专升本高等数学知识点汇总.docx
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专升本高等数学知识点汇总
专升本高等数学知识点汇总
常用知识点：
一、常见函数的定义域总结如下：
（1）
y
y
kx
2
ax
b
bxc
一般形式的定义域：
x∈R
（2）
k
y分式形式的定义域：
x≠0
x
（3）yx根式的形式定义域：
x≥0
（4）ylogax对数形式的定义域：
x＞0
二、函数的性质
1、函数的单调性
当
x1x时，恒有f（x1）f（x2），f（x）在x1，x2所在的区间上是增加的。
2
当
x1x时，恒有f（x1）f（x2），f（x）在x1，x2所在的区间上是减少的。
2
2、函数的奇偶性
定义：
设函数yf（x）的定义区间D关于坐标原点对称（即若xD，则有xD）
（1）偶函数f（x）——xD，恒有f（x）f（x）。
（2）奇函数f（x）——xD，恒有f（x）f（x）。
三、基本初等函数
1、常数函数：
yc，定义域是（,），图形是一条平行于x轴的直线。
2、幂函数：
u
yx，（u是常数）。
它的定义域随着u的不同而不同。
图形过原点。
3、指数函数
定义:
x
y（），（a是常数且a0，a1）.图形过（0,1）点。
fxa
4、对数函数
定义:
yfxx
（）log，（a是常数且a0，a1）。
图形过（1,0）点。
a
5、三角函数
（1）正弦函数:
ysinx
T2，D（f）（,），f（D）[1,1]。
（2）余弦函数:
ycosx.
T2，D（f）（,），f（D）[1,1]。
（3）正切函数:
ytanx.
T，D（f）{x|xR,x（2k1）,kZ}，f（D）（,）.
2（4）余切函数:
ycotx.
T，D（f）{x|xR,xk,kZ}，f（D）（,）.
5、反三角函数
（1）反正弦函数:
yarcsinx，D（f）[1,1]，f（D）[,]。
22
（2）反余弦函数:
yarccosx，D（f）[1,1]，f（D）[0,]。
（3）反正切函数:
yarctanx，D（f）（,），f（D）（,）。
22
（4）反余切函数:
yarccotx，D（f）（,），f（D）（0,）。
极限
一、求极限的方法
1、代入法
代入法主要是利用了“初等函数在某点的极限，等于该点的函数值。
”因此遇到大部分
简单题目的时候，可以直接代入进行极限的求解。
2、传统求极限的方法
（1）利用极限的四则运算法则求极限。
（2）利用等价无穷小量代换求极限。
（3）利用两个重要极限求极限。
（4）利用罗比达法则就极限。
二、函数极限的四则运算法则
设limuA，limvB，则
xx
（1）lim（uv）limulimvAB
xxx
（2）lim（uv）limulimvAB.
xxx
推论
（a）lim（Cv）Climv，（C为常数）。
xx
（b）
lim
x
n
u（limu）
x
n
（3）
limu
uA
x
lim，（B0）.
xvlimvB
x
（4）设P（x）为多项式
P
naxa
n1
（x）ax，则limP（x）P（x0）
01n
xx
0
（5）设P（x）,Q（x）均为多项式，且Q（x）0，则
P（x）P（x）
0
lim
x
x）（）
0Q（xQx
0
三、等价无穷小
常用的等价无穷小量代换有：
当x0时，sinx~x，tanx~x，arctanx~x，
x1~，
arcsinx~x，ln（1x）~x，ex
1
2
1cosx~x。
2
对这些等价无穷小量的代换，应该更深一层地理解为：
当□0时，sin□~□，其余类
似。
四、两个重要极限
sinx
重要极限Ilim1
。
x
0x
sin
□
它可以用下面更直观的结构式表示：
lim1
□0
□
x
1
重要极限IIlim1e。
x
x
□
1
其结构可以表示为：
lim1e
□□
八、洛必达（L’Hospital）法则
“
0
0
'
f（x）f（x）
”型和“”型不定式，存在有limlimA
'
xg（x）g（x）
axaxg（x）g（x）
（或）。
一元函数微分学
一、导数的定义
设函数yf（x）在点
x的某一邻域内有定义，当自变量x在x0处取得增量x（点
0
x0仍在该邻域内）时，相应地函数y取得增量yf（x0x）f（x0）。
如果当
x
x0时，函数的增量y与自变量x的增量之比的极限
y
lim
xx
0
=
f（x0x）f（x0）
lim
xx
0
=（）
fx注意两个符号x和
0
x在题目中可能换成其
0
他的符号表示。
二、求导公式
1、基本初等函数的导数公式
（1）（C）0（C为常数）
（2）
1
（x）x（为任意常数）
x）xln
（3）（aaa（a0,a1）特殊情况
xex
（e）
（4）
11
（logx）logae（x0,a0,a1），
aln
xxa
（lnx）
1
x
（5）（sinx）cosx
（6）（cosx）sinx
