数学心得之注重数学本质提高数学素养1.docx
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数学心得之注重数学本质提高数学素养1
数学论文之注重数学本质提高数学素养
（1）
注重数学本质 提高数学素养
（1） 视频下载张奠宙 教授数学教育家华东师范大学唐彩斌 中学高级教师浙江杭州现代小学数学教育研究中心唐：
各位老师大家好。
今天我们交流研讨的话题是“注重数学本质，提高数学素养”。
讨论小学数学教学中常见的“数学问题”，为什么强调是数学问题呢，是因为我们希望今天的交流能突出数学的本质，帮助大家一起提升数学素养。
也正如大家常说“教什么比怎样教更重要”，我们今天讨论的就应该属于“教什么”的范畴。
张：
各位老师，大家可能都听到一句俗语叫做要给学生一杯水，教师必须有一桶水。
所以我们今天来谈谈小学数学的内容，大家不会觉得太简单吗？
实际上我们要关注小学数学教材里边背后的内容，就是说我们是要源于教材但是要高于教材；另外，就是要居高临下，我们有一些更高的观点来观察小学教材的内容；其次，我们要有全面的整体的意识，知道小学数学教材他在整个教育当中的地位和作用，然后，我们就可以心中有数；最后，小学教材虽然看来比较简单，但是它与时俱进，还是有许多时代特色需要我们展示，需要我们深入的了解。
所以，我们愿意给大家来探讨，小学当中的一些数学问题，我想，希望给各位理解教材，理解课程标准有所帮助。
【PPT】（PPT内容为画线部分，下同）一、数与代数领域问题的讨论1．0为什么是自然数唐：
现在我们就按照小学数学的几大领域来选择一些问题来具体分析。
我们都知道，小学数学中最大的学习领域是数与代数领域。
首先我们讨论关于自然数。
大家可能会问：
自然数谁不懂？
这里还会有数学问题吗？
其实与时俱进地看，自然数的问题还真不少。
大家可能争论最多的是“0本来不作为自然数，现在怎么又说是自然数了，为什么”？
张：
在上世纪90年代以前，自然数不包括0，但是1993之后，就包括0在内，这当然是一个规定所产生的，那是在1993年颁布的《中华人民共和国国家标准》里面有一句话说规定自然数包含0，从此之后，0就属于自然数的范围了。
【PPT】唐：
从近年来编写新课标小学数学教材中，我们可以发现教材也都根据上述国家标准进行了修改。
具体的表述是：
用0表示“一个物体也没有”所对应的计数。
【PPT】只是在教学中，有些老师觉得把0作为自然数，与传统不同，不太习惯。
张：
这只是习惯问题。
0是自然数有许多理由。
首先，人的经验是，从无到有。
魔术师先交代两手空空，再变出一只兔子，然后两只兔子……。
铅笔盒中本来是空的，然后装进一支铅笔、两只等等。
第二，更重要的是书写的需要，十的位置记数写法是10。
【PPT】没有0，就写不出10，20，30，100。
所以0，1，2……9，共十个数字是最基本的。
第三，0的出现可以保证自然数集有单位元a+0=0+a=a.【PPT】在自然数中5－5＝0，如果0不是自然数，那么5－5岂不是不能减了。
此外，大数学家冯·诺依曼用集合论的语言写自然数，第一个是“空集Φ”，用0表示，【PPT】然后把以空集为元素的集合{Φ}叫做1，依次类推。
从文化的角度看来“有”也是从没有开始的。
唐：
这么说，0是自然数的说法，既有生活经验，又符合数学规则，还有文化背景和科学依据，是合乎情理的。
说起习惯，从某种意义上是老师的习惯，学生其实没有这样的习惯。
从这个角度来说，有时有些新的事物老师认为难接受，但学生反而觉得好接受，可能也是这样的原因吧。
2．数位的分级是三位一级还是四位一级唐：
下面的类似问题是关于数位的分级。
自然数用十进位记数。
在小学里教材上，读数与写数的时候，一向强调四位一级，分为个级、万级、亿级，但是在现实生活，无论是银行里的计数，还是信息技术中的计数都是三位一级，即个、千、百万……，从数学角度上怎样看这种现象？
张：
