春季人教版八年级数学下册181专题训练 平行四边形的证明 含答案.docx

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春季人教版八年级数学下册181专题训练平行四边形的证明含答案

18.1专题训练平行四边形的证明

1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C.求证：

四边形ABCD是平行四边形．

2．如图，在▱ABCD中，点E在AB的延长线上，且EC∥BD.求证：

四边形BECD是平行四边形．

3．已知：

如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD，点E，F在AC上，且AF＝CE.求证：

四边形BEDF是平行四边形．

4．如图，DE是△ABC的中位线，延长DE到F，使EF＝DE，连接BF.求证：

（1）BF＝DC；

（2）四边形ABFD是平行四边形．

5．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O，分别与AB，CD的延长线交于点E，F.求证：

四边形AECF是平行四边形．

6．如图，在△ABC中，D，E，F分别为边AB，BC，CA的中点．求证：

四边形DECF是平行四边形．

7．如图，▱ABCD中，点O是对角线AC的中点，EF过点O，与AD，BC分别相交于点E，F，GH过点O，与AB，CD分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH.求证：

四边形EGFH是平行四边形．

8．已知：

如图，在▱ABCD中，延长AB至点E，延长CD至点F，使得BE＝DF.连接EF，与对角线AC交于点O.求证：

OE＝OF.

9．如图1，在▱ABCD中，∠ABC，∠ADC的平分线分别交AD，BC于点E，F.

（1）求证：

四边形EBFD是平行四边形；

（2）小明在完成

（1）的证明后继续进行了探索．连接AF，CE，分别交BE，FD于点G，H，得到四边形EGFH.此时，他猜想四边形EGFH是平行四边形，请在框图（图2）中补全他的证明思路．

图1

小明的证明思路

由

（1）可知BE∥DF，要证明四边形EGFH

是平行四边形，只需证GF∥EH．

由

（1）可证ED＝BF，则AE＝FC，又由AE∥CF，

故四边形AFCE是平行四边形，从而可证得四边

形EGFH是平行四边形．

10．如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，点E是边CD的中点，点F在BC的延长线上，且CF＝

BC，求证：

四边形OCFE是平行四边形．

11．如图，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，顺次连接E，F，G，H，得到的四边形EFGH叫中点四边形．求证：

四边形EFGH是平行四边形．

12．如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE＝CF，EF，BD相交于点O，求证：

OE＝OF.

13．如图，在▱ABCD中，AE＝CF，M，N分别是BE，DF的中点，求证：

四边形MFNE是平行四边形．

14．如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，对角线AC分别交BE，DF于点G，H.求证：

AG＝CH.

15.如图，在▱ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，试判断四边形AECF是不是平行四边形，并说明理由．

16.如图，已知□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，直线EF经过点O，且分别交AB，CD于点E，F.求证：

四边形BFDE是平行四边形．

17.如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．求证：

四边形BCEF是平行四边形．

18．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝24cm，BC＝30cm，点P从点A向点D以1cm/s的速度运动，到点D即停止．点Q从点C向点B以2cm/s的速度运动，到点B即停止．直线PQ将四边形ABCD截成两个四边形，分别为四边形ABQP和四边形PQCD，则当P，Q两点同时出发，几秒后所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？

参考答案

18.1专题训练平行四边形的证明

1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C.求证：

四边形ABCD是平行四边形．

证明：

∵AD∥BC，

∴∠A＋∠B＝180°，

∠C＋∠D＝180°.

∵∠A＝∠C，

∴∠B＝∠D.

∴四边形ABCD是平行四边形．

2．如图，在▱ABCD中，点E在AB的延长线上，且EC∥BD.求证：

四边形BECD是平行四边形．

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，即BE∥DC.

又∵EC∥BD，

∴四边形BECD是平行四边形．

3．已知：

如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD，点E，F在AC上，且AF＝CE.求证：

四边形BEDF是平行四边形．

证明：

连接BD交AC于O，

∵AB＝CD，BC＝AD，

∴四边形ABCD是平行四边形．

∴AO＝CO，BO＝DO.

