完整版勾股定理典型例题详解及练习附答案.docx
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完整版勾股定理典型例题详解及练习附答案
典型例题
知识点一、直接应用勾股定理或勾股定理逆定理
例1:
如图，在单位正方形组成的网格图中标有ABCDEF、GH四条线段,其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）
1）题意分析：
本题考查勾照定理及勾股定理的逆定理./
2）解题思踏；可利用勾照定理直接求出各也长，再进行判断.卜解答过程：
#
ai^AEAF中，AF=hAE=2,根据勾股定理，得。
跻=J招己'十』十F=姊
同理=2思*QH.=1CD=2^5
计算发现（右尸十0招”=（雁沪t即/费+寥=奇,根据勾股定理的迎定理得到以AE、EF、GH为也的三角形是直角三角形.故选B.*
解题后B0思考、
1.勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角形.因此，解跑时一定要认真分析题目所蛤条件，看是否可用勾股定理来解n，
L在运用勾股定理时，要正确分析题目所给的条件，不要习惯性地认为七”就是斜诳而.固执"地运用公式"二/十舛其实，同样是四"6NC不一定就等于叩幻I不一定就是斜遮，AABC不一定就是直角三痢形.卜
3.直角三角形的判定条件与勾股定理是互逆的.区别在于勾股定理的运用是一个从"形胡（一个三角形是直角三角形）到板'3’=疽十瑟）的辿程，而直角三角形的判定是一个从W〔一个三角形的三满是L=^+广的条件）到胃形'这个三弟形是直急三甬形）的过程.甘
1在应用勾股定理解题时，要全面地毒虑问题.注意m题中存在的多种可能性，避免漏解。
/
例2-如图'有一块直角三角形舐板幽G两直角边ACMkm,BWg现博直甬边AC沿直线AD折叠,庾它落在斜辿AB上,且点C落到点E处,则CD等于（E
C。
A.2cmB.3cmC4anD5cm*"iiEMraZJVI:
『
n暴意分析，本题考查勾股定理的应用，
：
）解题思路；本题若直接在△XOQ中运用勾股定理是无法求得®ffi长的，因为只知道一条迫应。
的蛇，由题意可知，AACD和AAFD关于直线业对称.因而^ACD^hAED.在一步则有也刁伊位m,CZAEDED±AB,设密牛则在RtAABO中，由勾股定理可得^=^（^+^=^83=100,#AB=10cm,在底△HDE中，WClO-fl）"=（8—x）孔解得好3。
妃
够瞄，Bp
解题后的思季必
勾股定理说到底是一个等式，而含有未知数的等式就是方程。
所以，在利用勾
股定理求线段的长时常通过解方程来解决。
勾股定理表达式中有三个量，如果
条件中只有一个已知量，必须设法求出另一个量或求出另外两个量之间的关系，
这一点是利用勾股定理求线段长时需要明确的思路。
方程的思想：
通过列方程（组）解决问题，如：
运用勾股定理及其逆定理求线段的长度或解决实际问题时，经常利用勾股定理中的等量关系列出方程来解
决问题等。
例3:
一场罕见的大风过后，学校那棵老杨树折断在地，此刻，张老师正和占
明、活华、绣业、冠华在楼上凭栏远眺。
活华开口说道：
“老师，那棵树看起来挺高的。
”
“是啊，有10米高呢，现在被风拦腰刮断，可惜呀！
”
“但站立的一段似乎也不矮，有四五米高吧。
”冠华兴致勃勃地说。
张老师心有所动，他说：
“刚才我跑过时用脚步量了一下，发现树尖距离树根恰好3米，你们能求出杨树站立的那一段的高度吗？
”
占明想了想说：
“树根、树尖、折断处三点依次相连后构成一个直角三角形。
”
“勾股定理一定是要用的，而且不动笔墨恐怕是不行的。
”绣业补充说。
几位男孩子走进教室，画图、计算，不一会就得出了答案。
同学们，你算出来了吗？
思路分析：
1）题意分析：
本题考查勾股定理的应用
2）解题思路：
本题关键是认真审题抓住问题的本质进行分析才能得出正确
的解答
又,gp仲+
329
设直弟三角形曲三边长分别为”，b"。
如图，则耳二3米c-b
匚+心1010（米）.♦
10J
&=」（*）一（。
—切］项1U
解得22\
解睡后的够“
这是一道阅读理解类试题。
这种!
