全等模型专题7K字模型.docx
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全等模型专题7K字模型
K形图(三垂直模型)
模型图简介:
1、在△ABC中,∠ACB=90∘,AC=BC,直线,MN经过点C,且AD⊥MN于点D,BE⊥MN于点E.
(1)当直线MN绕点C旋转到如图1的位置时,求证:
DE=AD+BE;
(2)当直线MN绕点C旋转到如图2的位置时,求证:
DE=AD−BE;
(3)当直线MN绕点C旋转到如图3的位置时,线段DE、AD、BE之间又有什么样的数量关系?
请你直接写出这个数量关系,不要证明。
2、如图1,在正方形ABCD中,点E、F分别为边BC、CD的中点,AF、DE相交于点G,则可得结论:
①AF=DE;②AF⊥DE.(不需要证明)
(1)如图2,若点E、F不是正方形ABCD的边BC、CD的中点,但满足CE=DF.则上面的结论①、②是否仍然成立?
(请直接回答“成立”或“不成立”)
(2)如图3,若点E、F分别在正方形ABCD的边CB的延长线和DC的延长线上,且CE=DF,此时上面的结论①、②是否仍然成立?
若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由.
3、已知:
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90∘,AC=BC,点D是BC的中点,CE⊥AD,垂足为点E,BF∥AC交CE的延长线于点F。
求证:
AC=2BF。
4、如图,在四边形ABCD中,∠DAB=∠ABC=90∘,AD∥BC,AB=BC,E是AB的中点,CE⊥BD.,
(1)求证:
BE=AD;
(2)求证:
AC是线段ED的垂直平分线:
(3)△DBC是等腰三角形吗?
并说明理由。
5、如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90∘,l是AD的垂直平分线,交AD于点M,以腰AB为边作正方形ABEF,EP⊥l于P.求证:
2EP+AD=2CD.
6、
(1)某学习小组在探究三角形全等时,发现了下面这种典型的基本图形。
如图
(1),已知:
在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线l经过点A,BD⊥直线l,CE⊥直线l,垂足分别为点D.E.证明:
DE=BD+CE.
(2)组员小刘想,如果三个角不是直角,那结论是否会成立呢?
如图
(2),将
(1)中的条件改为:
在△ABC中,AB=AC,D.A. E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意锐角或钝角。
请问结论DE=BD+CE是否成立?
如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由。
(3)数学老师赞赏了他们的探索精神,并鼓励他们运用这个知识来解决问题:
如图(3),过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG,AH是BC边上的高,延长HA交EG于点I,求证:
I是EG的中点。
7、正方形ABCD的顶点A在直线MN上,点O是对角线AC、BD的交点,过点O作OE⊥MN于点E,过点B作BF⊥MN于点F.
(1)如图1,当O、B两点均在直线MN上方时,求证:
AF+BF=2OE;
(2)当正方形ABCD绕点A顺时针旋转至图2时。
线段 AF,BF与OE具有什么数量关系?
并说明理由。
(3)当运动到图3的位置时,线段AF、BF、OE之间又有怎样的数量关系?
请直接写出你的猜想。
8、
(1)如图1,现有一正方形ABCD,将三角尺的指直角顶点放在A点处,两条直角边也与CB的延长线、DC分别交于点E、F.请你通过观察、测量,判断AE与AF之间的数量关系,并说明理由.
(2)将三角尺沿对角线平移到图2的位置,PE、PF之间有怎样的数量关系,并说明理由.
(3)如果将三角尺旋转到图3的位置,PE、PF之间是否还具有
(2)中的数量关系?
如果有,请说明
9、如图①,已知A,B为直线
上两点,C为直线
上方一动点,连接AC,BC,分别以AC,BC为边向△ABC外作正方形CADF和正方形CBEG,过点D作DD1⊥
于点D1,过点E作EE1⊥
于点E1.
(1)如图②,当点E恰好在直线
上时(此时点E1与点E重合),试说明DD1=AB.
(2)在图①中,当D,E两点都在直线
的上方时,试探求三条线段DD1,EE1,AB之间的数量关系,并说明理由.
(3)如图③,当点E在直线
的下方时,请直接写出三条线段DD1,EE1,AB之间的数量关系.(不需要证明)
8、如图
(1)AB=8cm,AC⊥AB,BD⊥AB,AC=BD=6cm.点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动,同时,点Q在线段BD上由点B向点D运动.它们运动的时间为t(s).
(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,当t=1时,△ACP与△BPQ是否全等,请说明理由,并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系;
(2)如图
(2),将图
(1)中的“AC⊥AB,BD⊥AB”为改“∠CAB=∠DBA=60°”,其他条件不变.设点Q的运动速度为xcm/s,是否存在实数x,使得△ACP与△BPQ全等?
若存在,求出相应的x、t的值;若不存在,请说明理由.
9、
(1)如图
(1),△ABC是等边三角形,D、E分别是AB、BC上的点,且BD=CE,连接AE、CD相交于点P。
请你补全图形,并求出∠APD的度数;
(2)如图
(2),Rt△ABC中,∠B=90°,M、N分别是AB、BC上的点,且AM=BC,BM=CN,连接AN、CM相交于点P。
请你猜想∠APM的度数,并写出你的推理过程。
10、在四边形ABCD中,点E在BC上,CD=BE,DA=DE,∠DCE=∠ADE。
(1)如图1,若∠ADE=60,求证:
∠ABC=60
(2)如图2,若∠ADE=90,点G在BD上,连接AC、GC,GC=GB,若DG=4,求AC的长。
(3)如图3,若∠ADE=90,延长EB到点M,使BM=BE,直线AM交直线CD于点N,若CD=4.DN=5,求CE的长。