2＋2abcosC，8分
a2＋b2＝16＋ab≥2ab，10分
∴ab≤16.当且仅当“a＝b”时等号成立，11分
∴S△ABC最大值是4，此时三角形为等边三角形.12分
12．【解析】设分别向甲、乙两组项目投资x万元，y万元，利润为z万元，
由题意知0.3x＋0.1y≤1.8，x≥0，y≥0，3分
目标函数z＝x＋0.5y，
作出可行域
6分
作直线l0：
x＋0.5y＝0，并作平行于直线l0的一组直线x＋0.5y＝z，z∈R，
与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的点M，且与直线x＋0.5y＝0的距离
最大，这里M是直线x＋y＝10和0.3x＋0.1y＝1.8的交点．
解方程组x＋y＝10，0.3x＋0.1y＝1.8，解得x＝4，y＝6，10分
此时z＝1×4＋0.5×6＝7（万元），∴x＝4，y＝6时，z最大．
答：
投资人投资甲项目4万元，乙项目6万元，获得利润最大.12分
13．【解析】
（1）由f（x）≤1－a可得x2－ax＋a－1≤0，
即（x－1）[x－（a－1）]≤0，3分
当a>2时，不等式解集为[1，a－1]；4分
当a＝2时，不等式解集为{1}；5分
当a<2时，不等式解集为[a－1，1].6分
（2）f（x）≥－x2－2即a≤21x对任意x∈[1，＋∞）恒成立，8分
令h（x）＝21x，等价于a≤h（x）min对任意x∈[1，＋∞）恒成立，10分
又h（x）＝21x≥41x＝4，当且仅当x＝1x即x＝1时等号成立，
∴a≤4，∴a的取值范围为（－∞，4].13分
14．【解析】
（1）设数列的公差为d，数列的公比为q，依题意有2d＋2q2＝10，4d＋2q4＝36，2分
解得d＝1，q2＝4，又bn>0，∴q＝2，4分
于是an＝a1＋d＝n，bn＝b1qn－1＝2n.6分
（2）易知cn＝n·2n，
∴Tn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n·2n，
2Tn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋·2n＋n·2n＋1，8分
两式相减，得－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝·2n＋1－2，
∴Tn＝·2n＋1＋2，11分
∵Tn－＝－2n－1·≤0，∴Tn≤n2·2n－1＋2.13分
第Ⅱ卷（满分50分）
一、选择题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）
15．A【解析】设直线ax＋y－3＝0的倾斜角为θ，则tanθ＝－a.①由a<－1得tanθ>1，可知倾斜角为θ大于π4；②由倾斜角为θ大于π4得－a>1或－a<0，即a<－1或a>0.由①②可知“a<－1”是“直线ax＋y－3＝0的倾斜角大于π4”的充分而不必要条件，选A.
16．C【解析】∵g（x）＝f（x）＋x＋a存在2个零点，即y＝f（x）与y＝－x－a有两个交点，f（x）的图象如下图所示：
要使得y＝－x－a与f（x）有两个交点，则有－a≤1即a≥－1，∴选C.
17．C【解析】由|a－te|≥|a－e|得|a－te|2≥|a－e|2展开并整理得t2－2a·et＋2a·e－1≥0，由t∈R，得Δ＝（－2a·e）2＋4－8a·e≤0，即（a·e－1）2≤0，所以a·e＝1，从而e·（a－e）＝0，即e⊥（a－e），选C.
二、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）
18．20【解析】直线l2为抛物线y2＝4x的准线，由抛物线的定义知，P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F（1，0）的距离．点P到直线l1和直线l2的距离之和最小即转化为点P到点F（1，0）和直线l1的距离之和最小，当点P到点F（1，0）和直线l1的距离之和最小时，直线PF⊥l1，从而直线PF方程为y＝－12（x－1），代入C方程得x2－18x＋1＝0，所以x1＋x2＝18，从而所求线段长为x1＋x2＋p＝18＋2＝20.
19.32【解析】由题设条件可知，m∥BD，n∥A1B，因此直线m、n所成的角即直线BD与A1B所成的角，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，△A1BD是正三角形，BD与A1B所成的角是60°，其正弦值为32.
三、解答题（本大题共2小题，共25分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20．【解析】
（1）由题设知f（x）＝12π6.1分
因为x＝x0是函数y＝f（x）图象的一条对称轴，所以2x0＋π6＝kπ，
即2x0＝kπ－π6（k∈Z）.3分
所以g（x0）＝1＋12sin2x0＝1＋12sinπ6.4分
当k为偶数时，g（x0）＝1＋12sinπ6＝1－14＝34，5分
当k为奇数时，g（x0）＝1＋12sinπ6＝1＋14＝54.6分
（2）h（x）＝f（x）＋g（x）＝12π6＋1＋12sin2x
＝12π＋sin2x＋32＝121sin2x＋32
＝12sinπ3＋32.9分
因为x∈π，m，所以2x＋π3∈π3.
要使得h（x）在π，m上的最大值为2，即sinπ3在π，m上的最大值为1.
所以2m＋π3≥π2，11分
即m≥π12.所以m的最小值为π12.12分
21．【解析】
（1）依题意得ca＝12，12·2a·2b＝4，又a2＝b2＋c2，由此解得a＝2，b＝.所以椭圆E的方程为x24＋y23＝1.4分
（2）点B在以MN为直径的圆内．证明如下：
方法1：
由
（1）得A（－2，0），B（2，0）．设M（x0，y0）．
∵M点在椭圆上，∴y20＝34（4－x20）．①
又点M异于顶点A、B，∴－2由P、A、M三点共线可以得P6y0x0＋2.7分
从而BM→＝（x0－2，y0），BP→＝6y0x0＋2.8分
∴BM→·BP→＝2x0－4＋200＝2x0＋2（x20－4＋3y20）．②10分
将①代入②，化简得BM→·BP→＝52（2－x0）.11分
∵2－x0>0，∴BM→·BP→>0，于是∠MBP为锐角，从而∠MBN为钝角，
故点B在以MN为直径的圆内.13分
方法2：
由
（1）得A（－2，0），B（2，0）．设M（x1，y1），N（x2，y2），
则－2依题意，计算点B到圆心Q的距离与半径的差
－14＝x1＋x2－2＋y1＋y22－14
＝（x1－2）（x2－2）＋y1y2③6分
直线AP的方程为y＝y1x1＋2（x＋2），直线BP的方程为y＝y2x2－2（x－2），
而两直线AP与BP的交点P在直线x＝4上，
∴6y1x1＋2＝2y2x2－2，即y2＝3（x2－2）y1x1＋2④8分
又点M在椭圆上，则211＋211＝1，即y21＝34（4－x21）⑤9分
于是将④、⑤代入③，化简后可得－14＝54（2－x1）（x2－2）<0.12分
从而点B在以MN为直径的圆内.13分
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