（7）
（tanx）
'
1
2
cos
x
（8）
（cotx）
'
1
2
sin
x
（9）
（arcsin
1
'
x）（1x1）
2
1x
1
'x（10）（arccosx）（11）
2
1x
（11）
（arctanx）
'
1
1
2
x
（12）
（arccot
'
x）
1
1
x
2
2、导数的四则运算公式
（1）[u（x）v（x）]u（x）v（x）
（2）[u（x）v（x）]u（x）v（x）u（x）v（x）
（3）[ku]ku（k为常数）
（4）
u（x）
v（x）
u（x）v（
x）u（x）v（
v（）2x
2x
x）
3、复合函数求导公式：
设yf（u）,u（x），且f（u）及（x）都可导，则复合函数
dydydu
yf[（x）]的导数为f（）.（）
'ux
dxdudx
。
三、导数的应用
1、函数的单调性
f（）0则f（x）在（a,b）内严格单调增加。
'x
f（）0则f（x）在（a,b）内严格单调减少。
'x
2、函数的极值
f（）0的点——函数f（x）的驻点。
设为x0
'x
'x'x
（1）若xx0时，f（）0；xx0时，f（）0，则f（x0）为f（x）的极大值点。
（2）若
xx时，f（）0；xx0时，f（）0，则f（x0）为f（x）的极小值点。
'x'x
0
（3）如果（）
f在x0的两侧的符号相同，那么f（x0）不是极值点。
'x
3、曲线的凹凸性
f（）0，则曲线yf（x）在（a,b）内是凹的。
''x
f（）0，则曲线yf（x）在（a,b）内是凸的。
''x
4、曲线的拐点
（1）当（）
f在x0的左、右两侧异号时，点（x0,f（x0））为曲线yf（x）的拐点，此时
''x
'x
'
f（0）0.
''x
（2）当f（）在x0的左、右两侧同号时，点（x0,f（x0））不为曲线yf（x）的拐点。
5、函数的最大值与最小值
极值和端点的函数值中最大和最小的就是最大值和最小值。
四、微分公式
'
dyf（x）dx
，求微分就是求导数。
一元函数积分学
一、不定积分
1、定义，不定积分是求导的逆运算，最后的结果是函数+C的表达形式。
公式可以用求导公
式来记忆。
2、不定积分的性质
'fx
（1）[f（x）dx]（）或df（x）dxf（x）dx
'
（2）F（x）dxF（x）C
或dF（x）F（x）C
（3）[f（x）（x）（x）]dxf（x）dx（x）（x）dx。
（4）kf（x）dxkf（x）dx（k为常数且k0）。
2、基本积分公式（要求熟练记忆）
（1）0dxC
11
aa
（2）
（1）
xdxxCa
a1
.
1
（3）dxxC
ln
x
.
1
xx
（4）aC
adx
lna
（a0,a1）
xx
（5）edxeC
（6）sinxdxcosxC
（7）cosxdxsinxC
1
（8）dxxC
tan
2.
cosx
1
（9）dxxC
cot
2.
sinx
1
（10）dxarcsinxC
2
1x
.
1
（11）dxxC
arctan
2.
1x
3、第一类换元积分法
对不定微分g（x）dx，将被积表达式g（x）dx凑成
g（x）dxf[（x）]（）（）（），这是关键的一步。
'xdxfxdx
常用的凑微分的公式有：
（1）（）1f（axb）d（axb）
faxbdx
a
1
kk1faxkbdaxkb
（2）（）（）
f（axb）xdx
ka
1
（3）dxfxdx
f（x）2
x
（4）
f（
1
x
）
1
2
x
dx
f
（
1
x
）d
1
x
xexdxfexdex（5）f（e）（）（）
1
（6）（ln）（ln）
f（lnx）dxfxdx
x
（7）f（sinx）cosxdxf（sinx）d（sinx）
（8）f（cosx）sinxdxf（cosx）d（cosx）
1
（9）（tan）（tan）
f（tanx2dxfxdx
）
cosx
1
（10）（cot）（cot）
f（cotx）2dxfxdx
sinx
1
（11）f（arcsinx）dxf（arcsinx）d（arcsinx）
2
1x
1
（12）f（arccosx）dxf（arccosx）d（arccosx）
2
1x
1
（13）（arctan）（arctan）
f（arctanx）
2dxfxdx
1x
'
（x）
（14）dxd（ln（x））
（x）
（（x）0）
4、分部积分法
udvuvvdu
二、定积分公式
1、（牛顿—莱布尼茨公式）如果F（x）是连续函数f（x）在区间[a,b]上的任意一个原函数，
b
则有f（x）dxF（b）F（a）
a
。
2、计算平面图形的面积
如果某平面图形是由两条连续曲线yyf（x）
y1g（x）,y2f（x）及两条直线x1a和x2b所
围成的（其中
y是下面的曲线，y2是上面的曲线），则
1
yg（x）
其面积可由下式求出：
aobx
S
b
a
[f（x）g（x）]dx.
