331两条直线的交点坐标 332两点间的距离 教案人教A版必修2.docx

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331两条直线的交点坐标332两点间的距离教案人教A版必修2

3.3.1两条直线的交点坐标

3.3.2两点间的距离

●三维目标

1．知识与技能

（1）会用解方程组的方法求两直线的交点坐标．

（2）会用方程组解的个数判断两直线的位置关系．

（3）掌握直角坐标系两点间的距离，会用坐标法证明简单的几何问题．

（1）组成学习小组，分别对直线和直线的位置进行判断，归纳过定点的直线系方程．

（2）通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性．

3．情感、态度与价值观

（1）通过两直线交点和二元一次方程组的联系，认识事物之间的内在的联系．

（2）体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题．

●重点难点

重点：

判断两直线是否相交，交点坐标、两点间距离公式的推导．

难点：

两直线相交与二元一次方程的关系、应用两点间距离公式证明几何问题．

重难点突破：

以具体案例为切入点，先用多媒体让学生感知两直线相交的几何特征，然后引导学生借助方程的思想求其交点坐标．对恒过定点的直线系的探究，教师可通过几何画板，让学生通过“看一看、想一想”的方式给予突破．由于两点间距离公式是坐标法处理平面几何距离问题的有力工具，故可用几何问题代数化的思想导出两点间距离公式，同时渗透用代数方法解决几何问题的思想方法．

●教学建议

两条直线的交点坐标实际上就是对应二元一次方程组的解．所以，求交点坐标的关键就是求对应二元一次方程组的解；同时明确两直线的位置关系与它们所对应的方程组的解的对应关系（若方程组有唯一解，则此解就是两条直线的交点，若方程组无解，则两条直线平行），而两点间的距离是勾股定理的应用，所以，在课堂教学中，应先复习二元一次方程组的解法和勾股定理，以便为本节课的学习做准备．坐标法的教学是本节知识的一个难点，教学时，教师可从建系原则、几何问题代数化等角度引导学生突破难点．在本节学习过程中，建议教师适当补充例题，通过题目训练，让学生充分体会用代数方法刻画两直线交点关系的过程（由数到形），了解解析几何解决问题的基本方法，体会“数形结合”的思想．

●教学流程

创设问题情境，引出问题：

如何求两条直线的交点坐标？

⇒

⇒

⇒

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⇒

⇒

⇒

课标解读

1.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标．（重点）

2.会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系．（难点）

3.掌握两点间的距离公式并会简单应用．（重点）

两条直线的交点坐标

【问题导思】　

　观察下列各组直线．

（1）x＋y＝0，x＋y＋1＝0；

（2）2x＋3y＋1＝0,3x＋y＋2＝0.

　这两组直线的位置关系怎样？

若平行，说明理由；若相交，求出交点坐标．

【提示】　第

（1）组直线平行，因为两直线的斜率相等且在y轴上的截距不相等．第

（2）组直线相交，其交点坐标为（－

，

）．

　两条直线的交点

已知两直线l1：

A1x＋B1y＋C1＝0；l2：

A2x＋B2y＋C2＝0.若两直线方程组成的方程组

有惟一解

则两直线相交，交点坐标为（x0，y0）.

两点间的距离

【问题导思】　

1．在x轴上两点A1（x1,0），B1（x2,0）间的距离如何计算？

【提示】　|A1B1|＝|x2－x1|.

2．在y轴上两点C（0，y1），D（0，y2）间的距离如何计算？

【提示】　|CD|＝|y2－y1|.

3．你能结合问题1、2推导出空间两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的距离公式吗？

【提示】　|P1P2|＝

.

　两点间的距离

（1）平面上的两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的距离公式|P1P2|＝

.

（2）两点间距离的特殊情况

①原点O（0,0）与任一点P（x，y）的距离|OP|＝

.

②当P1P2∥x轴（y1＝y2）时，|P1P2|＝|x2－x1|.

③当P1P2∥y轴（x1＝x2）时，|P1P2|＝|y2－y1|.

两条直线的交点问题

　判断下列各组直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标：

（1）l1：

5x＋4y－2＝0，l2：

2x＋y＋2＝0；

（2）l1：

2x－6y＋3＝0，l2：

y＝

x＋

；

（3）l1：

2x－6y＝0，l2：

y＝

x＋

.

【思路探究】　

【自主解答】　

（1）解方程组

得

所以l1与l2相交，且交点坐标为（－

，

）．

（2）解方程组

②×6整理得2x－6y＋3＝0.

因此，①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，l1与l2重合．

（3）解方程组

②×6－①得3＝0，矛盾．

方程组无解，所以两直线无公共点，l1∥l2.

　判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况．

　（2012·曲靖高一检测）两直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，那么k的值为（　　）

A．－24　　　　B．6　　　　C．±6　　　　D．24

【解析】　在2x＋3y－k＝0中，令x＝0得y＝

，将（0，

）代入x－ky＋12＝0，解得k＝±6.

【答案】　C

两点间的距离公式及应用

　已知△ABC三顶点坐标A（－3,1）、B（3，－3）、C（1,7），试判断△ABC的形状．

【思路探究】　可先在直角坐标系中画出△ABC，估计其形状，然后以边长和角为着眼点，分析印证估计的正确性．

【自主解答】　法一　∵|AB|＝

＝

，

|AC|＝

＝

，

又|BC|＝

＝

，

∴AB2＋AC2＝BC2，且AB＝AC，

∴△ABC是等腰直角三角形．

法二　∵kAC＝

＝

，

kAB＝

＝－

，

则kAC·kAB＝－1，

∴AC⊥AB.

