圆的一般方程及标准方程的转换.docx

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圆的一般方程及标准方程的转换

圆的标准方程与一般方程的转换

1.已知方程x2+y2+Dx+Ey+F=0是圆的一般方程，则其标准方程为答案：

（x+D）2+（y+E）2=DE4F

224提示①：

将原方程配方并整理x2+Dx+（D）2+y2+Ex+（E）2-（D）2-（E）2+F=0

2222

22

（x+D）2+（y+E）2-DE4F=0

224提示②：

将常数项移至方程右边。

22

DED2E24F

（x+）2+（y+）2=

224

2.将圆的方程（x-a）2+（x-b）2=r2化为一般方程的形式，结果为答案：

x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0提示①：

将原方程去掉括号并整理

x2+y2-2ax-2by+a2+b2=r2

提示②：

将方程右边化为0

x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0

3.已知圆的一般方程为x2+y2+6x-8y=0，则其标准方程为

A、（x-3）2+（y-4）2=25B、（x-3）2+（y-4）2=5

C、（x+3）2+（y-4）2=25D、（x-3）2+（y-4）2=5

答案：

C提示①：

将原方程配方x2+6x+32+y2-8y+42-32-42=0

（x+3）2+（y-4）2-25=0

提示②：

将常数项移至方程右边

（x+3）2+（y-4）2=25

4.方程2（x+5）2+2y2=3表示一个圆，则这个圆的一般方程为A、2x2+2y2+20x+47=0B、2x2+2y2+20x=-47

4747

C、x2+y2+10x+47=0D、2x2+2y2+20x=-4722

答案：

C提示①：

将原方程去括号并整理

2x2+2y2+20x+50=3提示②：

将方程右边化为0

2x2+2y2+20x+47=0提示③：

将x2、y2系数化为1

47x2+y2+10x+47=0

2

5.圆C的方程为：

x2+y2+4x-4y+4=0，则圆C的圆心坐标为_

A、（-4,4）B、（4,-4）

C、（2,-2）D、（-2,2）

答案：

D提示①：

将原方程配方并整理

x2+4x+22+y2-4y+22-22-22+4=0（x+2）2+（y-2）2-4=0提示②：

将常数项移至方程右边

（x+2）2+（y-2）2=4

提示③：

根据标准方程（x-a）2+（x-b）2=r2的圆心坐标为（a，b），题中圆的圆心坐标为（-2，2），选D。

6.已知圆的方程为x2+y2-6x-16=0，那么该圆的半径为。

答案：

5

提示①：

将原方程配方并整理

x2-6x+32+y2-32-16=0

（x-3）2+y2-25=0提示②：

将常数项移至方程右边

（x-3）2+y2=25提示③：

根据圆的标准方程（x-a）2+（x-b）2=r2的半径为r，所以r2=25，r=5.

7.已知圆的标准方程为x2+（y+4）2=1，那么圆的一般方程形式为答案：

x2+y2+8y+15=0提示①：

将原方程括号散开并整理

x2+y2+8y+16=1

提示②：

将方程右边化为0x2+y2+8y+15=0

8.圆心坐标为（1，-2），半径为3的圆的一般方程为

A、x2+y2+2x-4y+2=0B、x2+y2-2x+4y+2=0

C、x2+y2+2x-4y-4=0D、x2+y2-2x+4y-4=0

答案：

D

提示①：

根据题意圆的标准方程为（x-1）2+（y+2）2=32

提示②：

将方程去掉括号并整理x2+y2-2y+4y+5=9

提示③：

将方程右边化为0x2+y2-2x+4y-4=0

9.若下列方程在直角坐标系中对应的曲线为一个圆，那么圆心在x轴上的是___。

A、x2+y2+2x+1=0B、x2+y2+2x-1=0

C、x2+y2+2x+2y+1=0D、x2+y2+2y-1=0

答案：

B

提示①：

圆心在x轴上，则圆心的纵坐标为0，所以圆的一般方程的y的一次系数为0，排除C、D两项。

提示②：

将A、B配方后化成标准方程的形式分别为A:

（x+1）2+y2=0，B:

（x+1）2+y2=2

提示③：

A方程所表示的不是圆，选B。

10.已知方程x2+y2+mx+ny=0是一个圆的方程，且圆心为（-1，-2），则m=___,n=___。

答案：

2，4

提示①：

将方程配方并整理

x2+mx+（m）2+y2+ny+（n）2-（m）2-（n）2=0

2222

n2

2

x+m）2+（y+n）2=m

224

提示②：

根据标准方程（x-a）2+（x-b）2=r2的圆心为（a，b），-m=-1，

2

-n=-2，所以m=2，n=4.

