高三第一次模拟考试数学理.docx
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高三第一次模拟考试数学理
2019-2020年高三第一次模拟考试（数学理）
本试卷共21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时．请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的．答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：
本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数的虚部是（）
A．B．C．D．
2.设集合，，那么“”是“”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知等差数列的前项和为，且满足，则数列的公差是（）
A．B．C．D．
－1
0
1
2
3
0.37
1
2.72
7.39
20.09
1
2
3
4
5
4．根据表格中的数据，可以判定函数的一个零点所在的区间为，则的一个值为（）
A．0B．-1
C．2D．1
甲
乙
35
1
46
660
2
145
5．甲、乙两名运动员的5次测试成绩如下图所示设分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的标准差，分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的平均数，则有（）
A．，B．，
C．，D．，
6．若函数（，，）在一个周期内的图象如图2所示，分别是这段图象的最高点和最低点，且（为坐标原点），则（）
A．B．C．D．
7．下面为某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）
A.B.C.D.
8．图3中的阴影部分由底为，高为的等腰三角形及高
为和的两矩形所构成．设函数是图中
阴影部分介于平行线及之间的那一部分的面积，
则函数的图象大致为（）
2、填空题：
本大题共7小题．考生作答6小题．每小题5分，满分30分）
（1）必做题（9～13题）
9．二项式的展开式中常数项是第▲项。
10．将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m,第二次出现的点数为n，向量=（m,n）,=（3,6）,则向量与共线的概率为▲．
11、若平面区域是一个梯形，则实数的取值范围是▲．
12．若双曲线－=1的渐近线与圆相切，则此双曲线的离心率为 ▲．
13．按下列程序框图运算：
若输入，则输出k=▲；
若输出k=3，则输入的取值范围是▲．
（2）
选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
14．（几何证明选讲选做题）
如图，正的边长为2，点分别是边的中点，直线与的外接圆的交点为、Q，则线段=．
15．（坐标系与参数方程选做题）
在极坐标系中，圆的极坐标方程为，过极点的一条直线与圆相交于，两点，且∠，则=．
三、解答题：
本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分l2分）
已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为
且
（Ⅰ）求的大小;
（Ⅱ）若求△ABC。
17．（本小题满分12分）
日销售量
1
1.5
2
频数
10
25
15
频率
0.2
某批发市场对某种商品的日销售量（单位：
吨）进行统计，最近50天的统计结果如下：
（Ⅰ）填充上表；
（Ⅱ）若以上表频率作为概率，且每天的销售量相互独立.
①5天中该种商品恰好有2天的销售量为1.5吨的概率；
②已知每吨该商品的销售利润为2千元，表示该种商品两天销售利润的和（单位：
千元），求的分布列.
18．（本小题满分14分）
如图，圆柱的高为2，底面半径为3,AE、DF是圆柱的两条母线，B、C是下底面圆周上的两点,已知四边形ABCD是正方形。
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）求正方形ABCD的边长；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值。
19.（本小题满分14分）
给定椭圆：
，称圆心在坐标原点，半径为的圆是椭圆的“伴随圆”．已知椭圆的两个焦点分别是
，椭圆上一动点满足．
（Ⅰ）求椭圆及其“伴随圆”的方程
（Ⅱ）试探究y轴上是否存在点（0,），使得过点作直线与椭圆只有一个交点，且截椭圆的“伴随圆”所得的弦长为．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由。
20.（本小题满分14分）
设数列为等比数列，数列满足
，，已知，，其中．
（Ⅰ）求数列的首项和公比；
（Ⅱ）当时，求；
（Ⅲ）设为数列的前项和，若对于任意的正整数，都有，求实数的取值范围．
21.（本小题满分14分）
已知函数
是函数的极值点。
（Ⅰ）当时，求a的值，讨论函数的单调性；
（Ⅱ）当R时，函数有两个零点，求实数m的取值范围.
（Ⅲ）是否存在这样的直线，同时满足：
①是函数的图象在点处的切线
②与函数的图象相切于点，
如果存在，求实数b的取值范围；不存在，请说明理由。
汕头市xx年普通高中高三教学质量测评
理科数学试题答案和评分初步标准
一、选择题：
ABCDBCDC
1．A．解：
因为
，
所以复数的虚部是
2．B．解：
因为，且，“”是“”的必要不充分条件。
3．C；解：
，；
∴
=1，因此．
4．D由表可知时零点在内。
5．B解：
计算得=20，，所以选B。
6．C解：
由图像知，所以，又
7．D解：
根据题意，该几何体图为圆柱和一个1/4的球的组合体，所以体积为
。
8．C解：
由图2中阴影部分介于平行线及之间的那一部分的
面积的增速知C答案符合。
3、填空题：
本大题共7小题．考生作答6小题．每小题5分，满分30分
（2）必做题（9～13题）
9．5。
解：
即，所以常数项是第5项。
10．.解：
向量与共线得，符合要求的（m,n）有：
（1,2），（2,4），（3,6），则向量与共线的概率为。
11、解：
平面区域是一个梯形，
则图形如右图，所以实数的取值范围是。
12、解：
双曲线－=1的渐近线为
即，圆的圆心（2,0）到的距离为,得，
所以双曲线的离心率
。
13．4，（3分）；（2分）
解：
若输入，则k=4时，，则输出k=4；
若输出k=3，则k=2时，当k=3时
所以输入的取值范围是。
（3）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
14．
解：
设，则,由相交弦定理可得
即
.
