信息论与编码理论第二章习题答案王育民.docx
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信息论与编码理论第二章习题答案王育民
信息论与编码理论第二章习题答案(王育民)
部分答案,仅供参考。
2.1信息速率是指平均每秒传输的信息量
点和划出现的信息量分别为
,
一秒钟点和划出现的次数平均为
一秒钟点和划分别出现的次数平均为
那么根据两者出现的次数,可以计算一秒钟其信息量平均为
2.3解:
(a)骰子A和B,掷出7点有以下6种可能:
A=1,B=6;A=2,B=5;A=3,B=4;A=4,B=3;A=5,B=2;A=6,B=1
概率为6/36=1/6,所以信息量
-log(1/6)=1+log3≈2.58bit
(b)骰子A和B,掷出12点只有1种可能:
A=6,B=6
概率为1/36,所以信息量
-log(1/36)=2+log9≈5.17bit
2.5解:
出现各点数的概率和信息量:
1点:
1/21,log21≈4.39bit;2点:
2/21,log21-1≈3.39bit;3点:
1/7,log7≈2.81bit;
4点:
4/21,log21-2≈2.39bit;5点:
5/21,log(21/5)≈2.07bit;
6点:
2/7,log(7/2)≈1.81bit
平均信息量:
(1/21)×4.39+(2/21)×3.39+(1/7)×2.81+(4/21)×2.39+(5/21)×2.07+(2/7)×1.81≈2.4bit
2.7解:
X=1:
考生被录取;X=0:
考生未被录取;
Y=1:
考生来自本市;Y=0:
考生来自外地;
Z=1:
考生学过英语;Z=0:
考生未学过英语
P(X=1)=1/4,P(X=0)=3/4;P(Y=1/X=1)=1/2;P(Y=1/X=0)=1/10;
P(Z=1/Y=1)=1,P(Z=1/X=0,Y=0)=0.4,P(Z=1/X=1,Y=0)=0.4,P(Z=1/Y=0)=0.4
(a)P(X=0,Y=1)=P(Y=1/X=0)P(X=0)=0.075,P(X=1,Y=1)=P(Y=1/X=1)P(X=1)=0.125
P(Y=1)=P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=1)=0.2
P(X=0/Y=1)=P(X=0,Y=1)/P(Y=1)=0.375,P(X=1/Y=1)=P(X=1,Y=1)/P(Y=1)=0.625
I(X ;Y=1)=
P(X=1,Y=0,Z=1)=P(Z=1/X=1,Y=0)*P(X=1,Y=0)=0.4*(0.25-0.125)=0.05
P(X=1,Y=0,Z=0)=P(Z=0/X=1,Y=0)*P(X=1,Y=0)=0.6*0.125=0.075
P(X=1,Y=1,Z=1)=P(X=1,Z=1)-P(X=1,Y=0,Z=1)=0.175-0.05=0.125
P(X=1,Y=1,Z=0)=0
P(X=0,Y=1,Z=0)=0
P(X=0,Y=1,Z=1)=P(X=0,Z=1)-P(X=0,Y=0,Z=1)=0.345-0.27=0.075
H(XYZ)=-0.405*log0.405-0.27*log0.27-0.05*log0.05-0.075*log0.075-0.125*log0.125-0.075*log0.075=(113/100)+(31/20)log10-(129/50)log3=0.528+0.51+0.216+0.28+0.375+0.28=2.189bit
H(Z/XY)=H(XYZ)-H(XY)=-28/25+(4/5)log10-12/25log3=0.775bit
2.9解:
A,B,C分别表示三个筛子掷的点数。
X=A,Y=A+B,Z=A+B+C
由于P(A+B+C/A+B)=P(C/A+B)=P(C)
所以H(Z/Y)=H(A+B+C/A+B)=H(C)=log6=2.58bit
H(X/Y)=H(A/Y)
Y
组合数目
组合情况(A+B)
P(A=a/Y=y)
12
1
6+6
1
11
2
5+6,6+5
1/2
10
3
4+6,5+5,6+4
1/3
9
4
3+6,4+5,5+4,6+3
1/4
8
5
...
...
7
6
1+6,2+5,3+4,4+3,5+2,6+1
1/6
6
5
...
...
5
4
...
...
4
3
...
...
3
2
...
...
