初中数学第五章 相交线与平行线详细标准讲解.docx
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初中数学第五章相交线与平行线详细标准讲解
第五章相交线与平行线
一、新课程标准对本章的要求
（1）理解对顶角、余角、补角等概念，探索并掌握对顶角相等、同角（等角）的余角相等，同角（等角）的补角相等的性质.
（2）理解垂线、垂线段等概念，能用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线.
（3）理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离.
（4）掌握基本事实：
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
（5）识别同位角、内错角、同旁内角.
（6）理解平行线概念；掌握基本事实：
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行.
（7）掌握基本事实：
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
（8）掌握平行线的性质定理：
两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.*了解平行线性质定理的证明（参看例60）.
（9）能用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线.
（10）探索并证明平行线的判定定理：
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等（或同旁内角互补），那么两直线平行；平行线的性质定理：
两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等（或同旁内角互补）.
（11）了解平行于同一条直线的两条直线平行.
二、教学参考书对本章的要求
（一）本章学习目标
（1）结合具体情境，理解邻补角、对顶角的概念，探索并掌握对顶角相等；理解垂线、垂线段等概念，掌握“过一点有且只有一条直线垂直于已知直线”的基本事实，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线，了解垂线段最短的性质，了解点到直线距离的意义并会度量点到直线的距离.
（2）理解平行线的概念，了解平行公理及其推论，会用三角尺和直尺过直线外一点画这条直线的平行线；会识别同位角、内错角、同旁内角；探索并掌握平行线的性质和判定方法，会度量两条平行线之间的距离.
（3）通过具体实例认识平移，理解对应点连线平行且相等的性质，能按照要求做出简单平面图形平移后的图形，能利用平移进行简单的图案设计，认识和欣赏平移在现实生活中的应用.
（4）了解命题的概念，能初步区分命题的题设和结论；理解本章学过的关于描述图形形状和位置关系的语句，会用这些语句画出图形；能结合一些具体内容进行说理和简单推理，初步养成言之有据的习惯.
（5）能初步应用本章所学的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题，体会研究几何图形的意义；在观察、操作、想象、推理、交流的过程中，发展空间观念，初步形成积极参与数学活动、与他人合作交流的意识，激发学习图形与几何的兴趣.
（二）本章知识结构框图
（三）内容安排
本章包括4节内容以及三个选学内容；教科书从两条直线相交入手探索了平面内两条直线的位置关系、垂线和垂线段的概念以及平行线的性质和判定，然后在研究平行线的基础上研究基本的图形变换——平移
51相交线
相交线是整式四则运算的重要组成部分.本节分为三个小节，本节课研究的相交线是平面内两条直线的两种位置关系中的一种情形，这部分内容学生在前两个学段已有所接触，并且学生在上学期已经学习了直线、射线和线段和角的有关知识，因此，本节课是在学生已有知识和经验的基础上，来进一步研究平面内两条直线相交的情形，在本节课中首先探究了两直线相交成的角的位置和大小关系，给出了邻补角和对顶角的概念，得出了“对顶角相等”的结论；本节课对垂直的情形进行了专门的研究，探索得出了“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”“垂线段最短”的结论，并给出了点到直线的距离的概念，接下来研究两条直线被第三条直线所截的情形，给出了同位角、内错角、同旁内角等概念，为学习平行奠定基础.
在本节课中，除了让学生重点掌握以上的基础知识外，还应通过大量的识图和作图训练，来培养学生的图形感，同时，还应在解决问题的过程中注意学生推理能力的培养，这也是教学的难点.
由于本节课的内容较易理解，因此在教学过程中，可尝试利用探究式教学，引导学生自己观察，分析特征，猜想结论，然后推理论证.
52 平行线的及其判定
本节分为两个小节，分别介绍平行线与平行线的判定.
本节课是在学习上节课在平面内来两条直线的位置关系中的另一种情形——平行，这一节的主要内容是平行线的概念、平行公理及其推论以及平行线的判定方法，这部分内容学生在前两个学段已有所接触，对平行线已有了直观的认识，这样在已有知识和经验的基础上，来系统地研究平面内两条直线平行的情形.