这个问题我觉得应该“与时俱进”，在以前我关注到，小学数学教学中只讲四位一级，只讲个、万、亿。
但是现在与国际接轨之后“千”的用途越来越大。
所以说四位计数是我们的传统，必须保持，【PPT】我们的学生应该懂，三位一级更是国际惯例，又必须与国际接轨，【PPT】我们也应该让学生掌握。
两种并存，是必然趋势，逐步与国际接轨。
我们也注意到，像尺和寸现在就用的比较少了，米和厘米用的比较多了。
将来，会通过社会的选择来确定哪一种是主要的。
我想，两种都要学，这大概是不可避免的。
唐：
听张老师这么一说，我们知道既要保存传统，又要与国际接轨。
也有学者把数位的分级与空间图形结合起来，认为“三位一级”更符合数形结合的规律。
具体地说，一个小立方体表示1，那么10个一排就是10，10个10排成1个面就是一个百，每一百算一层，10层就是一个新立方体，表示“千”。
再从“千立方体”出发，10个一排，10排构成面，10个面叠成新的立方体就是一百万。
这就很形象地描绘出“三位一级”的构造。
【PPT】这样看来，“三位一级”也是可以通过数形结合来描述这种结构。
张：
我还注意到，不管是“四位一级”还是“三位一级”，百万是大家共用的名词，例如“百万雄师”，“和百万英镑，中外都用百万形容很多。
所以对百万我们还应该多多的关注。
唐：
张老师说起那个百万，就不仅让我想起我们经常看到的一些课题教学。
我们经常听到这样的片段，1百万有多大？
让学生认识“1百万颗黄豆有多少体积。
”【PPT】张：
当初设计这样的教案，它的初衷是好的，就是要大家体验一下一百万是怎么样过来的。
它一定是从一开始，然后到十、百、千一点一点数出来的。
当数目很大的时候，数起来很费力。
让儿童经历这样一个过程还是很有好处。
不过，我又觉得，我们本质上还是要关注100万这个数的结构。
至于说100万粒米有多大，这个不是数学要研究的问题，这是个别的体验，100万粒米，100万颗花生，100万个篮球有多大等像这样的问题是没有穷尽的，也不是我们每个人都需要去体验的。
所以。
我觉得还是要把精力放在100万的结构上面，比如100万里面有多少个1000，100万里面有多少个1万，我们每人捐款1000元，要捐到100万需要多少个人捐，这样的素材不仅有现实背景，而且还有数学意义，可能更值得我们去思考。
3．分数的定义唐：
听张老师这么说，就是我们在组织这样的活动的时候，一方面要关注现实背景，但是更重要的是要关注数学的意义。
前面我们主要讨论的是关于自然数的问题。
接下来我们要讨论的是一个比较难学，但却很重要的课题：
分数。
我想我们从分数的定义开始谈起。
教材很多都是从份数的定义开始的。
【PPT】一般都这样描述：
单位1平均分为若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。
【PPT】这样的描述听起来比较自然，也符合“几分之几”的称呼。
因而是引入分数的首选。
张老师你怎么看。
张：
对，用份数的定义来引入分数是非常自然的。
但我觉得这样也有缺点，最后是一份或几份，那究竟是自然数还是分数？
这样不太明确。
因此必须尽快过渡到分数的“商”定义，分数的定义就是，分数是两个正整数a，b，a除以b的商。
所以分数是一个商，这个概念我们现在注意的不够，而这恰恰是我们学习分数的核心所在。
用a除以b，当除的进时（整除），就是原来的自然数，没什么问题，问题就在除不进的情况下面，那么我们就得到了一个分数，这就是分数所以要成为分数根本的原因，就是除不进的情况下需要分数，除的进就不需要分数了。
例如1/4，它是一个整体平均分为4份中的一份。
但是，这一份究竟有多大呢？
1除以4的商是多大呢？
它一定比1小，却又比0大。
于是我们在数射线上可以标出它的位置：
它在0和1之间，当中这一点是一半就是1/2，把1/2和0之间再分一半，那个地方就应该是1/4，这样一画，数的概念就出来了。