2
1
1+1
1
一共36种情况,每种情况的概率为1/36,即P(A=a,Y=y)=1/36
H(X/Y)=H(A/Y)=(1/36)[(-1*log1-2*log(1/2)-3*log(1/3)-4*log(1/4)-5*log(1/5))*2-6*log(1/6)]=1.89bit
由于P(A+B+C/A+B,A)=P(C/A+B,A)=P(C)
H(Z/XY)=H(C)=log6=2.58bit
由于P(A=x,A+B+C=z/A+B=y)=P(A=x,C=z-y/A+B=y)=P(A=x/A+B=y)P(C=z-y/A+B=y)=
P(A=x/A+B=y)P(C=z-y)=P(A/Y)P(C)
P(A/Y)上面已经给出。
Y
组合数目
组合情况(A+B+C)
P(A=x,A+B+C=z/A+B=y)
12
6
6+6+1,6+6+2,....,6+6+6
1/6
11
12
...
1/12
10
18
...
1/18
9
24
...
1/24
8
30
...
...
7
36
...
1/36
6
30
...
...
5
24
...
...
4
18
...
...
3
12
...
...
2
6
...
1/6
一共216种情况,每种情况的概率为1/216,即P(XYZ)=1/216
H(XZ/Y)=(1/216)[(-6*log(1/6)-12*log(1/12)-18*log(1/18)-24*log(1/24)-30*log(1/30))*2-36*log(1/36)]=
(1/36)*[(log6+2log12+3log18+4log24+5log30)*2+6log36]=4.48bit
由于P(Z/X)=P(B+C/A)=P(B+C)
B+C的组合共36种:
B+C
组合数目
组合情况(B+C)
P(Z/X)
12
1
6+6
1/36
11
2
5+6,6+5
2/36
10
3
4+6,5+5,6+4
3/36
9
4
3+6,4+5,5+4,6+3
4/36
8
5
...
...
7
6
1+6,2+5,3+4,4+3,5+2,6+1
5/36
6
5
...
...
5
4
...
...
4
3
...
...
3
2
...
...
2
1
1+1
1/36
=(1/36)*{[log36+2log(36/2)+3log(36/3)+4log(36/4)+5log(36/5)]*2+6log(36/6)}bit
2.11解:
P(0/0)=P(1/1)=1-p,P(1/0)=P(0/1)=p
(a)P(ul)=1/8
P(ul,0)=P(ul)×P(0/ul)=(1/8)×(1-p)
接收的第一个数字为0的概率:
P(0)=P(ul)×P(0/ul)+P(u2)×P(0/u2)+…….P(u8)×P(0/u8)
=4×(1/8)×(1-p)+4×(1/8)×p=1/2
I(ul;0)=log[P(ul,0)/P(0)P(ul)]=1+log(1-p)
(b)P(ul,00)=P(ul)×P(00/ul)=(1/8)×(1-p)2
P(00)=P(ul)×P(00/ul)+P(u2)×P(00/u2)+…….P(u8)×P(00/u8)
=2×(1/8)×(1-p)2+4×(1/8)×p(1-p)+2×(1/8)×p2
=1/4
I(ul;00)=log[P(ul,00)/P(00)P(ul)]=2+2log(1-p)
(c)P(ul,000)=P(ul)×P(000/ul)=(1/8)×(1-p)3
P(000)=P(ul)×P(000/ul)+P(u2)×P(000/u2)+…….P(u8)×P(000/u8)
=(1/8)×(1-p)3+3×(1/8)×p(1-p)2+3×(1/8)×p2(1-p)+(1/8)×p3
=1/8
I(ul;000)=log[P(ul,000)/P(000)P(ul)]=3+3log(1-p)
(d)P(ul,0000)=P(ul)×P(0000/ul)=(1/8)×(1-p)4
P(0000)=P(ul)×P(0000/ul)+P(u2)×P(0000/u2)+…….P(u8)×P(0000/u8)
=(1/8)×(1-p)4+6×(1/8)×p2(1-p)2+(1/8)×p4
I(ul;0000)=log[P(ul,0000)/P(0000)P(ul)]=
2.12解:
Z
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
概率
1/63
3/63
6/63
10/63
15/63
21/63
25/63
27/63
27/63
25/63
21/63
15/63
10/63
6/63
3/63
1/63
I(Y;Z)=H(Z)-H(Z/Y)
I(X;Z)=H(Z)-H(Z/X)
I(XY ;Z)=H(Z)-H(Z/XY)
I(Y;Z/X)=I(XY;Z)-I(X;Z)
I(X;Z/Y)=I(XZ;Y)-I(Y;Z)=H(XZ)-H(XZ/Y)-I(Y;Z)=H(X)+H(Z/X)-H(XZ/Y)-I(Y;Z)
以上可以根据2.9的结果求出
2.27解:
考虑到约束条件
采用拉格朗日乘子法
当且仅当
时,等式成立。
将
带入
:
实现最大微分熵的分布
,相应的熵值log(me)
2.29证明:
(a)
所以Q(x)为概率分布。
(b)即证明熵的凸性。