平行线的判定是图形与几何领域的基础知识，是本节课的重点内容，在今后的学习中要经常用到，学习平行线的判定关键是理解与相交线、平行线有关的角的知识，因为直线的位置关系是通过有关角的知识反映出来的；在本节课中，除了让学生重点掌握以上的基础知识外，还应通过大量的识图和作图训练来培养学生的图形感，平行线的判定教材中介绍了三种判定方法，即：
同位角相等，两条直线平行；内错角相等，两条直线平行；同旁内角互补，两条直线平行.在解决问题的过程中，要注意学生推理能力的培养，这也是教学中的难点.
53 平行线的性质
平行线的三条性质和平行线的判定互为逆命题，条件和结论相反，所以从平行线的判定关系入手引入平行线的性质的探究，对于命题的相关知识是在已经接触了一些命题的基础上初步了解命题、命题的构成、真命题、假命题、定理等内容，初步掌握有关形式的逻辑概念和术语.
54平移
从《课标》看，图形的变换是“空间与图形”领域中的重要内容，通过将图形变换使图形“动”起来，有助于在运动变化过程中发现图形的几何性质，所以平移是一种基本的图形变换，也是本套教材引进的第一个图形变换，它渗透了图形变换的思想，是学生后续学习的基础，本节课只需了解平移的特征，能按照要求作出简单图形平移后的图形即可.
（四）课时安排
七年级下册第5章是“相交线与平行线”，本章主要研究平面内两条直线的位置关系，重点是垂直和平行关系，以及有关平移变换的内容．本章共安排了四个小节以及两个选学内容，教学时间约需14课时，具体分配如下（仅供参考）：
51相交线 4课时
52平行线及其判定 4课时
53平行线的性质3课时
54平移1课时
数学活动
小结2课时
（五）编写本章时考虑的问题
1、立足于学生的生活经验和已有的数学活动经验，创设恰当的问题情景，呈现相交线与平行线的教学内容.而情景的创设，需要教师进行“教学法的加工”和一定程度上的创造.
一是要注意体现平行线、相交线的模型作用（即，平行线、相交线是对现实生活中大量现象的一种刻画和描述）;
二是要注意题材选取的灵活性，既可以充分利用教材上已有的题材，也可以根据实际创设更现实的、更有趣的问题情景.
例如，探索平行线的特征，既可以在有平行线条的纸上任意画一条直线，利用测量的方法发现同位角之间的关系；也可以让学生分组活动，利用平移三角板的方法在纸上任意画出被第三条直线所截的两条平行线，剪下一组同位角中的一个，观察它是否与另一个重合;还可以通过折纸的方法，先折出一组平行线，在任意折一条线与这组平行线相交，剪下一组同位角，通过叠合的方法判断两者的相等关系.
2、以直观和操作为主的教、学，是本章教学应关注的中心话题.
这不仅是由本章的内容所决定的，本章中的大部分结论是通过直观得出的，更是由于学生的年龄特征和“空间与图形”入门教学的阶段性所制约的.在教学中，不论是探索平行的条件、寻找对顶角相等的结论，还是发现平行线的特征、作一个角，都需要学生对三角板、简单学具（教具）等的动手操作，对观察、拼摆、测量、画图等活动的主动参与、自主探索和合作交流.
3、在对直线的相交与平行问题的直观分析以及有关的数学操作活动中，有意识地培养学生有条理的思考、表达和交流，逐步渗透说理、推理的意识，掌握一些简单的尺规作图技能.特别地，要有意识地引导学生自觉地用一定的活动表达自己对有关概念、结论的理解，自觉地用自己的语言（即使是不规范的语言）说明自己操作的过程，并尝试解释其中的理由.
（1）关注学生参与观察、操作、测量、画图等活动的主动程度、合作意识，在活动过程中对思考结果的表达、交流的程度和水平，同时，关注学生在数学活动的发现、探索方面的表现.
例如，在“平行线的特征”图2-9的相应活动中，除了按照教材上所说的测量方式发现同位角相等、内错角相等的结论外，学生能否发现其他的方法探索或验证有关的结论？
能否主动改变直线c的位置发现一般的结论？
这都属于在发现、探索方面的创新表现.
（2）对知识技能的评价：
关注学生能否识别现实生活中大量存在的相交线、平行线；能否借助现实情景理解有关的几何事实；能否依据相交线、平行线和角的基本特性，根据问题需要进行恰当的操作、画简单的尺规图形或简单说理，并用自己的语言加以表达、交流.
（3）考察学生对所学内容的理解和掌握程度，除通常所用的提问（口试）、笔试等方式外，也可以通过动手操作，辅以基本上条理的语言表达.