这就显示它是一个新的数，是原来自然数所没有的数，它是我们现在要研究的对象。
商的分数的定义比份数的定义要深入一步，体现了分数出现的必要性，特别是商和除法之间的关系，我想，如果理解了这一点，分数的价值才能完整的体现。
份数定义还停留在“几份”的思考上，还没有摆脱自然数的表示。
1份，几份，是分数还是自然数？
因此必须尽快过渡到分数的“商”定义。
—————————————————————— 0 1【PPT】唐：
刚才张老师也说起分数与除法的关系，但是以前我们描述分数与除法的关系时只讲分数与除法之间的关系，一般描述为：
分数中的分子相当于除法中的被除数，分母相当于除法中的除数。
但到底是怎样的一种关系，尚不明晰。
通过刚才的介绍分数的商的定义，可能分数是一个新的数。
张老师，你刚才还提到了分数的另外一种定义，那是一种怎样的定义？
张：
分数的第三个定义是比的定义两个自然数a比b,b≠0,即a/b叫做分数。
比和除，本来是一个问题的两个方面，我的意思是说，用比的概念之后，分数就可以扩大它的应用范围，使我们的视野更广阔。
我记得我曾经请你做过一个实验，你把实验向大家介绍一下。
唐：
好的，我们来分享一下这个实验的结果。
上次张老师布置我做过一个小调查，我们就组织了100多名学生，分别来自三、四、六年级，调查的方法是，就是当学生看到屏幕上有一个圆，我们把圆分成4份，其中的一份涂成蓝色，这时学生会想到哪些分数呢？
我们给学生一些时间，让他们想，结果我们发现：
（时间2分钟）【PPT】测试结果：
【PPT】 总人数1/43/41/24/11/33/1三年级393814 0四年级39361710882六年级383683 3 合计11611039138112百分率 94.8333.6211.26.909.481.72张老师。
你怎么看这个数据。
张：
我想，比的定义和我们原来份数的定义是相关的，份数的定义是说一个整体平均分之后，其中的几份。
从这个小调查看出，以整个圆作为“整体单位”的思维定势还是比较强的。
但整体不仅仅是一个圆，也可以是1个半圆，或3/4个圆，所以整体是可以变化的，是可以有多种多样的选择的。
所以就一个大学的教师来看，我首先看到的是在1个圆里面1快蓝3块白，蓝和白之比是1：
3，然后马上就认为是一个1/3。
所以说不能把一个整圆分成4等分作为一种定式，以至于看不到一块蓝三块白之间的比。
我想比的定义也许和份数之间的灵活转换有一定的关系，我也希望大家把份数和比的定义连接起来思考。
唐：
如果电视机前面的老师也有兴趣的话，你也不妨对你班里的学生做这样的调查，或许你能更加深刻的认识到刚才张老师所讲的从份数定义怎样过渡到商的定义的重要性。
因为在这个过渡的过程中，让我们明确了分数是不同于自然数的一种“新”的数，是我们的新朋友。
当我们把1/3，1/6等等分数标在数轴（数射线）上的时候，新数的面貌就完全呈现出来了。
【PPT】 4．分数基本性质唐：
分数学习中有一个重要的性质，是老师们都特别熟悉的，就是分数的基本性质。
但是所谓基本性质，我们总是这样描述：
分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
除了这样的描述，究竟是什么性质呢？
并没有明确的词语，好像总得有一个特别的名字才好。
从数学的角度应该怎么描述？
张：
我想，这就是分数相等的性质，在自然数里面，两个数相等，这两个数的表达是一样的，2等于2，2就是2。
在分数里面，不同形式的分数，它是相等的，但相等的东西可以不一样，这就是一个新问题了。
在数学上面，这叫做“等价类”。
就是把不同表现形式的东西归为一类，这样，我们在观察问题时，就不仅是看一个数，而是看一群数，一类数，这类数我们就叫做“等价类”。
这个思想在教材当中未见得要出现，但是作为老师我们要认识到，自从进入分数范围内以后，这个基本性质，实际上是说明了：
不同的东西可以归为一类，但是它们有个标准，就是数值相等。
