寒假半角模型讲课教案.docx

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寒假半角模型讲课教案

2018寒假半角模型

半角模型

过等腰△ABC（AB=AC）顶角A引两条射线且它们的夹角为

∠A，这两条射线与底角顶点的相关直线交于M、N两点，则BM、MN、NC之间必然存在固定的关系，这种关系仅与两条相关直线及顶角A相关

解决办法：

以A为中心，把△CAN（顺时针或逆时针）旋转α度，至△ABN’，连接MN‘

结论：

1、△AMN≌△AMN’，MN=MN‘

2、若BM、MN’、N‘B共线，则存在x+y+z型的关系

若不共线，则△BMN’中，∠MBN‘必与∠A相关

应用环境：

1、顶角为特殊角的等腰三角形，如顶角为30°、45°、60°、75°90°，或它们的补角为这些特殊角度的时候；

2、正方形、菱形等也能产生等腰三角形

3、过底角顶点的两条相关直线：

底边、底角两条角平分线、腰上的高、底角的邻补角的两条角平分线，底角的邻余角另外两边等；正方形或菱形的另外两边

4、此等腰三角形的相关弦

半角模型

条件：

思路：

（1）、延长其中一个补角的线段

（延长CD到E，使ED=BM，连AE或延长CB到F，使FB=DN，连AF）

结论：

①MN=BM+DN②

③AM、AN分别平分∠BMN和∠DNM

（2）对称（翻折）

思路:

分别将△ABM和△ADN以AM和AN为对称轴翻折，但一定要证明M、P、N三点共线.（∠B+∠D=

且AB=AD）

例题应用：

例1、在正方形ABCD中，若M、N分别在边BC、CD上移动，且满足MN=BM+DN，求证：

①.∠MAN=

②.

③.AM、AN分别平分∠BMN和∠DNM.

思路同上略.

例2拓展：

在正方形ABCD中，已知∠MAN=

，若M、N分别在边CB、DC的延长线上移动，

①.试探究线段MN、BM、DN之间的数量关系.

②.求证：

AB=AH.

（提示）

例3.在四边形ABCD中，∠B+∠D=

，AB=AD，若E、F分别在边BC、CD上，且满足EF=BE+DF.求证：

（提示）

例4，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=2∠DAE=120°，若BD=5，CE=8，求DE。

例五.请阅读下列材料：

已知：

如图1在

中，

，

，点

、

分别为线段

上两动点，若

．探究线段

、

、

三条线段之间的数量关系．

小明的思路是：

把

绕点

顺时针旋转

，得到

，连结

，

使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：

（1）猜想

、

、

三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；

（2）当动点

在线段

上，动点

运动在线段

延长线上时，如图2，其它条件不变，⑴中探究的结论是否发生改变？

请说明你的猜想并给予证明．

例6探究：

（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，试判断BE、DF与EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：

；

（2）如图2，若把

（1）问中的条件变为“在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=

∠BAD”，则

（1）问中的结论是否仍然成立？

若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；

（3）在

（2）问中，若将△AE

F绕点A逆时针旋转，当点分别E、F运动到BC、CD延长线上时，

如图3所示，其它条件不变，则

（1）问中的结论是否发生变化？

若变化，请给出结论并予以证明..

练习巩固1：

如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=

，AB=AD，若E、F分别在边BC、CD上的点，且

.求证：

EF=BE+DF.

（提示）

练习巩固2，已知：

正方形

中，

，绕点

顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．

（1）如图1，当

绕点

旋转到

时，有

．当

绕点

旋转到

时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？

如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；

（2）当

绕点

旋转到如图3的位置时，线段

和

之间有怎样的等量关系？

请写出你的猜想，并证明．

练习巩固3

（1）如图，在四边形

中，

，

分别是边

上的点，且

．求证：

;

（2）如图在四边形

中，

，

分别是边

上的点，且

，

（1）中的结论是否仍然成立？

不用证明．

（3）如图，在四边形

中，

，

，

分别是边

延长线上的点，且

，

（1）中的结论是否仍然成立？

若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．

（4）如图①，将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠（点E、F分别在边AB、CD上），使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P，连接EP．

（1）如图②，若M为AD边的中点，

①△AEM的周长=　6　cm；

②求证：

EP=AE+DP；

（2）随着落点M在AD边上取遍所有的位置（点M不与A、D重合），△PDM的周长是否发生变化？

请说明理由．

（5）.如图17，正方形ABCD，E、F分别为BC、CD边上一点．

（1）若∠EAF=45º．求证：

EF=BE+DF．

（2）若⊿AEF绕A点旋转，保持∠EAF=45º，问⊿CEF的周长是否随⊿AEF位置的变化而变化？

（3）已知正方形ABCD的边长为1，如果⊿CEF的周长为2．求∠EAF的度数．

练习巩固4.如图，五边形ABCDE中，AB=BC=CD=DE=EA，

，求∠BAE

练习巩固5.如图，已知在正方形ABCD中，

=45°，连接BD与AM，AN分别交于E、F两点。

求证：

（1）MN=MB+DN；

（2）点A到MN的距离等于正方形的边长；

（3）

的周长等于正方形ABCD边长的2倍；

（4）

；

（5）若

=20°，求

；

（6）若

，求

；

（7）

；

（8）

与

是等腰三角形；

（9）

。

练习巩固6.在等边

的两边

，

所在直线上分别有两点

为

外一点，且

，

，

，探究：

当点

分别爱直线

上移动时，

之间的数量关系及

的周长

与等边

的周长

的关系．

（1）如图①，当点

在边

上，且

时，

之间的数量关系式_________；此时

__________

（2）如图②，当点

在边

上，且

时，猜想

（1）问的两个结论还成立吗？

写出你的猜想并加以证明；

（3）如图③，当点

分别在边

的延长线上时，若

，则

_________（用

表示）

练习巩固7.如图所示，△ABC是边长为1的等边三角形，△BDC是顶角为120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的∠MDN，点M，N分别在AB，AC上，求△AMN的周长