例如，考察学生对平行线特征的掌握程度，可以让学生在演示“三线八角”教具模型的过程中叙述自己对“两条木条所在直线平行时，哪些角一定相等”的理解和认识.
（六）对本章教学的几个建议
（1）内容呈现上充分体现认知过程，给学生提供探索与交流的时间和空间
强调学生通过“做数学”来学习数学是本章教科书的一个突出特点.在内容处理上，加强了实验几何的成分，将实验几何与论证几何有机结合．对于几何中的结论，多是采用先让学生通过画图、折纸、剪纸、度量或做试验等活动，探索发现几何结论，然后再对结论进行说明、解释或论证，为由实验几何到论证几何的过渡做好铺垫，在教学时应充分注意这一点．
对于本章中的一些概念、性质、公理和定理，教科书大多是通过“留空”、设问、设置“观察”“思考”“讨论”“探究”“归纳”以及“数学活动”等栏目，让学生通过探索活动来发现结论，经历知识的“再发现”过程，在探究活动的过程中发展创新思维能力，改变学生的学习方式．
（2）注意加强直观性
密切联系实际，体现知识的形成和应用过程，以实际问题为出发点和归宿是编写这套教科书特别关注的问题．几何图形是从实际中抽象出来的，所以几何图形的定义、性质都是比较抽象的，这一点对于学生来说有一定的困难．为了减少学生学习的困难，在学习这一章时，注意加强了直观教学，使教学内容尽量贴近学生的生活．
（3）循序渐进地安排技能训练
这一章的教学，除了要学习一些数学知识以外，还担负着一些技能和能力的培养和训练的任务．这既有几何语言、图形方面的，也有说理、推理方面的．这些内容，都是进一步学习空间与图形知识的基础．教科书在这方面也是作了精心安排，在教学时应当注意按照由简单到复杂，由模仿到独立操作的顺序，逐步提高要求．
（4）有意识地培养学生有条理的思考和表达
对于推理能力的培养，本套教科书按照“说点儿理”“说理”“简单推理”“用符号表示推理”等不同层次分阶段逐步加深地安排．本章对于推理的要求还处在入门阶段，只是结合知识的学习，识图、画图、几何语言的训练从“说理”过渡到“简单推理”．各个过程中，都没有采用“已知……，求证……，证明”的形式逻辑格式，而是用说理的方式展示推理的过程，但强调让学生经历推理的过程，感受推理论证的作用，使说理、推理作为观察、实验、探究得出结论的自然延续．因此教学中要注意准确把握教学要求，对推理能力的培养要有一个循序渐进逐步提高的过程，要鼓励学生用自己的语言说明理由，在书写格式上不作统一要求，可以用自然语言，可以结合图形进行说明，可以用箭头等形式表明自己的思路，也可以用数学符号语言表示说理、简单推理的过程，等等．总之，要注意逐步提高、不要急于要求学生用数学符号语言书写，不能操之过急．
另外，说理、推理的内容是本章的教学难点，教科书中注意对学生循序渐进地进行训练．
（5）注意突出重点内容
这一章的内容比较丰富，除了要研究平面内两条直线间的位置关系（重点是垂直和平行关系），还包括平移变换的内容以及一些命题的内容，由于教学时间有限，为了使学生集中精力掌握最基础的知识，并形成一定的能力，教学时应注意突出重点．由于内容较多，每课教学时都要突出一两个重点，课堂活动也要围绕这一两个重点进行．
（6）处理好平移内容
从《标准》看，图形的变换是“空间与图形”领域中一块重要的内容，图形的变换主要包括图形的平移、图形的轴对称、图形的旋转和图形的相似等．通过对图形的平移、旋转、折叠等活动，使图形动起来，有助于发现图形的几何性质，因此图形的变换是研究几何问题的有效的工具．平移是一种基本的图形变换，在本章第4节安排了平移变换的内容．
对于平移的内容，本章只是一个初步认识，本册书在“平面直角坐标系”中还安排了“用坐标表示平移”的内容，从数的角度用代数的方法研究平移变换，将平移变换从数和形两方面统一起来，使学生对平移变换有更深刻的了解，为今后使用平移变换发现几何结论，研究几何问题打下基础．
三、具体知识点及详细标准
【知识点1】邻补角、对顶角
（一）定义：
邻补角：
两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角称为互为邻补角.
对顶角：
一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角.
（二）性质：
对顶角相等.
注意点：
⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；
⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那
么∠α与∠β不一定是对顶角
⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果
∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角.