∵AF＝CE，∴AF－AO＝CE－CO，即OF＝OE.

又∵OB＝OD，∴四边形BEDF是平行四边形．

4．如图，DE是△ABC的中位线，延长DE到F，使EF＝DE，连接BF.求证：

（1）BF＝DC；

（2）四边形ABFD是平行四边形．

证明：

（1）∵DE是△ABC的中位线，

∴CE＝BE.

在△DEC和△FEB中，

∴△DEC≌△FEB（SAS）．

∴BF＝DC.

（2）∵DE是△ABC的中位线，

∴DE∥AB，且DE＝

AB.

又∵EF＝DE，

∴DE＝

DF.

∴DF＝AB.

又∵DF∥AB，

∴四边形ABFD是平行四边形．

5．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O，分别与AB，CD的延长线交于点E，F.求证：

四边形AECF是平行四边形．

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OD＝OB，OA＝OC，AB∥CD.

∴∠DFO＝∠BEO，∠FDO＝∠EBO.

在△FDO和△EBO中，

∴△FDO≌△EBO（AAS）．

∴OF＝OE.

又∵OA＝OC，

∴四边形AECF是平行四边形．

6．如图，在△ABC中，D，E，F分别为边AB，BC，CA的中点．求证：

四边形DECF是平行四边形．

证明：

∵D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，

∴DF，DE为△ABC的中位线．

∴DF∥BC，DE∥AC.

∴四边形DECF是平行四边形．

7．如图，▱ABCD中，点O是对角线AC的中点，EF过点O，与AD，BC分别相交于点E，F，GH过点O，与AB，CD分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH.求证：

四边形EGFH是平行四边形．

证明：

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD∥BC.

∴∠EAO＝∠FCO.

∵O为AC的中点，

∴OA＝OC.

在△OAE和△OCF中，

∴△OAE≌△OCF（ASA）．

∴OE＝OF.

同理可证得OG＝OH.

∴四边形EGFH是平行四边形．

8．已知：

如图，在▱ABCD中，延长AB至点E，延长CD至点F，使得BE＝DF.连接EF，与对角线AC交于点O.求证：

OE＝OF.

证明：

证法一：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB＝CD.

∵BE＝DF，∴AB＋BE＝CD＋DF，即AE＝CF.

∵AB∥CD，∴AE∥CF.∴∠E＝∠F.

又∵∠AOE＝∠COF，

∴△AOE≌△COF（AAS）．∴OE＝OF.

证法二：

连接AF，CE.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB＝CD.

∵BE＝DF，∴AB＋BE＝CD＋DF，即AE＝CF.

∵AB∥CD，∴AE∥CF.

∴四边形AECF是平行四边形．∴OE＝OF.

9．如图1，在▱ABCD中，∠ABC，∠ADC的平分线分别交AD，BC于点E，F.

（1）求证：

四边形EBFD是平行四边形；

（2）小明在完成

（1）的证明后继续进行了探索．连接AF，CE，分别交BE，FD于点G，H，得到四边形EGFH.此时，他猜想四边形EGFH是平行四边形，请在框图（图2）中补全他的证明思路．

图1

小明的证明思路

由

（1）可知BE∥DF，要证明四边形EGFH

是平行四边形，只需证GF∥EH．

由

（1）可证ED＝BF，则AE＝FC，又由AE∥CF，

故四边形AFCE是平行四边形，从而可证得四边

形EGFH是平行四边形．

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，AD＝BC.

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE＝∠EBC＝

∠ABC.

∵DF平分∠ADC，

∴∠ADF＝∠CDF＝

∠ADC.

∴∠EBC＝∠ADF.

∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBC.

∴∠AEB＝∠ADF.

∴EB∥DF.

又∵ED∥BF，

∴四边形EBFD是平行四边形．

10．如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，点E是边CD的中点，点F在BC的延长线上，且CF＝

BC，求证：

四边形OCFE是平行四边形．

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴点O是BD的中点．

又∵点E是边CD的中点，

∴OE是△BCD的中位线．

∴OE∥BC，且OE＝

BC.

又∵CF＝

BC，

∴OE＝CF.

