曲面的第二基本形式在曲面论中的作用.docx
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曲面的第二基本形式在曲面论中的作用
曲面的第二基本形式在曲面论中的作用
1引言
为了研究曲而在空间中的弯曲性而引入了曲面的第二基本形式，它近似等于曲而与切平而的有向距离的两倍，从而刻画了曲而离开切平而的弯曲程度，即曲面在空间中的弯曲性，并且与曲而的第一基本形式共同构成了曲而论的基本左理.从而确立了曲而一点附近的结构与形状.
由此可见曲而的第二基本形式在曲面论中的作用举足轻重，同时由它引出的曲而的几何性质又是曲而论中的难点.本文将主要通过对曲而的各种曲率（如法曲率，测地曲率，主曲率等），曲面上的各种特殊曲线（如渐近线，曲率线等）和曲线网（如曲率网，共辄网等），曲而上点的类型（如椭圆点，双曲点等）等内容的讨论举例来阐述曲而的第二基本形式在曲面论中的作用.
2曲面的第二基本形式
定义曲面的第二基本形式
C’类曲W5:
r=r，曲线（C）：
7=F（s）（s为自然参数）为S上过一固
左点P的曲线，兀为S在P点的切平而，万为曲面在P点的单位法向量，则
n•rds~=n•riadu2+2n•riadudv+n•rvdv2
（1）
令
L=rlui-n,M=rw-h,N=心•斤
（2）
则
（1）式变为
II=nd2r=n-d2f=Lehr+2Mdudv+Ndv2（3）
称之为曲而的第二基本形式，它的系数厶、M、"称为曲面的第二类基本量.
它就近似等于曲而到切平而有向距离的两倍.
此外，对关系式而•（护=0微分得
dn-dr+h=0
所以曲而的第二基本形式也可写为
II=h-d2r=-chi-dr.
一般来说曲而第二基本形式的这种表达方式主要应用于曲而相关性质的证明.
计算曲面的第二基本形式
由于曲而的单位法向量
亓一EH._y
|兀"|Jeg-尸'
代入
（2）中得
所以根据以上公式来讣算曲面的第二基本形式.
例1讣算球而F={Rcos&cos0,7?
cosOsin®RsinO}的第二基本形式.
球而方程为F={RcosOcos%/?
cos&sin0,Rsin&},所以有
rQ={-/?
cosOsin®/?
cosOcos0,0},fe=[-Rsin^cos（py—Rsin^sin（p.Rcos0}
于是得
E=f9^=R2cos26>,F=B•爲=0,G=r0rd=R2
所以
rx7^
==（cosOcos（p.cosOsincp、sin0}
JEG_
心={-Rcos&cos0-7?
cos&sin09O}
心={/?
sinOsin0,-7?
sin&cos®0}
J={-7?
cos&cos0-/?
cos&sin0-Rsin&},
所以
厶=和•万=-Rcos~0>M=忌亓=°,N=①•ii=_R
因而
〃=-（/?
cos'&+-/?
）・
3法曲率
法曲率
设（C）:
f=[M（5）,v（^）]=r（5）为曲而S上经过一固定点P的一条曲线.k为曲线（C）在P
点的曲率，&为B和斤间的夹角（0<6><^）,则有
IEdu2+2Fdudv+Gdv2
对于曲而上的法截线（C（J有
00=±亓，%=0或兀，cos&=±l
所以它的曲率
ko=
n_
于是我们将
k_I1_Lclu2+IMdudv+N小3
"一厂Edu2+2Fdudv+Gdv2
称之为曲面在一点沿所取方向的法曲率.|2,（Pl58H59>
II>0时，kn=k0,法截而朝切而的正向弯曲：
IIVO时，气=—%,法截而朝切面的负向弯曲：
11=0时，人=心=0,法曲率和法截线曲率都等于零.
例1求抛物面
-（。
十+方）,）在（0,0）点和方向（血：
小,）的法曲率.
解抛物而方程为
r='x,y,^ax2+by2）
・/-
求得
E=rx-rx=\,尸=乙呎=0,G=〒、片=1
L=h•心=a,M=h・=0,N=ii・F、、・=b
所以
_〃_曲+〃心2k八jf•
Idx"+dy^
例2利用法曲率公式kn=y证明在球面上对于任何曲纹坐标第一、二类基本量成比例.证明对于球面r={Rcosvcosu,Rcosvsinw,Rsin“}可求得
I=R2cos2vdir+R2dv2,II=-/?
cos2vdir一Rdv2
所以球而上任意一点P（w,v）沿任意方向（d“:
血）的法曲率为
/II_Ldu2+IMdudv+Ndv1
n~~T~Edu2+2Fdudv+Gdv1
得
（RL+E）dJ=2（RM+F）diMv+（RN+G）dJ=0.
