最新人教A版必修5高中数学20 简单的线性规划问题 达标习题及答案.docx
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最新人教A版必修5高中数学20简单的线性规划问题达标习题及答案
达标习题（二十）
（建议用时：
45分钟）
一、选择题
1．（2016·新余高二检测）某服装制造商有10m2的棉布料，10m2的羊毛料和6m2的丝绸料，做一条裤子需要1m2的棉布料，2m2的羊毛料和1m2的丝绸料，做一条裙子需要1m2的棉布料，1m2的羊毛料和1m2的丝绸料，做一条裤子的纯收益是20元，一条裙子的纯收益是40元，为了使收益达到最大，若生产裤子x条，裙子y条，利润为z，则生产这两种服装所满足的数学关系式与目标函数分别为（ ）
A.
z＝20x＋40y
B.
z＝20x＋40y
C.
z＝20x＋40y
D.
z＝40x＋20y
【解析】 由题意易知选A.
【答案】 A
2．（2015·福建高考）若变量x，y满足约束条件
则z＝2x－y的最小值等于（ ）
A．－
B．－2
C．－
D．2
【解析】 作出可行域如图，
由图可知，当直线z＝2x－y过点A时，z值最小．
由
得点A
，
zmin＝2×（－1）－
＝－
.
【答案】 A
3．设变量x，y满足约束条件
则目标函数z＝3x－y的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
【解析】 作出可行域如图所示．
目标函数z＝3x－y可转化为y＝3x－z，作l0：
3x－y＝0，在可行域内平移l0，可知在A点处z取最小值为－
，在B点处z取最大值为6.
【答案】 A
4．已知实数x，y满足条件
若目标函数z＝mx－y（m≠0）取得最大值时的最优解有无穷多个，则实数m的值为（ ）
A．1B.
C．－
D．－1
【解析】 作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分（包含边界）所示，由图可知当直线y＝mx－z（m≠0）与直线2x－2y＋1＝0重合，即m＝1时，目标函数z＝mx－y取最大值的最优解有无穷多个，故选A.
【答案】 A
5．（2015·陕西高考）某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）
甲
乙
原料限额
A（吨）
3
2
12
B（吨）
1
2
8
A.12万元B．16万元
C．17万元D．18万元
【解析】 设每天生产甲、乙产品分别为x吨、y吨，每天所获利润为z万元，则有
z＝3x＋4y，作出可行域如图阴影部分所示，由图形可知，当直线z＝3x＋4y经过点A（2,3）时，z取最大值，最大值为3×2＋4×3＝18.
【答案】 D
二、填空题
6．满足不等式组
并使目标函数z＝6x＋8y取得最大值的点的坐标是________．
【解析】 首先作出直线6x＋8y＝0，然后平移直线，当直线经过平面区域内的点M（0,5）时截距最大，此时z最大．
【答案】 （0,5）
7．若实数x，y满足
则z＝3x＋2y的最小值是________.【导学号：
05920078】
【解析】 不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．
设t＝x＋2y，
则y＝－
x＋
，
当x＝0，y＝0时，t最小＝0.
z＝3x＋2y的最小值为1.
【答案】 1
8．设关于x，y的不等式组
表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0－2y0＝2，则m的取值范围是________．
【解析】 由线性约束条件可画出如图所示的阴影区域，要使区域内存在点P（x0，y0），使x0－2y0＝2成立，只需点A（－m，m）在直线x－2y－2＝0的下方即可，即－m－2m－2>0，解得m<－
.
【答案】
三、解答题
9．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z等于多少？
【解】 设该公司合理计划当天派用甲、乙卡车的车辆数分别为x，y，则根据条件x，y满足的约束条件为
目标函数z＝450x＋350y.作出约束条件所示的平面区域，然后平移目标函数对应的直线450x＋350y－z＝0知，当直线经过直线x＋y＝12与2x＋y＝19的交点（7,5）时，目标函数取得最大值，
即zmax＝450×7＋350×5＝4900.
10．（2015·辽宁三校联考）变量x，y满足条件
求（x－2）2＋y2的最小值．
【解】 不等式组
在平面直角坐标系中所表示的平面区域如图中的阴影部分所示．
设P（x，y）是该区域内的任意一点，则（x－2）2＋y2的几何意义是点P（x，y）与点M（2,0）距离的平方．由图可知，当点P的坐标为（0,1）时，|PM|最小，所以|PM|≥
＝
，所以|PM|2≥5，即（x－2）2＋y2≥5.
[能力提升]
1．（2014·北京高考）若x，y满足
且z＝y－x的最小值为－4，则k的值为（ ）
A．2 B．－2
C.
D．－
【解析】 作出可行域，如图中阴影部分所示，直线kx－y＋2＝0与x轴的交点为A－
，0.
∵z＝y－x的最小值为－4，∴
＝－4，解得k＝－
，故选D.
【答案】 D
2．（2014·山东高考）已知x，y满足约束条件
当目标函数z＝ax＋by（a>0，b>0）在该约束条件下取到最小值2
时，a2＋b2的最小值为（ ）
A．5B．4
C.
D．2
【解析】 法一 线性约束条件所表示的可行域如图所示．由
解得
所以z＝ax＋by在A（2,1）处取得最小值，故2a＋b＝2
，
a2＋b2＝a2＋（2
－2a）2＝（
a－4）2＋4≥4.
法二 画出满足约束条件的可行域知，当目标函数过直线x－y－1＝0与2x－y－3＝0的交点（2,1）时取得最小值，所以有2a＋b＝2
.又因为a2＋b2是原点（0,0）到点（a，b）的距离的平方，故当
为原点到直线2a＋b－2
＝0的距离时最小，所以
的最小值是
＝2，所以a2＋b2的最小值是4.故选B.
【答案】 B
3．（2014·浙江高考）当实数x，y满足
时，1≤ax＋y≤4恒成立，则实数a的取值范围是________．
【解析】 画可行域如图所示，设目标函数z＝ax＋y，即y＝－ax＋z，要使1≤z≤4恒成立，则a>0，数形结合知，满足
即可，
解得1≤a≤
，
所以a的取值范围是1≤a≤
.
【答案】
4．设数列{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，若S1≤13，S4≥10，S5≤15，求a4的最大值．
【解】 可将此题看成关于a1和d的线性规划问题，根据题意可知
化简为
求a4＝a1＋3d的最大值，将其转化为
求z＝x＋3y的最大值问题，不等式组表示的平面区域如图所示．
由z＝x＋3y，得y＝－
x＋
，平移直线y＝－
x，由图可知，
当直线y＝－
x＋
过点A时，z有最大值．由
得A（1,1），
所以zmax＝1＋1×3＝4，
即a4的最大值为4.
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