“等价类”是一种非常重要的数学思想，也是我们处理分数不可缺少的一个思考。
大家也可以看这个“等价类”例子，1/2所在的等价类，各个分数彼此相等：
1/2=2/4=3/6=……=n/2n=……【PPT】唐：
听张老师这么一说，就是说有不同分数的外形，但是它的数值是一样的，如果要派代表的时候，我们都很熟悉，叫做最简分数。
那么用最简分数作代表行不行？
你能不能给我们结合具体的事例形象地说明一下？
张：
我可以有两个比喻：
一个是：
分数好像一个人可以穿不同的衣服。
体育课穿运动服，上课穿校服，正式场合穿西装，文艺演出穿演出服，休闲时穿休闲服等等。
不同场合穿不同衣服，虽然最常用的是校服，但校服不能代替其它的服，但人是同一个。
另一个是：
分数又好像我们的学校。
里面的成员都是平等的，都能代表学校，但是各有各的作用。
校长会议校长去参加，数学教师活动请数学教师去，5年级学生的竞赛则必须由5年级学生参与。
所以我想，“等价类”就是这样，大家都是平等的，不同的场合要有不同的表示形式。
最简分数固然重要，但分数相加需要通分，最简分数就不够用了。
就如校长虽然重要，却不能代表一切。
所以你刚才提的问题很好，所谓分数的基本性质，就是分数相等的性质。
什么叫做分数相等，就是这样的定义。
唐：
经过张老师这样形象地描述，分数的这个等价性大家一定清楚些了。
那为什么分数要出这样一个基本性质，而自然数没有呢？
张：
相等的自然数只有一种形式。
但是相等的分数却有不同的形式。
而且分数的约分，通分在后续学习中非常有用。
所以必须认真学习，加深理解。
唐：
基于以上的讨论，我感到分数教学对我们老师的启示有以下两点：
第一，分数是“新朋友”，是除不尽情形下引进的新数。
分数的本质在于使得自然数的除法总可以施行，因而分数的“商定义”显得十分重要。
第二。
分数是一个大家庭，相等的分数可以有不同的形式。
等价类的思想应该有所渗透。
【PPT】 5．小数与分数的关系唐：
说完了分数，我们来讨论和分数密切相关的小数，小数与分数的关系，我们常常这样说：
小数是分数的另一种形式。
十分之几的分数可以写成一位小数，百分之几的分数可以写成两位小数，……依此类推，所以一般都先学分数再学小数。
你怎么看？
张：
先学分数再学小数是从一般到特殊，一般的分数有了，我们再来研究特殊的，以10为分母的分数。
但是小数是不是因为分数才产生的呢？
这不是。
小数的产生与现实中的度量有密切关系。
我们有了尺所以下面有寸、有分，我们有了斤所以下面有两。
所以我想，如果我们先学分数，比如说几元、几角、几分，然后再把特殊的分数，我们分成10份的分数，推广为一般，从特殊到一般，也是一种认识的规律。
所以这两者，在我所见到的国内外许多教材当中，是有不同的安排的。
有些就是由一般到特殊，像我们现在多数采取的，有些国外的教材就是从特殊到一般，先有小数这样的分数，然后在推广到一般的分数，都是可以的。
唐：
看来现代人们在编教材的时候有不同的解读，所以顺序也不一定一样。
哪么我们想小数与分数之间到底有怎样的关系，有什么区别呢？
在数学史上到底是先有分数还是先有小数？
张：
中国在商代，就是现在出土的文物中就有尺了，那个尺里面就有寸，而且是十进位的，所以这个是有考古的实物为证的，所以小数在商代就出现了。
分数根据记载是在春秋时代出现的，比商代就要晚很多了。
从中国的小数和分数出现的时间来说，是先有小数，后有分数。
于一般分数。
度量衡的发展大约始于父系氏族社会末期。
传说唐帝“设五量”，“少昊同度量，调律吕”。
这时的单位尚有因人而异的弊病。
《史记·夏本纪》中记载禹“身为度，称以出”，则表明当时已经以名人为标准进行单位的统一，出现了最早的法定单位。
商代遗址出土有骨尺、牙尺，长度约合16厘米，与中等身材的人大拇指和食指伸开后的指端距离相当。
尺上的分寸刻划采用十进位。
【PPT】唐：
分数产生在什么时候呢？
张：
我国的分数记载出现于春秋时代（公元前770年～前476年《左传》中，规定了诸侯的都城大小：