15．______．
解：
圆的直角坐标系方程为：
，圆心（0,1）到直线的距离为，则弦长=。
三、解答题：
本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分l2分）
解：
（1）
………………2分
即………………4分
………………5分
………………6分
（2）若由余弦定理
得……2分
所以
………………6分
17．（本小题满分12分）
解：
（1）求得0.50.3.……2分
（2）①依题意，随机选取一天，销售量为1.5吨的概率……1分
设5天中该种商品有天的销售量为1.5吨，则～B（5,0.5）……2分
……4分
②的可能取值为4,5,6,7,8，则
（每个1分）……9分
的分布列:
4
5
6
7
8
p
0.04
0.2
0.37
0.3
0.09
……10分
18．（本小题满分14分）
解：
（1）AE是圆柱的母线底面BEFC,……1分
又面BEFC……2分
又ABCD是正方形
又面ABE……3分
又面ABE……4分
（2）四边形为矩形，且ABCD是正方形EFBC
四边形EFBC为矩形BF为圆柱下底面的直径……1分
设正方形ABCD的边长为，则AD=EF=AB=
在直角中AE=2，AB=，且BE2+AE2=AB2，得BE2=2-4
在直角中BF=6，EF=，且BE2+EF2=BF2，的BE2=36-2……2分
解得=，即正方形ABCD的边长为……3分
（3）解法一：
如图以F为原点建立空间直角坐标系,
则A（，0，2）,B（，4，0）,E（，0，0）,
（，0，2）,（，4，0）,
（，0，0）……1分
设面AEF的法向量为（，，），则
…3分
令，则即（，，）……4分
设直线与平面所成角的大小为，则
……6分
所以直线与平面所成角的正弦值为。
……7分
解法二：
如图以E为原点建立空间直角坐标系,
则A（0，0，2）,B（4，0，0）,F（0，，0）,
（-4，，0）,（0，，-2）,
（0，，0）……1分
设面AEF的法向量为（，，），则
……3分
令，则即（，，）……4分
设直线与平面所成角的大小为，则
……6分
所以直线与平面所成角的正弦值为。
……7分
19.（本小题满分14分）
解：
（1）由题意得：
得，半焦距……2分
则椭圆的方程为．．．．3分
“伴随圆”的方程为．．．．5分
（2）假设y轴上存在点（0,），
则设过点且与椭圆有一个交点的直线为：
，……1分
则
整理得
．．．．．．．3分
所以
，解①．．．．5分
又因为直线截椭圆的“伴随圆”所得的弦长为，
则有
化简得②．．．．7分
联立①②解得，，所以
所以y轴上存在点（0,）．．．．9分
20.（本小题满分14分）
⑴由已知，所以；．．．．1分
，所以，解得；．．．．2分
所以数列的公比；．．．．3分
⑵当时，，．．．．1分
，………………………①，
，……………………②，．．．．2分
②－①得
，
所以
，．．．．4分
．．．．．5分
⑶
，．．．．1分
因为，所以由得
，．．．．2分
注意到，当n为奇数时，；．．．．3分
当为偶数时，，．．．．4分
所以最大值为，最小值为．．．．．5分
对于任意的正整数n都有
，
所以，解得，．．．．6分
21.（本小题满分14分）
解：
（1）,
．．．．．1分
由已知得，解得a=1．……2分
．
当时，，当时，．又，．．．．3分
当时，在，上单调递增，在上单调递减．………4分
（2）由
（1）知，当时，单调递减，
当，单调递增，.………………2分
要使函数有两个零点，则函数的图象与直线有两个不同的交点.
①当时，m=0或；．．．．3分
②当b=0时，；．．．．4分
③当
.．．．．5分
（3）假设存在，时，
函数的图象在点处的切线的方程为：
．．．．1分
直线与函数的图象相切于点，
，，所以切线的斜率为
所以切线的方程为
即的方程为：
…………2分
得
得
其中．．．．3分
记
其中
令．．．．4分
1
+
0
-
极大值
又，
所以实数b的取值范围的集合：
…………5分
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