又∵点F在BC的延长线上，

∴OE∥CF.

∴四边形OCFE是平行四边形．

11．如图，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，顺次连接E，F，G，H，得到的四边形EFGH叫中点四边形．求证：

四边形EFGH是平行四边形．

证明：

连接BD.

∵E，H分别是AB，AD的中点，

∴EH是△ABD的中位线．

∴EH＝

BD，EH∥BD.

同理FG＝

BD，FG∥BD.

∴EH＝FG，EH∥FG.

∴四边形EFGH是平行四边形．

12．如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE＝CF，EF，BD相交于点O，求证：

OE＝OF.

证明：

连接BE，DF.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD＝BC.

∵AE＝CF，∴DE＝BF.

又∵DE∥BF，

∴四边形BEDF是平行四边形．

∴OE＝OF.

13．如图，在▱ABCD中，AE＝CF，M，N分别是BE，DF的中点，求证：

四边形MFNE是平行四边形．

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD＝BC.

又∵AE＝CF，

∴AD－AE＝BC－CF，

即DE＝BF.

∴四边形BEDF是平行四边形．

∴BE∥DF，BE＝DF.

∵M，N分别是BE，DF的中点，

∴EM＝

BE＝

DF＝NF.

∴四边形MFNE是平行四边形．

14．如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，对角线AC分别交BE，DF于点G，H.求证：

AG＝CH.

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝BC，AD∥BC.

∴∠HCF＝∠GAE.

又∵E，F分别是边AD，BC的中点，

∴AE＝FC，DE＝BF.

又∵DE∥BF，∴四边形BFDE是平行四边形．

∴∠BED＝∠BFD.∴∠AEG＝∠CFH.

在△AGE和△CHF中，

∴△AGE≌△CHF（ASA）．∴AG＝CH.

15.如图，在▱ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，试判断四边形AECF是不是平行四边形，并说明理由．

解：

四边形AECF是平行四边形．理由如下：

∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，

∴∠AEF=∠CFE=90°，

∴AE∥CF（内错角相等，两直线平行），

在平行四边形ABCD中，AB=CD，AB∥CD，

∴∠ABE=∠CDF，

在△ABE与△DCF中，

，

∴△ABE≌△CDF（AAS），

∴AE=CF，

∴四边形AECF是平行四边形（有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）

16.如图，已知□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，直线EF经过点O，且分别交AB，CD于点E，F.求证：

四边形BFDE是平行四边形．

证明：

∵□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，

∴OA＝OC，OB＝OD，∠DCO=∠BAO

又∵∠AOE=∠COD，

∴△AOE≌△COF，

得OE＝OF，

∴四边形BFDE是平行四边形．

17.如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．求证：

四边形BCEF是平行四边形．

证明：

在△AFB和△DCE中，

∴△AFB≌△DCE（SAS），

∴FB=CE，

∴∠AFB=∠DCE，

∴FB∥CE，

∴四边形BCEF是平行四边形．

18．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝24cm，BC＝30cm，点P从点A向点D以1cm/s的速度运动，到点D即停止．点Q从点C向点B以2cm/s的速度运动，到点B即停止．直线PQ将四边形ABCD截成两个四边形，分别为四边形ABQP和四边形PQCD，则当P，Q两点同时出发，几秒后所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？

解：

设当P，Q两点同时出发ts后，四边形ABQP或四边形PQCD是平行四边形．

根据题意，得AP＝tcm，PD＝（24－t）cm，CQ＝2tcm，BQ＝（30－2t）cm（0≤t≤15）．

①若四边形ABQP是平行四边形，

∵AD∥BC，∴还需满足AP＝BQ.

∴t＝30－2t.解得t＝10.

∴10s后四边形ABQP是平行四边形；

②若四边形PQCD是平行四边形，

∵AD∥BC，∴还需满足PD＝CQ.

∴24－t＝2t.解得t＝8.

∴8s后四边形PQCD是平行四边形．

综上所述：

当P，Q两点同时出发8秒或10秒后，所截得两个四边形中其中一个四边形为平行四边形．