最大不可超过周文王国都的三分之一，中等的不可超过五分之一，小的不可超过九分之一。
秦始皇时代的历法规定：
一年的天数为三百六十五又四分之一。
在小数出现的时候，并不觉得这是分数。
后来有了一般的分数概念，才看到小数是“没有写分母”的分数，其分母由位置确定。
唐：
古代的教学史对我们现代的教学也是有一定的启示的，有一种关系可能是值得我们思考的，就是既然分数可以和小数互化，那么已经有了小数，何必还要学习分数呢？
张：
问题就在于实际的需要，小数是运算比较方便，很容易看得出来它的大小，但是无限循环小数的加减乘除非常麻烦。
因此，分数运算必须单独学习。
反过来，只学分数不学小数也不行。
因为小数是十进位的，比较实用。
尤其是比较两个小数的大小，无论是有限小数还是无限循环小数，用“字典顺序”比较，一目了然。
不像面对两个分数，要比较它们的大小比较困难。
所以说，它们各有各的好处。
唐：
小数和分数在具体的问题当中各有个的好处，通过刚才我们讨论小数与分数的关系，也正是印证了张老师最前面讲的一句话，让我们总体把握，做到心中有数。
6．算法多样化的思考唐：
讨论完了数以后，我想在数与代数当中另外一大块就是计算，或许电视机前的老师和我们一样，现在一提起计算，脑子里就会反映出一个新的词，叫做“算法多样化”，这也正是我们新课程改革以来，一直倡导的一种理念，张老师你是怎样看“算法多样化”这种理念的？
张：
算法，就是计算方法。
随着计算机时代的到来，计算机可以做各种各样的事情，但是计算机都是按照算法运行的，所以算法的重要性不言而喻。
所以《新课标》提出算法的意义，也提出了算法的多样性也是非常必要的。
而小学提倡算法多样化，目的在于重视算法，创造性地运用算法。
唐：
“算法多样性”是一种好的理念，但是在具体的实施过程中，我们又会碰到怎样的问题呢？
我来举一个例子：
28×15，两位数乘两位数。
学生可能使用的其他方法，至少有以下四种：
28×15＝28×（10＋5） 28×15＝28×5×3＝28×10＋28×5 ＝140×3＝420 ＝42028×15＝15×4×7 28＝30－2＝60×7 28×15＝30×15－2×15＝420 ＝420一位同学是把15分拆成10＋5，然后利用乘法分配律计算出结果，另外一位同学是把28分成4×7，然后先用15和4相乘得到60，然后在乘以7也得到420的结果。
还有同学是把15分成5×3，然后再来相乘算出结果。
有同学把28看成是30-2的差，再和15相乘。
当然，在计算的过程当中有一种基本的方法，就是竖式计算的方法。
首先是常规的竖式计算。
【PPT】 28 ×15 ---------- 140 28-------- 420这么多的算法，张老师你怎么看。
张：
算法可以多样化，但是必须选择一种作为基础。
竖式计算方法，就是大家的首选。
这是无数的人，经过挑选之后确定下来的，无论在国内还是国外都是一样的。
竖式算法是基本技能，基本算法。
它的特点是程序化、机械化，按部就班，能够对付任何位数、任何形式的自然数的加减乘除运算。
这个算法虽然显得笨重一点，也不够简便，但它是最基本的，我们必需把基本的先掌握好。
将来多项式相乘也是这样操作。
我们把这类算法，称作通性通法。
它永远行得通，算得出。
其它的算法都在它的基础上灵活运用，随机应变。
唐：
这种通性通法也有算起来不够迅速、快捷的缺点，而上面指出的学生的一些简便算法，是一种针对特殊问题的特殊算法，属于“巧算”一类，不能适用一般情形。
我们使用这些特殊算法，有助于提高计算效率，培养个人的计算特点，增强数学的创新能力。
张老师你认为课堂上出现的多种多样的方法，是否需要“优化”？
张：
竖式计算是笨办法，但永远有效。
但是，我们每个人都有自己的个性，肯定也有一些自己喜欢的个性的算法。
相对而言其他算法更加巧妙，但要随机应变，没有普遍性。