又因为对于任一方向（d）成立，故有
RL+E=0（d"=\,dv=0）
RN+G=0（〃“=0,dv=1）
所以
LMN'7
梅尼埃（Meusnier）定理
从（4）式和（5）式得
kn=kcos0.
若设/?
=-,R”=：
，R为曲线（C）的曲率半径，R”为曲线（Co）的曲率半径，贝Jk心
R=Rrcos0.
上式的几何意义就是：
梅尼埃（Meusnier）立理曲而曲线（C）在给泄点P的曲率中心C就是与曲线（C）具有共同
切线的法截线（C。
）上同一点P的曲率中心C。
在曲线（C）的密切平面上的投影.帥叫
4曲面上的各种曲率
主曲率及欧拉（Euler）公式
既然曲而上曲线的曲率都可以转化为法曲率来讨论，那么我们有必要对法曲率随方向变化的规
律进行研究.
龙义在曲而上一点P,法曲率的每一个逗留值称为曲而在这一点的主曲率，而对应主曲率的
主方向满足方程
（EW-FM）dir+{EN-GL）dudv+{FN-GM）（/'=0.
主曲率满足方程
（EG-F2）k~,-（LG-2MF+NE）kN+（LN-M2）=O.
曲而在非脐点处，由于主曲率方程的判别式厶〉。
，所以它有两个不相等的实根，因而曲而上
非脐点处总有两个主方向.任脐点处，方程是恒等式，因而每一方向都是主方向.
罗徳里格（Rodrigues）定理若方向（d）是主方向，当且仅当
dn=-kndr,
心为曲面沿（d）的法曲率.|川呵）
欧拉（Euler）公式：
kn=k、cos20+k2sin20
&是任意方向（d）与u—曲线的夹角.W円
欧拉（Euler）公式告诉我们只要知道主方向，任何方向（d）的法曲率都可以由方向（d）和u
一曲线的夹角0来确泄.而主曲率与法曲率有着下而的关系：
命题你円°"曲而上一点（非脐点）的主曲率是曲而在这点所有方向的法曲率中的最大值和最小值.
例1确定抛物而Z=a（x2+y2）在（0,0）点的主曲率.
解抛物而的方程r={x,”（心2+/）}可求得在（0,0）处
E=l,F=0,G=l；L=2a,M=0,N=2a
把第一、二基本量代入主曲率方程（7）得
（2“-心）—
解得
k}=k2=2a・
例2证明在曲而上给定点处，沿相互成为直角的方向的法曲率之为常数2/7.
证明设该点相互成直角方向的法曲率分别为&〃和Rh,则由欧拉公式得
kn=k、cos20+k2sin20
所以
kn+k；=&+匕=2H・
高斯（Gauss）曲率和平均曲率
若人.心为曲而上一点的两个主曲率，则它们的乘积/心称之为曲而在这一点的髙斯曲率（Gauss）,通常以K表示，它们的平均数+伙］+爲）称之为曲而在这一点的平均曲率，通常以H表示|2|（P174）
根据主曲率的方程（5）利用二次方程根与系数的关系得
LG—2MF+NE
2（EG-F2）
因而主曲率的方程也可以表示为
底・一2冰\「+K=0・
例1求正螺面Fcos\\usinav］的高斯曲率和平均曲率.
解由正螺而方程f={ucosv,iisinv,av}得
£=1,F=0>G=ir+a2
L=ii・ruu=0,M=n・rltv=_a,N=n・心=0
因此
“LG—2MF+NE0n
2（EG-F2）2（/+/）
例2如果曲而的平均曲率为零，则渐近线网构成正交网.
证明因为曲面的平均曲率
LG-2MF+NEn
H==0
2（EG-F2）
所以
LG—2MF+NE=0
设曲而的曲纹坐标网为渐近线网.则
于是
M・F=O,即F=0（若M=0,则曲而上的点为脐点）
所以曲纹坐标网为正交网，即渐近线构成正交网.
5曲面上点的类型
杜邦（Dupin）指标线
为了研究曲而上一点P处法截线的法曲率的关系，在点P的切平而上取点P为原点.坐标曲线
在P点的切向量兀和斥为基向量，人为对应方向（〃）的法曲率为，P为法曲率半径的绝对值,
而在点P的杜邦（Dupin）指标线.【叱曲
杜邦（Dupin）指标线的方程为
Lclx1+IMdxdy+Ndy2=±1.
曲面上点的分类
利用杜邦（Dupin）指标线可以对曲面上的点进行分类，同时也可以通过一点的髙斯曲率K来对曲而上的点进行分类（如表5-2）・卩“⑷
表5—2
类型
LN-F1
K
杜邦（Dupin）抬标线
椭圆点
>0
>0
椭圆
双曲点
<0
<0
双曲线
抛物点
=0
=0
抛物线
EFGz
脐点：
-=—=石，其中圆点：
（厶,M,/V）H（OQO）,平点：
L=M=N=0・例求曲而2{/,/,“+"}上的抛物点的轨迹.