2

11.已知圆C的方程为x2+y2+4mx-（2m-2）y-n2=0，其圆心在直

线x+y=3上，则m=___。

答案：

-4提示①：

将方程配方并整理x2+4mx+（2m）2+y2-（2m-2）y+（m-1）2-（2m）2-（m-1）2-n2=0（x+2m）2+[y-（m-1）]2=（2m）2+（m-1）2+n2提示②：

根据标准方程（x-a）2+（x-b）2=r2的圆心为（a，b），可知题中圆C的圆心坐标为（-2m，m-1）

提示③：

圆心过直线x+y=3，将圆心坐标代入直线方程

-2m+m-1=3

解得m=-4.

12.若圆x2+y2+2kx-2y+2=0与两坐标轴无公共点，那么k的取值范围是。

A、-2

C、k≤-2或k≥2D、k<-2或k>2

答案：

D

提示①：

将圆的方程配方并写成标准方程形式x2+2kx+k2+y2-2y+12-k2-12+2=0（x+k）2+（y-1）2=k2-1

提示②：

根据标准方程（x-a）2+（x-b）2=r2的圆心为（a，b），可知题中圆心坐标为（-k，1）提示③：

圆与坐标周无公共点，圆心的横坐标和纵坐标的绝对值都小于半径。

（-k）2

k<-2或k>2，选D。

13.圆C1的方程为x2+y2-4x+6y+4=0,圆C2与圆C1关于坐标原点对称，则圆C2一般方程为___。

A、x2+y2+4x-6y+4=0B、x2+y2-4x-6y+4=0

C、x2+y2+4x+6y+4=0D、x2+y2-4x+6y+4=0

答案：

提示①：

将圆C1的方程配方并化为标准方程形式x2-4x+4+y2+6y+9-4-9+4=0

（x-2）2+（y+3）2=32

提示②：

圆C1的圆心坐标为（2，-3），圆C2与圆C1关于原点对称，圆C2的圆心坐标为（-2，3），半径与圆C1相同为3。

圆C2的标准方程为（x+2）2+（y-3）2=32

提示③：

将标准方程化为一般方程为x2+y2+4x-6y+4=0，选A。

14.若方程x2+y2+4kx-2y+5=0表示一个圆，那么k的取值范围是

___。

、-1≤k≤1

A、k<-1或k>1

、-1

C、k≤-1或k≥1答案：

A提示①：

将方程配方并化成标准方程的形式x2+4kx+（2k）2+y2-2y+12-（2k）2-12+5=0

（x+2k）2+（y-1）2=4k2-4提示②：

圆标准方程右边表示半径平方，需大于0，4k2-4>0解得k<-1或k>1，选A。

15.圆心坐标为（3，4）且过原点的圆的一般方程为。

答案：

x2+y2-6x-8y=0

提示①：

圆心的坐标（3，4），原点的坐标（0，0），其距离为3242=5，圆的半径为5

提示②：

圆的标准方程为（x-3）2+（y-4）2=52提示③：

去掉括号并化为一般方程为x2+y2-6x-8y=0

16.已知圆的方程为（3x+1）2+（3y-1）2=11，那么圆的一般方程为。

答案：

x2+y2+2x-2y-1=0

33

提示①：

将方程去掉括号9x2+6x+1+9y2-6y+1=11提示②：

将方程右边常数移到左边并整理9x2+9y2+6x-6y-9=0提示③：

将二次项系数化为1，x2+y2+2x-2y-1=0

33

17.

