高三第一次模拟考试文科数学含答案.docx
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高三第一次模拟考试文科数学含答案
2021年高三第一次模拟考试文科数学含答案
xx.4
一、选择题:
本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.已知全集,集合,,那么
(A)
(B)
(C)
(D)
2.复数
(A)
(B)
(C)
(D)
3.执行如图所示的程序框图.若输出,则输入
角
(A)
(B)
(C)
(D)
4.设等比数列的公比为,前项和为,且.若,则的取值范围是
(A)
(B)
(C)
(D)
5.某正三棱柱的三视图如图所示,其中正(主)
视图是边长为的正方形,该正三棱柱的表
面积是
(A)(B)
(C)(D)
6.设实数,满足条件
则的最大值是
(A)
(B)
(C)
(D)
7.已知函数,则“”是“,使”的
(A)充分而不必要条件
(B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件
(D)既不充分也不必要条件
8.如图,正方体中,是棱的
中点,动点在底面内,且,则
点运动形成的图形是
(A)线段
(B)圆弧
(C)椭圆的一部分
(D)抛物线的一部分
第Ⅱ卷(非选择题共110分)
二、填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.已知向量,.若向量与垂直,则实数______.
10.已知函数则______.
11.抛物线的准线方程是______;该抛物线的焦点为,点在此抛物线上,且,则______.
12.某厂对一批元件进行抽样检测.经统计,这批元件
的长度数据(单位:
)全部介于至之间.
将长度数据以为组距分成以下组:
,
,,,,
,得到如图所示的频率分布直方图.若长
度在内的元件为合格品,根据频率分布直
方图,估计这批产品的合格率是_____.
13.在△中,内角,,的对边边长分别为,,,且.若,则△的面积是______.
14.已知数列的各项均为正整数,其前项和为.若
且,
则______;______.
三、解答题:
本大题共6小题,共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
已知函数的一个零点是.
(Ⅰ)求实数的值;
(Ⅱ)设,求的单调递增区间.
16.(本小题满分14分)
在如图所示的几何体中,面为正方形,面为等腰梯形,//,,,.
(Ⅰ)求证:
平面;
(Ⅱ)求四面体的体积;
(Ⅲ)线段上是否存在点,使//平面?
证明你的结论.
17.(本小题满分13分)
某商区停车场临时停车按时段收费,收费标准为:
每辆汽车一次停车不超过小时收费元,
超过小时的部分每小时收费元(不足小时的部分按小时计算).现有甲、乙二人在该商区临时停车,两人停车都不超过小时.
(Ⅰ)若甲停车小时以上且不超过小时的概率为,停车付费多于元的概率为,求甲
停车付费恰为元的概率;
(Ⅱ)若每人停车的时长在每个时段的可能性相同,求甲、乙二人停车付费之和为元的概率.
18.(本小题满分13分)
已知函数,,其中.
(Ⅰ)求的极值;
(Ⅱ)若存在区间,使和在区间上具有相同的单调性,求的取值范围.
19.(本小题满分14分)
如图,已知椭圆的左焦点为,过点的直线交椭圆于两点,线段的中点为,的中垂线与轴和轴分别交于两点.
(Ⅰ)若点的横坐标为,求直线的斜率;
(Ⅱ)记△的面积为,△(为原点)的面
积为.试问:
是否存在直线,使得?
说明理由.
20.(本小题满分13分)
已知集合
.
对于,,定义
;
;与之间的距离为.
(Ⅰ)当时,设,,求;
(Ⅱ)证明:
若,且,使,则
;
(Ⅲ)记.若,,且,求的最大值.
北京市西城区xx高三一模试卷
高三数学(文科)参考答案及评分标准
xx.4
一、选择题:
本大题共8小题,每小题5分,共40分.
1.B;2.A;3.D;4.B;5.C;6.C;7.A;8.B.
二、填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.;10.;11.,;
12.;13.;14.,.
注:
11、14题第一问2分,第二问3分.
三、解答题:
本大题共6小题,共80分.若考生的解法与本解答不同,正确者可参照评分标准给分.
15.(本小题满分13分)
(Ⅰ)解:
依题意,得,………………1分
即
,………………3分
解得.………………5分
(Ⅱ)解:
由(Ⅰ)得.………………6分
………………8分
.………………10分
由
,
得,.………………12分
所以的单调递增区间为,.………………13分
16.(本小题满分14分)
(Ⅰ)证明:
在△中,
因为,,,
所以.………………2分
又因为,
所以平面.………………4分
(Ⅱ)解:
因为平面,所以.
因为,所以平面.………………6分
在等腰梯形中可得,所以.
所以△的面积为.………………7分
所以四面体的体积为:
.………………9分
(Ⅲ)解:
线段上存在点,且为中点时,有//平面,证明如下:
………………10分
连结,与交于点,连接.
因为为正方形,所以为中点.………………11分
所以//.………………12分
因为平面,平面,………………13分
所以//平面.
所以线段上存在点,使得//平面成立.………………14分
17.(本小题满分13分)
(Ⅰ)解:
设“甲临时停车付费恰为元”为事件,………………1分
则.
所以甲临时停车付费恰为元的概率是.………………4分
(Ⅱ)解:
设甲停车付费元,乙停车付费元,其中.………………6分
则甲、乙二人的停车费用构成的基本事件空间为:
,共种情形.………………10分
其中,
这种情形符合题意.………………12分
故“甲、乙二人停车付费之和为元”的概率为.………………13分
18.(本小题满分13分)
(Ⅰ)解:
的定义域为,且.………………2分
①当时,,故在上单调递增.
从而没有极大值,也没有极小值.………………4分
②当时,令,得.
和的情况如下:
↘
↗
故的单调减区间为;单调增区间为.
从而的极小值为
;没有极大值.………………6分
(Ⅱ)解:
的定义域为,且.………………8分
③当时,在上单调递增,在上单调递减,不合题意.
………………9分
④当时,,在上单调递减.
当时,,此时在上单调递增,由于在上单调递减,不合题意.………………11分
当时,,此时在上单调递减,由于在上单调递减,符合题意.
综上,的取值范围是.………………13分
19.(本小题满分14分)
(Ⅰ)解:
依题意,直线的斜率存在,设其方程为.………………1分
将其代入,整理得
.………………3分
设,,所以.………………4分
故点的横坐标为.
依题意,得,………………6分
解得.………………7分
(Ⅱ)解:
假设存在直线,使得,显然直线不能与轴垂直.
由(Ⅰ)可得.………………8分
因为,
所以
,
解得,即.………………10分
因为△∽△,
所以.………………11分
所以
,………………12分
整理得.………………13分
因为此方程无解,
所以不存在直线,使得.………………14分
20.(本小题满分13分)
(Ⅰ)解:
当时,由,
得
,
所以.………………3分
(Ⅱ)证明:
设,,.
因为,使,
所以,使得
,
所以,使得,其中.
所以与同为非负数或同为负数.………………6分
所以
.………………8分
(Ⅲ)解法一:
.
设中有项为非负数,项为负数.不妨设时;时,.
所以
因为,
所以,整理得.
所以
.……………10分
因为
;
又
,
所以
.
即.……………12分
对于,,有,,且,.
综上,的最大值为.……………13分
解法二:
首先证明如下引理:
设,则有.
证明:
因为,,
所以
,
即.
所以
.……………11分
上式等号成立的条件为,或,所以.……………12分
对于,,有,,且,.
综上,的最大值为.……………13分