练习巩固8.如图，在正方形ABCD中，BE=3，EF=5，DF=4，求∠BAE+∠DCF为多少度。

巩固练习9、（三新练习册P131）如图1，Rt△ABC≌Rt△EDF，∠ACB=∠F=90°，∠A=∠E=30°．△EDF绕着边AB的中点D旋转，DE，DF分别交线段AC于点M，K．

（1）①如图2、图3，当∠CDF=0°或60°时，AM+CK_______MK（填“>”，“<”或“=”）．

②如图4，当∠CDF=30°时，AM+CK___MK（只填“>”或“<”）．

（2）猜想：

如图1，当0°＜∠CDF＜60°时，AM+CK_______MK，证明你所得到的结论．

（3）如果

，请直接写出∠CDF的度数和

的值．

**必会结论--------图形研究正方形半角模型

【例】已知：

正方形

，

、

分别在边

、

上，且

，

、

分别交

于

、

，连

.

一、全等关系

（1）求证：

①

；②

；③

平分

，

平分

.

二、相似关系

（2）求证：

①

；②

；③

.

（3）求证：

④

；⑤

；⑥

.

三、垂直关系

（4）求证：

①

；②

；③

.

（5）、和差关系

求证：

①

；②

；

③

.

中考链接----正方形二相关题型--半角模型

1，（2016石景山28）．在正方形ABCD中，E为边CD上一点，连接BE．

（1）请你在图-1画出△BEM，使得△BEM与△BEC关于直线BE对称；

（2）若边AD上存在一点F，使得AF+CE=EF，请你在图2中探究∠ABF与

∠CBE的数量关系并证明；

（3）在

（2）的条件下，若点E为边CD的三等分点，且CE

cos∠FED的思路．（可以不写出计算结果）．

图1图2备用图

答案

石景山28．

（1）补全图形，如图1所示．

…………………………………1分

（2）

与

的数量关系：

．………2分

证明：

连接

，

，延长

到

，使得

，连接

…3分

∵四边形

为正方形，

∴

，

．

∴△

≌△

．

∴

，

．

∵

，

∴

．……………………4分

∴△

≌△

．

∴∠

=∠

．

∴

．………………5分

（3）求解思路如下：

a．设正方形的边长为

，

为

，则

，

；

b．在Rt△

中，由

可得

从而得到

与

的关系

；

c．根据cos∠FED

，可求得结果．………7分

2，（2016门头沟28）．在正方形ABCD中，连接BD．

（1）如图1，AE⊥BD于E．直接写出∠BAE的度数．

（2）如图1，在

（1）的条件下，将△AEB以A旋转中心，沿逆时针方向旋转30°后得到△AB'E'，AB'与BD交于M，AE'的延长线与BD交于N．

①依题意补全图1；

②用等式表示线段BM、DN和MN之间的数量关系，并证明．

（3）如图2，E、F是边BC、CD上的点，△CEF周长是正方形ABCD周长的一半，AE、AF分别与BD交于M、N，写出判断线段BM、DN、MN之间数量关系的思路．（不必写出完整推理过程）

门头沟28．（本小题满分7分）

解：

（1）∠BAE=45°．…………………………………………………………………1分

（2）①依题意补全图形（如图1）；………………………………………2分

②BM、DN和MN之间的数量关系是BM2+ND2=MN2．………………3分

证明：

如图1，将△AND绕点A顺时针旋转90°，得△AFB．

∴∠ADB=∠FBA，∠1=∠3，DN=BF，AF=AN．

∵正方形ABCD，AE⊥BD，

∴∠ADB=∠ABD=45°．

∴∠FBM=∠FBA+∠ABD

=∠ADB+∠ABD=90°．

∴由勾股定理得FB2+BM2=FM2．

∵旋转△ABE得到△AB'E'，

图1

∴∠E'AB'=45°，

∴∠2+∠3=90°－45°=45°，

又∵∠1=∠3，

∴∠2+∠1=45°．

即∠FAM=45°．

∴∠FAM=∠E'AB'=45°．

又∵AM=AM，AF=AN，

图2

∴△AFM≌△ANM．

∴FM=MN．

又∵FB2+BM2=FM2，

∴DN2+BM2=MN2．………………………………………………5分

（3）判断线段BM、DN、MN之间数量关系的思路如下：

a．如图2，将△ADF绕点A瞬时针旋转90°得△ABG，推出DF=GB；

b．由△CEF的周长等于正方形ABCD周长的一半，得EF=DF+BE