a型特点鲜明、内容丰富、超楚常规，源于噪本，高于暝本，不仅考查阅谩能力，而且还季会考杳数学意识和敏学绿合应用能力，尤其考查数学思笛能力和创新意识。
解题时，一般是通过阅读，理解概念，掌握方法，领悟思想，抓住本面然后才能解答问题”
知识点二构造直角三角形使用匈股定理
例4；如图，一个长方体形的木柜欣在墙角妙（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁M柜角H处沿着木柜表面爬到柜角览处.『
⑴请你画出蚂蚁能重最快到达目的地•的可能路径；"
⑵当朋=4,^C=4°。
1=5时，求蚂蚊飓过的最短路径的长
（3）求点民到最短路径的距篱口
1＞题意分栋本踱考查勾股定理的应用口h
23解题思路；解诀此类间题的关曜是把立体图形间题转化为平面图形间题-从而利用句股定理解决.路径虽无数最短却唯一，要注意弄浩哪一条路役是最晅的.u
解答过程！
（1）如图，木柜的表面展开圈是两个矩形此g和招。
5*
r
蛆蚁能够最快到i±目的地的可官命径有如图的&G和术L
V）蚂蚁沿着木柜表面经线段4昆到G,膜过的路径的长是
4孑+（4+5沪二府
蚂蚁沿着木柜表面经线段占用到爬迎的蹈役的长是』/瑚4十4矿机七屈..
最短路径的长是4=婉。
*
耶=业AA=^=5=—^
⑶作v侦g于瓦则成＞尽、q为
所求.♦
解题后的思善…
转化的思想是将复杂间题转化、分解为简单的问题或将陌生的可题转化为熟悉的间题来姓理的一种思想方法■如M在许多实际问题中，首先将坤司题肴化为数学问题，另外'当间题中没有猫出直角三甫形时，it
常通过作辅助线构造直角三角形将它们转化为直角三角形问题等。
例5,有一块直角三角形的绿地，应得两直角边长分别为6m，8m.现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以蛆为直角迫的直角三角形*求扩充后等腆三角形绿地的周长。
钉
思踌分析：
此题如有图形将交得很简单，按图形解答艮四!
.但若没有图形，则需募讨论几种可能的情况.这正是状无图题前细思卷分类讨论保周到7
解答这聂*在Rt△弟BC中，ZACB-90a,AC-^,BC-6f由勾股定理有；虫二0扩充部分为Rt'ACd扩充成等腰△迎n应分以K三种情况=①如图L当如二AZ）二10时，可求CD"B=6,得△曷〃的周长为冀血②如图2,当网四=占£=10时，可求CD=4t由勾股定理得，也J4由，得△心。
的周长为'20+4^'ni-Q®nffl3,
25
当H吕为底时，设应）=2刀=石皿亡/＞二茫-6,由勾股定理得：
、一为，
80
分类讨论思想是解题时常用的一种思想方法，同学们如果掌握了这种方法，可以使思维的条理性、缜密性、灵活性得到培养，才能在解题中真正做到不重不漏。
知识点三、勾股定理及其逆定理的正逆混用
例6:
（1）图甲是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形。
若大正方形的面积为13,每个直角三角形两条直角边的和是5,求中间小正方形的面积。
（2）现有一张长为6.5cm、宽为2cm的纸片，如图乙，请你将它分割成6块，再拼合成一个正方形。
（要求：
先在图乙中画出分割线，再画出拼成的正方形并标明相应数据）
析；.
1）题意分析：
本题考查利用勾股定理进行图形的拼割59接“
2）解题思路：
注意拼捂过程中面积是不变的，
（1）设直弟三角形的较长直角也长为a,较短直角也长为b,则小正方形的边长为a-ba由题意得
a+3=5①n
由勾股定理，得尸+趾=13②.，
①2—@^2展=12j
所以俗-伏二/+/-2*73-12=1③/
即所求的中间小正方形的面积为1。
（2）所拼成的正方形的面积为6.5x2=13（二以），所以可按照图甲制作.#
由③得。
-8=1/
由①、③组成方程组解得。
羊，b=2^
结合题意，每个直角三角形的较长直角边只能在纸片6.5cm的长边上截取，去掉四个直角三角形后，余下的面秋为
13——x3x2x4=13—12=l（c京）
2，恰好等于中间的小正方形的面积.