如果下面各方程能对应的曲线是圆，那么原点在圆内的是__。

A、x2+y2-4x-4y=0B、x2+y2-4x-5=0

答案：

B提示①：

选项A的方程不含常数项，将原点坐标（0，0）代入后方程成立，则原点在A所示的曲线上，A不满足。

提示②：

将B、C、D的方程分别配方并写成圆标准方程的形式B：

（x-2）2+y2=9，C：

x2+（y-2）2=-1，D：

（x-2）2+（y-2）2=3提示③：

C右边小于0，方程表示的不是圆，C排除。

将原点坐标（0，0）分别代入B、D方程。

B左边=4<9，原点在圆内；D左边=8>3，原点在圆外。

选B。

18.下列圆中，必过原点的是___。

A、x2+y2=1B、x2+y2+x+y=1

C、x2+y2+x+y=0D、（x+1）2+（y+1）2=1

答案：

C

提示①：

将原点的坐标（0，0）分别代入A、B、C、D个方程中，只有C成立，选C。

19．圆心坐标为（-1，2），且与x轴相切的圆是___。

A、x2+y2+2x-4y+1=0B、x2+y2+2x-4y+4=0

C、x2+y2-2x+4y+1=0D、x2+y2-2x+4y+4=0

答案：

A

提示①：

圆与x轴相切，则圆的半径为圆心纵坐标的绝对值，圆心坐标为（-1，2），r=2.

提示②：

圆的标准方程为（x+1）2+（y-2）2=22提示③：

将方程去掉括号并化为一般方程的形式x2+y2+2x-4y+1=0，选A。

20．圆心坐标为（3，4），且与y轴相切的圆是___。

A、x2+y2+6x+8y+16=0B、x2+y2+6x+8y+9=0

C、x2+y2-6x-8y+16=0D、x2+y2-6x-8y+9=0

答案：

C

提示①：

圆与y轴相切，则圆的半径为圆心横坐标的绝对值，圆心坐标为（3，4），r=3.

提示②：

圆的标准方程为（x-3）2+（y-4）2=32提示③：

将方程去掉括号并化为一般方程的形式x2+y2-6x-8y+16=0，选C。

21.与圆（x+a）2+（y+b）2=r2是同心圆的是___。

A、x2+y2+2ax-2by=0B、x2+y2-2ax-2by=0

C、x2+y2-2ax-2by=0D、x2+y2+2ax+2by=0

答案：

D

提示①：

将（x+a）2+（y+b）2=r2散开并化为一般方程x2+y2+2ax+2by+a2+b2-r2=0

提示②：

只有D项的一次系数和一般方程相同，选D.

22.与圆x2+y2-6x-4y=0半径相同的圆是___。

A、x2+y2-8x-2y=0B、x2+y2-2x-12=0

C、x2+y2-4x-4y=0D、x2+y2=169

答案：

B

提示①：

将原方程配方并化为标准方程（x-3）2+（y-2）2=13，半径

r=13

提示②：

将A、B、C、D分别配方并化为标准方程

A:

（x-4）2+（y-1）2=17，B：

（x-1）2+y2=13，C：

（x-2）2+（y-2）2=8，D：

x2+y2=169只有B所示的圆的半径为13，选B.

23.圆x2+y2+2mx-2ny-1=0的圆心为（1，1），则m=__,n=__。

答案：

-1，1

提示①：

将方程配方并化为标准方程（x+m）2+（y-n）2=m2+n2+1提示②：

圆的坐标为（-m，n），-m=1，n=1.

所以m=-1，n=1

24.圆x2+y2+ax+b=0的圆心必在___轴上。

答案：

x

提示①：

将方程配方化为标准方程的形式（x+a）2+y2=-b+（a）2，

22圆心坐标为（-a，0），必在x轴上。

2

提示②：

圆的一般方程不含y的一次项，则圆心的纵坐标为0，圆心在x轴上。

25.圆x2+y2+ay+b=0的圆心必在___轴上。

答案：

y

提示①：

将方程配方化为标准方程的形式x2+（y+a）2=-b+（a）2，

22圆心坐标为（0，-a），必在y轴上。

2

提示②：

圆的一般方程不含x的一次项，则圆心的横坐标为0，圆心在y轴上。

26.圆x2+y2+b=0的圆心必为___。

答案：

原点

提示①：

题中圆的标准方程为x2+y2=-b，根据标准方程（x-a）2+（x-b）2=r2的圆心为（a，b），圆心为原点（0，0）

27.圆x2+y2+ay+by=0必过___。

答案：

原点

提示①：

题中圆的一般方程不含常数项，将（0，0）代入方程，方程成立，圆必过原点。