解由r=|v3,w2,u+v|得
E=4u2+\,F=l,G=9『+l
L=6v\M=0,N=\2uv
w=0或v=0
所求抛物线的轨迹为
斤={『,0,*,石={o,i?
i/}.
6曲面上的特殊曲线和曲线网
曲率线及曲率网
立义1曲而上一曲线，如果它每一点的切方向都是主方向，则称它为曲率线.ZP98）
曲率线的微分方程为
dv2-dudvdu'
EFG=0.
LMN
立义2两族曲率线构成的曲率线网称为曲率网•帥卩勉
命题1在不含有脐点的曲而上，任何正规坐标网都可以做成曲纹坐标网.卩"99）
命题2曲纹坐标网为曲率网的充分必要条件是F=M=0.[1|（P99）
例1确左螺旋而X=ucosv,y=Wsinv,z=cv上的曲率线.
解螺旋而方程r={ucosv,usinv,cv}可以求得
E=l,F=0,G=u2+c2
L=0,n=°
由曲率线的方程得
dv2-dudvdu1
10u2+c2=0
化简得
±Jv=/血
\lu2+c2
积分得
inu+yju~+c2=±v+c
所以曲率线为
Inu+y/u1+c2+v=q,Inu+\jiC+c2—v=c2.
例2若曲而S「S?
交于一条曲线（C）,而且（C）是&的一条曲率线，贝iJ（C）也是S?
的曲率线
的充要条件是S「S?
沿着（C）相交成固泄角.
证明设S],S?
两曲面的切向量为片,心，相交曲线（C）:
r=r（//,v）是一条曲率线.由罗徳
里格（Rodrigues）宦理知阿=入声.
若（C）也是S?
的曲率线的充分必要条件为
d亓2="=\clrH,+nA（^/r）=0+/U0=0<^>n2=常数
o网•區|cosZ（芹，爲）=常数oZ（和禺）=4（常数）
O沿（C）曲面3,$2的夹角为定角.
渐近曲线及渐近网
泄义1曲而S上一固泄点P处，使11=0的方向称之为曲面在点P的渐近方向.ZP93）
立义2若曲面S上一条曲线（C）的切方向都是渐近方向，则称苴为渐近曲线.⑹哪）
定义3如果曲而上的点都是双曲点，则曲面上存在两族渐近曲线，这两族渐近曲线称为曲而
上的渐近网.
渐近曲线的微分方程为
Lehr+IMdudv+Ndv2=0.
命题1曲而上一条曲线为渐近曲线的充要条件是或者它是一条宜线，或者它在每一点的密切平而与曲面的切平面重合.1214⑵
命题2曲而的曲纹坐标网是渐近网的充要条件是L=N=O.I，l（w>
例1求曲而z=xy2的渐近曲线.
解由求曲而方程为r={x,y,A）r}得
E=1+y4,F=,G=\+4x2y2
L=0,"=1+4=2+）,2'"=1+心+）,2
由渐近曲线的微分方程得
dy=O与一dx+—dy=0
所以渐近曲线为
例2证明每一条曲线在它的主法线曲而上是渐近曲线.
证明设曲线（C）:
r=r（5）,贝ij主法线曲面S:
r=r（5）+//?
（5）
对S•微分得
rs=戸（£）+历（s）=4（s）+/（-炖（s）+疗（s））=（l-/Q）〃（s）+/z7（s）
对f微分得
"BO
曲而S的法向量
N=rsxrt=（l-/£）7（s）-"&（s）
沿曲线（C）,r=0,所以
那么
kn=kcos0=kcosZ（2V,cos—=0
因此曲线（C）为渐近曲线.
共轨网
立义曲而S上两个方向沪与莎，若dhdr=dr5n=0则称它们为互相共轨的方向.若曲而S上两族曲线的方向在每一点都是共轨方向，则这两族曲线构成共轨网.⑶"⑼
命题曲纹坐标网是共轨网的充要条件是M=0,,,•
例证明在曲面z=fM+g（y）上曲线族兀=常数，y=常数构成共辄网.
证明曲而Z=fM+g（y）的曲线族x=常数，若取x=则这族曲线的方程为
z=/（a）+g（y）
正是y—曲线，同理得常数，为尤一曲线.
由曲面方程
r={x.yj（x）+g（y）}
得
M=0
由上而的命题知，曲线族x=常数，y=常数构成共轨网.
通过以上对曲而第二基本形式及英相关概念、性质的讨论以及对命题、例题的证明，说明关于曲而弯曲性的研究是由点到线，由线到网的讨论过程，曲而的第二基本形式无处不在，它贯穿于曲而弯曲性的始终，并与曲而的第一基本形式共同建构了曲而论的基本定理，从而确定了曲而的形状.
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