（4）两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个.
（三）学习目标
1、了解两条直线相交所构成的角，理解并掌握对顶角、邻补角的概念和性质.
2、理解对顶角性质的推导过程，并会运用这个性质进行简单的计算.
3、经历观察、操作、推断、交流等数学活动，辨别对顶角与邻补角，培养识图的能力.
4、在组合作交流中，培养协作精神,探究精神，增强学习信心
（四）重点难点
教学重点：
邻补角和对顶角的概念及对顶角相等的性质.
教学难点：
在较复杂的图形中准确辨认对顶角和邻补角.
（四）基本题型
【题型1】邻补角和对顶角的概念
1判断下列图中，∠1，∠2是否是对顶角：
（★）
2、如图，直线AB，CD，EF相交，则图中共有（）对对顶角.（★★）
2邻补角和对顶角的性质
（1），如图，直线AB、CD、EF相交于点O，写出∠AOC,∠BOE的邻补角.
写出∠DOA,∠EOC的对顶角.如果∠AOC=50°，求∠BOD,∠COB的度数.（★）
（2）如图，直线a,b相交于O点，∠1+∠3=100°，则∠2=，
∠3=∠4=.（★★）
【题型二】综合运用（★★）
如图，直线AB，CD相交于O点，∠AOC=2∠COB，OE平分∠DOB，
则∠DOE=度.
【知识点2】垂线
（一）1、定义，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.
符号语言记作：
如图所示：
AB⊥CD，垂足为O
A
COD
B
2、垂线性质1：
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（与平行公理相比较记）
垂线性质2：
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：
垂线段最短.
3、垂线的画法：
⑴过直线上一点画已知直线的垂线；
⑵过直线外一点画已知直线的垂线.
注意：
①画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线；②过一点作线段的垂线，垂足可在线段上，也可以在线段的延长线上.
画法：
⑴一靠：
用三角尺一条直角边靠在已知直线上.
⑵二移：
移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上.
⑶三画：
沿着这条直角边画线，不要画成给人的印象是线段的线.
4、点到直线的距离
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离
记得时候应该结合图形进行记忆.
如图，PO⊥AB，同P到直线AB的距离是PO的长.PO是垂线段.PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条.
现实生活中开沟引水，牵牛喝水都是“垂线段最短”性质的应用.
5、如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念，分析它们的联系与区别
⑴垂线与垂线段
区别：
垂线是一条直线，不可度量长度；垂线段是一条线段，可以度量长度.
联系：
具有垂直于已知直线的共同特征.（垂直的性质）
⑵两点间距离与点到直线的距离
区别：
两点间的距离是点与点之间，点到直线的距离是点与直线之间.
联系：
都是线段的长度；点到直线的距离是特殊的两点（即已知点与垂足）间距离.
⑶线段与距离 距离是线段的长度，是一个量；线段是一种图形，它们之间不能等同.
（二）学习目标
1、了解垂线的概念；掌握过一点有且只有一条直线垂直于已知直线.
2、会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线
3、理解垂线段的概念；理解垂线段最短的性质；体会点到直线距离的意义
4、经历观察、操作、想象、归纳、概括、交流等活动，培养用几何语言准确表达的能力.
（三）重点难点
重点：
垂线的概念及其性质；垂线段的性质；点到直线距离
难点：
垂线的性质;垂线段的性质
（四）基本题型
【题型1】利用定义判断（★）
当两条直线相交所成的四个角都相等时，这两条直线有什么位置关系？
为什么？
【题型2】垂线的性质及画法
画一条线段获射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线.如图，请过点P画出射线AB或线段AB的垂线.（★★）
在灌溉时，要把河中的氺引到农田处，如何挖渠使渠道最短？
（★）
【题型3】点到直线的距离（★）
如图，三角形ABC中，∠C=90°，分别指出点A到直线BC，点B到直线AC的距离是哪条线段的长？
A
C
B
【题型4】垂线的应用
（1）如图，直线AB、EF相交于点O,∠1＝30°，AB⊥CD，垂足为O，EF经过点O，求∠2、∠3的度数（★★）
（2）直线AB、CD交于点O，OE⊥AB，垂足为O，若∠DOE＝3∠COE，求∠BOC的度数．（★★）
【知识点3】同位角、内错角、同旁内角
（一）两条直线被第三条直线所截形成八个角，它们构成了同位角、内错角与同旁内角.