实际上如果把上面的四种方法比较一下就可以发现，有两种算法其实就是利用乘法分配律，另两种就是凑整的思想，都特别有利于心算。
乘法分配律在数学中的作用，有学者认为，相当于人类从石器时代到铁器时代；灵活运用分配律是一种数学技能。
所以，我想在提倡算法多样化的时代，一方面要把竖式算法学会，同时也要充分运用一些能使我们计算更加简便、灵活的算法，要把基础和灵活都掌握好。
唐：
张老师刚才在讲算法多样化的时候，还特别提到了乘法分配律它特别重要的地位，我想尽管它不是我们算法多样化的一种普遍的规律，但是它的重要性或许会引起大家更多地思考。
同时在算法多样化问题上，横式计算方法值得重视。
其原理是从高位到低位，与竖式计算相反。
例如 28×15=20×10+20×5+10×8+5×8=200+100+80+40=420。
先用两个乘数的十位和十位相乘，再用第一个乘数的十位和第二个乘数的个位相乘，在分别用以第一乘数的个位和第二个乘数的十位相乘，然后再是个位和个位相乘，最后相加。
这种横式算法张老师你是怎么看的。
张：
横式算法在国外比较盛行，可能是因为它对算理说的比较清楚，它揭示了不同的位数它们所产生的作用。
但是它有一个缺点，就是对位比较复杂，在对位的过程中容易出错，所以横式算法还是不如竖式算法哪么有效。
横式算法是一种从高位到低位的算法，和中国的珠算加法相同。
所以现在国内外一致讨论的结果是竖式算法为主，横式算法为辅来说明算理，再加上各种各样的简便、创造性的一些计算方法，使得“算法多样化”真正成为中国数学教育的一个特色。
唐：
刚才张老师讲起来从低位算起还是从高位算起，让我也想起了张天孝老师特别提到的对算法多样化的一种理解，他认为起算点不同也是我们算法多样的一种不同，有的从低位算起有的从高位算起。
横式算法在对位的过程中比较容易出现错误，而竖式算法是一种通性通法，从后续学习当中来看，即便我们以后学习多项式的乘法，也是符合这样的道理的。
张：
对，以前降幂排列，升幂排列都是按照竖式计算的方法。
唐：
也就是说，竖式计算不仅适用于小学，也是后续学习当中都要用到的方法。
唐：
说起计算，张老师在你编著的《中国数学双基教学》中，提到双基的一个维度是速度。
对于学生的计算，我们是不是要提出一些速度的要求？
张：
从国内外的调查来看，中国学生的计算能力特别是心算的能力是被国际公认的。
新加坡一个代表团在调查后认为中国学生的心算能力要强于新加坡，当然比美国就更好，这种计算的能力对我们成人后的生活也是非常重要的，所以我们一定要保持中国学生在心算领域的优势。
但要注意的是，我们说的心算主要是指100以内或者两位数的加减乘除，过多的则没有必要。
速度是我国双基的一个维度。
但是对于计算来说，随着计算器的普及，不需要对计算有过高的要求，尤其不要用一些大数目的繁杂的计算来考查学生计算能力。
这种机械的劳动还是让机器来做比较好。
但是，两位数的加减运算，一位数乘两位数等的心算能力，还是非常重要的，属于“双基”范畴。
唐：
我想是不是可以这样理解，我们作为老师去考察学生的计算能力的时候，不要用那种繁杂的、特别大数字的计算题来增加学生计算的难度，而学生对于计算基本的方法是否掌握，是我们所更要关注的。
记得以前张老师也请中西部的一位老师做过这样的调查，或许电视机前的老师会想，中国的计算那么好，是不是也是指我们那里呢？
张：
现在小学生的计算能力，张晓霞老师做过一个非常详细的调查，我总的感觉中国的计算能力确实比外国要强很多，或许要求是高了一点。
但是因为我们已经有了这样一个传统，丢掉一个传统很容易，但保持一个传统很困难，所以我们应该在保持一个合理的计算速度的基础上进行改革。
唐：
我想听了张老师刚才这样的点评以后，我们中西部的老师心里一定会更加自信了，因为我们在计算方面的优势说不定就在你们班里。
7．什么是代数？
唐：
刚才我们讨论了数和计算，其实有一个名词或许老师也和我一样
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