又|AC|＝

＝

，

|AB|＝

＝

，

∴AC＝AB.∴△ABC是等腰直角三角形．

1．判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向．

2．在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：

一是要考虑角的特征，主要考查是否为直角或等角；二是要考虑三角形边的长度特征，主要考查边是否相等或是否满足勾股定理．

　已知点A（4,12），在x轴上的点P与点A的距离等于13，求点P的坐标．

【解】　设点P的坐标为（x,0），

由|PA|＝13，得

＝13，

解得x＝－1或x＝9.

所以点P的坐标为（－1,0）或（9,0）．

运用解析法解决平面几何问题

　在△ABC中，AD是BC边上的中线．

求证：

|AB|2＋|AC|2＝2（|AD|2＋|DC|2）．

【思路探究】　

―→

【自主解答】　设BC所在边为x轴，以D为原点，建立坐标系，如图所示，设A（b，c），C（a,0），则B（－a,0）．

∵|AB|2＝（a＋b）2＋c2，

|AC|2＝（a－b）2＋c2，|AD|2＝b2＋c2，|DC|2＝a2，

∴|AB|2＋|AC|2＝2（a2＋b2＋c2），

|AD|2＋|DC|2＝a2＋b2＋c2，

∴|AB|2＋|AC|2＝2（|AD|2＋|DC|2）．

　利用坐标法解平面几何问题常见的步骤：

（1）建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上；

（2）用坐标表示有关的量；

（3）将几何关系转化为坐标运算；

（4）把代数运算结果“翻译”成几何关系．

　已知：

等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.

求证：

|AC|＝|BD|.

【证明】　如图所示，建立直角坐标系，设A（0,0），B（a,0），C（b，c），则点D的坐标是（a－b，c）．

∴|AC|＝

＝

，

|BD|＝

＝

.

故|AC|＝|BD|.

对称问题的求解策略

　（12分）（2013·临沂高一检测）光线通过点A（2,3）在直线l：

x＋y＋1＝0上反射，反射光线经过点B（1,1），试求入射光线和反射光线所在直线的方程．

【思路点拨】　求点A关于直线l的对称点A′―→求反射光线所在直线的方程―→求入射光线与反射光线的交点坐标―→求入射光线所在的直线方程．

【规范解答】　设点A（2,3）关于直线l的对称点为A′（x0，y0），

则

解之，得A′（－4，－3）.4分

由于反射光线经过点A′（－4，－3）和B（1,1），

所以反射光线所在直线的方程为

y－1＝（x－1）·

，

即4x－5y＋1＝0.

解方程组

得反射点P（－

，－

）．

8分

所以入射光线所在直线的方程为

y－3＝（x－2）·

，

即5x－4y＋2＝0.12分

1．光线的入射、反射问题、角的平分线问题以及在某定直线取点，使它与两定点距离之和最小问题均属于点关于直线对称问题．解决这类问题的方法是设对称点坐标，由“垂直”和“平分”列方程解得．

2．点A（x0，y0）关于直线l：

Ax＋By＋C＝0的对称点M（x，y）可由方程组

求得．

1．方程组

有唯一解的等价条件是A1B2－A2B1≠0.亦即两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0.直线A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0（λ∈R）是过直线l1：

A1x＋B1y＋C1＝0与l2：

A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线（不含l2）．

2．解析法又称为坐标法，它就是通过建立直角坐标系，用坐标代替点、用方程代替曲线、用代数的方法研究平面图形的几何性质的方法．

3．两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的距离公式|P1P2|＝

与两点的先后顺序无关，其反映了把几何问题代数化的思想.

1．直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是（　　）

A．（4,1）　　　　　　　B．（1,4）

C．（

，

）D．（

，

）

【解析】　由方程组

得

即

直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是（

，

）．

【答案】　C

2．已知M（2,1），N（－1,5），则|MN|等于（　　）

A．5B.

C.

D．4

【解析】　|MN|＝

＝5.

【答案】　A

3．下列直线中，与直线x＋3y－4＝0相交的直线为（　　）

A．x＋3y＝1B．y＝－

x－12

C.

＋

＝1D．y＝－

x＋4

【解析】　若直线与直线x＋3y－4＝0相交，则两条直线的斜率不相等，故选C.

【答案】　C

4．已知在Rt△ABC中，∠B为直角，|AB|＝a，|BC|＝b.建立适当的坐标系，写出顶点A，B，C的坐标，并求证斜边AC的中点M到三个顶点的距离相等．

【解】　取边BA所在的直线为x轴，边BC所在的直线为y轴，建立直角坐标系，如图，则三个顶点的坐标分别为A（a,0），B（0,0），C（0，b）．

由中点坐标公式得，斜边AC的中点M的坐标为（

，

），

则|MA|＝

＝

，

|MB|＝

＝

，

|MC|＝

＝

.

故|MA|＝|MB|＝|MC|.

即斜边AC的中点M到三个顶点的距离相等．

一、选择题

1．直线x－2y＋1＝0与2x＋y－1＝0的位置关系是（　　）

A．平行　　　　　　　B．相交且垂直

C．相交但不垂直D．重合

【解析】　∵

≠

且

×（－2）＝－1，

∴两直线相交且垂直．

【答案】　B

2．已知点A（－2，－1），B（a,3），且|AB|＝5，则a的值为（　　）

A．1B．－5

C．1或－5D．－1或5

【解析】　由|AB|＝

＝5，可知（a＋2）2＝9.

∴a＝1或－5.

【答案】　C

3．（2013·周口高一检测）直线kx－y＋1＝3k，当k变动时，所有直线都通过定点（　　）

A．（0,0