3、计算旋转体的体积
设某立体是由连续曲线yf（x）（f（x）0）和直线xa,xb（ab）及x轴所围平
面图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体，如图所示。
则该旋转
体的体积V可由下式求出：
yyf（x）
V
x
b
a
f
b
（）（）.2xdxf2xdx
2xdxf2xdx
a
oaxx+dxbx
多元函数微分学
1、偏导数，对某个变量求导，把其他变量看做常数。
2、全微分公式：
dzdf（x,y）AxBy。
3、复合函数的偏导数——利用函数结构图
如果u（x,y）、v（x,y）在点（x,y）处存在连续的偏导数
u
x
，
u
y
，
v
x
，
v
y
，
且在对应于（x,y）的点（u,v）处，函数zf（u,v）存在连续的偏导数
z
u
，
z
v
，则复合函数
z在点（x,y）处存在对x及y的连续偏导数，且
f[（x,y）,（x,y）]
z
x
z
u
u
x
z
v
v
x
，
z
y
z
u
u
y
z
v
v
y
。
4、隐函数的导数
对于方程F（x,y）0所确定的隐函数yf（x），可以由下列公式求出y对x的导数
'
y：
'
y
'
x
'
F
F
y
（
（
x,
x,
y）
y）
，
2、隐函数的偏导数
对于由方程F（x,y,z）0所确定的隐函数zf（x,y），可用下列公式求偏导数：
z
x
'
F（x,y,z）
x，
'
F（x,y,z）
z
z
y
'
F
F
y
'
z
（x,
（x,
y,
y,
z）
z）
，
5、二元函数的极值
设函数f（x0,y）
z在点（x0,y0）的某邻域内有一阶和二阶连续偏导数，且
0
'xy'''，fxyC
'xy'，
'，fxyB'
fx（0,0）0，fy（0,0）0又设fxx（x0,y0）Axy（0,0）yy（0,0）
则：
2AC
（1）当0
B时，函数f（x,y）在点（x0,y0）处取得极值，且当A0
时有极大值，当A0时有极小值。
2AC
（2）当0
B时，函数f（x,y）在点（x0,y0）处无极值。
2AC
（3）当0
B时，函数f（x,y）在点（x0,y0）处是否有极值不能确定，要用其它方
法另作讨论。
平面与直线
1、平面方程
（1）平面的点法式方程：
在空间直角坐标系中，过点0（x,y,z）
M，以n{A,B,C}为
000
法向量的平面方程为
A（xx0）B（yy0）C（zz0）0称之为平面的点法式方程
（2）平面的一般式方程
AxByCzD0称之为平面的一般式方程
2、特殊的平面方程
AxByCz0表示过原点的平面方程
AxByD0表示平行于Oz轴的平面方程
AxBy0表示过Oz轴的平面方程
CzD0表示平行于坐标平面xOy的平面方程
3、两个平面间的关系
设有平面1:
A1xB1yC1zD10
2:
A2xB2yC2zD2
0
平面
1和2互相垂直的充分必要条件是：
A1A2B1B2C1C20
平面1和2平行的充分必要条件是：
A
1
A
2
B
1
B
2
C
1
C
2
D
1
D
2
平面1和2重合的充分必要条件是：
A
1
A
2
B
1
B
2
C
1
C
2
D
1
D
2
4、直线的方程
（1）直线的标准式方程过点M0（x0,y0,z0）且平行于向量s{m,n,p}的直线方程
xx0yy0zz0
mnp
称之为直线的标准式方程（又称点向式方程、对称式方程）。
常称s{m,n,p}为所给直线的方向向量
（2）直线的一般式方程
A
1
A
2
x
x
B
1
B
2
y
y
Cz
1
C
2
z
D
1
D
2
0
0
称之为直线的一般式方程
5、两直线间关系
设直线
l，l2的方程为
1
l1:
x
x
1
m
1
y
n
1
y
1
z
z
1
p
1
l1:
x
x
2
m
2
y
y
2
n
2
z
z
2
p
2
直线l1，l2平行的充分必要条件为
m
1
m
2
n
1
n
2
；
直线
l，l2互相垂直的充分必要条件为m1m2n1n2p1p20
1
6、直线l与平面间的关系
设直线l与平面的方程为
l:
x
x
0
m
y
yz
0
np
z
0
:
A（xx0）B（yy0）C（zz0）0
直线l与平面垂直的充分必要条件为：
A
m
B
n
C
p
直线l与平面平行的充分必要条件为：
AmBnCp
0
Am0BnCpD
o0
0
直线l落在平面上的充分必要条件为
AmBnCp
0
Am0BnCpD
o0
0
将初等函数展开成幂级数
1、定理:
设f（x）在U（x0,）内具有任意阶导数,且
limRn（x）
n
0
，
（n1）
f（）
n1
Rn（x）（xx）则在U（x,）内
00
（n1）!
（n）
f（x）
0n
f（x）（xx0）
n!
n0
称上式为f（x）在点
x的泰勒级数。
或称上式为将f（x）展开为xx0的幂级数。
0
2、几个常用的标准展开式
①
1
1
x0
n
x
n
1
nn
②
（1）x
1x
n0
③
x
e
n
n
x
0n!
④
sinx
n
2n
x
n
（1）
0（2n
1
1）!
⑤
cosx
n
2n
x
n
（1）
0（2n）!
n
xn
⑥ln（1x）
（1）
nn0
⑦
ln（1x）
n0
n
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