于是，得到以下分割拼合方法：
“
解题后的思考=这是一道综合题，根据题目所提供的信息是不难解决问题的，但是，要注意掌握和运用好题目所给的各个有用信息，否则，间题就不容易得到解决・/知识点四,连续应用勾股定理U
例&如图，以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABAp再以等腰直角三角形ABAi的斜边为直角协向外作第3个等腰直角三角形AiBBp……，如此作下去，若。
A=OB=1,则第n个等腰直角三命形的面积嬴=
1）题意分析：
本题考查利用勾股定理进行归纳推理-
2）解题®路：
先在。
中，由OA=QB=1求出AB=以：
再
在giAABAl中，由AB=AAx=^2求出A】B=2,；再分别求出△
AOB、AABAisAAiBBis……的面积，从中发现规律，猜想出结论。
丁
在RtAAB0中，由ZAOB=90°,OA=OB=1»可求出AB=龙，S
T2
aqb=2x[x]=2=2'；在E|Z\ABAi中，由/AiAB=90°,AB=AA】=
1
也,可求出A】B=2,S2=2x72x^=l=2°；在g^AiBB】中，由N
1
AiBBi=90%AiB=BBi=2,可求出AiBi=2&,S3-2x2x«^
2=2=21.在RtAAjB2Bi中,由ZB2AlB1=90%A1B1=ALB2=2^,可
2
求出BiB：
｝=4,Sl2x2龙x2M=4=22；,由此可以猜想§t>=2a_2.^
解题后09思参美比归纳法是构种或两种以上在某些关系上表现相似的对象进行对比，作出归纳判断的一种科学研究方法.在中考数学中考查类比归纳法，旨在引导学生通过对知识的类比和归纳，把知识由点连成线，由线织成网，使知识有序化、系统化，从而使学生掌握知识内在的规律。
。
■P
预习导学。
下一讲我们将讲解四边形的应用，本讲内容是中考重点之一，如特殊四边形（平行四讥形、矩形、菱形、正方形、等腰悌形）的性质和判定，以及运用这些知识解决实际间题.中考中常以选择题、埴空题、解答题和证明题等形式呈现，近年的中考中又出现了开放题、应用题、阅读理解题、学科间踪合题、动点问题、折登问题夺，这些都是热点题型，应引起同学们高度关注.V
同步练习（答题时间：
60分钟）-
—\选择题3
1.如图，每个小正方形的边长为1,』、月、。
是小正方形的顶点，则/
A5C的度数为（）*
A.90°B.60°C.45°D.30F
在社会主义新农村建设中，为了丰富薛众生活，拟建一个文
2如图所示，A、B、C分别表示三个村庄，AB=1000米，BC=600米,AC=800米，
化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距茗相等，贝U活动中心P处的位置应在（
B.BC中点处—
D.匕CffJ平分线与AB的交点处-
A.AB中点处
C,AC中点姓
3.如图，长方体的长为15,宽为10,高为20,点8到点C的距离为5,一弟蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点用爬到点£,需要爬行的最短距蔑是（）3
C.1场+5
二、填空题一
4.某楼梯的侧面视图如图所示，其中AB=4米，N跛C=30°,NC=90°,因某种活动要求铺设红色地毯，则在段楼梯所铺地毯的长度应为OV
5.已知凰△ABC的周长是4+如疗,斜边上的中线长是2,则Sabc=
6如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm,高为6cm.如果用一根细维从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到i±点B,那么所用细雄最短需要cm；如果从点X开始经过4个侧面凝绕"圈到达点B,那么所用细线最短cm・—
7.图甲是我国古代著名的“赵爽弦图"的示意图，它是由四个全等的直甯三角形围成的.在琪2XABC中，若直角边AC=6,BC=6,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向夕卜延长一倍，得到图乙所示BT数学风车”,则这个风车的外困周长（图乙中的实线）是。
8.如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了跷开拐角走"捷径力,在花圃内走出了一条“路七他们仅仅少走了步路（假设2步为1
米），却踩伤了花草.2
9.如图所示的圆柱体中底面圆的半径是兀，高为2,若一景小虫从才点出发沿看圆柱体的侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路程是—（结果保笛根号）。
#
三、解答题3
10.如图，A,3是公路f（1为东西走向）两旁的两个村庄，乂村■到公路!
的距篱AC=lkm,B村到公路?
的距篱财=2km,3村在J1村的南偏东45方向上.-
北
4~^东
（1）求出45两村之间的距离；3
（2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站R要求该车站到两村的距蔑相等，请用尺规在图中作出点P的位置（保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法）.。
你热爱生命吗？
那么别浪费时间.因为时间是组成生命的材料--富兰克林
试题答案”
1.（2+2招）米
2.舞
3.10,2由十16注（或J36十64#）【解析】由题意得：
郭线从点为开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B,其最短长度为将长方体的四个JM面展开即可构成一个直角边分别为8cm和6cm的直角三角形，所以细线的最短长度应为10cms当细线统过四个侧面哙n圈时，到达点B的最短长度为2』9+16/（或J36+64疽）crnp
6油I\A
4.76【解析】如图，BD=—2+5=13,6,^
D
风至的外围周长=4乂13+6）76/
6.2也y
7.解析；
（1）方法一：
设』召与CZ）的交点为。
，根据题意可得zS4=Z5=45°.2
：
-^ACO和△3疚?
都是等腰直角三角形.。
.*.AO—^2,BO—2^20+»
/.刀3两村之间的距薯为AB=AO^rBO=72+2^/2=3^2（km）。
v
方法二过点月作直窈的平行线交4。
的诞长线于占（图略》。
v
易证四边形CDBS是矩形，“
CE=BD=2./
在Rt△姬B中，由匕4=45°,可得3丘=屈4=3・“
.•.AB=J号十矿=3很（km）心
.*•孔8两村的距离为。
（2）作图正确，痕迹清浙./
作法；①分别以点山占为圆心，以大于£的长为半径作弧，两弧交于两点MN,2
作直线MN.,3
②直线枷交奶于点已点尸即为所求.3
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