（二）教学目标
1、理解同位角、内错角、同旁内角的概念；
2、经历能够在图中找出两条直线被三条直线所截所形成的同位角、内错角、同旁内角.
3、通过观察，会识别图形（包括变式和比较复杂的图形）中的同位角、内错角和同旁内角.
（三）重点难点
教学重点：
同位角、内错角、同旁内角的概念.
教学难点：
在较复杂的图形中辨认同位角、内错角、同旁内角．掌握同位角、内错角、同旁内角的相关概念是进一步学习平行线、四边形等后续知识的基础.
（四）基本题型
【题型1】利用概念判断（★）
下列所示的四个图形中，
和
是同位角的是（）
A、②③B、①②③C、①②④D、①④
【题型2】识别三线八角（★★）
如图，如图，∠6与∠9是____
它们是直线_____
_与_______被直线_________
所截得的；∠
3与∠5
是直线_______与直线
______
_
__被直线_________所截得的；与
∠1是同位角的有_____；在标有数字的九个角中，同位角共有____对，内错角共有____对，同旁内角共
有__
___对，大小一定相等的角有______对.
【知识点4】平行线
（一）两条直线的位置关系：
在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：
相交与平行.
平行线定义：
在同一平面内，不相交的两条直线交平行线.
根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有两种：
①如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行.②如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行.
（二）学习目标
1、了解平行线的概念，理解同一平面内两条直线间的位置关系；
2、掌握平行公理及平行线的画法.
（三）重点难点
学习重点：
平行线的概念、画法及平行公理及其推论是重点；
学习难点：
理解平行线的概念和根据几何语言画出图形是难点.
（四）基本题型
【题型1】利用概念和基本事实判断（★）
在同一平面内，下列说法
⑴过两点有且只有一条直线
⑵两条不相同的直线有且只有一个公共点
⑶过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
⑷如果直线a、b都和c平行，那么a、b就平行
其中正确的有（）．
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
【题型2】根据几何语言画出图形（★★）
（1）点P是直线AB外一点，直线CD经过点P，且与直线AB平行.
（2）直线AB、CD是相交直线，点P是直线AB、CD外一点，直线EF经过点P且与直线AB平行，与直线CD相交于点E.
【题型3】根据几何语言画出平行线（★★）
如图：
过点P画PE//OA，交OB于点E，过点P画PH//OB,交OA于点H.
【知识点5】平行线的判定
（一）判定方法：
（1）同位角相等，两直线平行.
（2）内错角相等，两直线平行.
（3）同旁内角互补，两直线平行.
几何符号语言：
∵ ∠3＝∠2
∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
∵ ∠1＝∠2
∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
∵ ∠4＋∠2＝180°
∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
请注意书写的顺序以及前因后果，平行线的判定是由角相等，然后得出平行.平行线的判定是写角相等，然后写平行.
（二）学习目标
1、经历观察、操作、想像、推理、交流等活动，进一步发展空间观念，推理能力和有条理表达能力.
2、经历探究直线平行的判定方法的过程，掌握直线平行的判定方法，领悟归纳和转化的数学思想方法.
（三）重点难点
学习重点：
探索并掌握直线平行的判定方法.
学习难点：
直线平行的判定方法的应用
（四）基本题型
【题型1】利用判定方法填理由（★）
1、如图，已知：
∠1=∠B=∠2请填写理由，说明AB∥CD,AD∥BE
解：
∵∠1=∠B（）
∴AD∥BE（）
∵∠B=∠2（）
∴AB∥CD（）
题型1图题型2
（1）图题型2
（2）图
【题型2】利用判定方法说明理由（★）
（1）已知∠ADE=50°,∠B=50°,DE与BC平行吗？
（2）已知：
∠1=∠3，AE是∠DAC的平分线，填写AE∥BC的理由
【题型3】综合应用（★★）
已知∠AED＝60°，∠2＝30°，EF平分∠AED，可以判断EF∥BD吗？
为什么？
【知识点6】平行线的性质
（一）性质：
两直线平行，同位角相等.
两直线平行，内错角相等.
两直线平行，同旁内角互补.
（二）学习目标
1、掌握平行线的三个性质
2会用平行线的性质进行有关的简单推理和计算.
3通过对比，理解平行线的性质和判定的区别.
4、在探索图形的过程中，通过观察、操作、推理等手段，有条理地思考和表达自己的探索过程和结果，从而进一步增强分析、概括、表达能力.
5、经历在活动中体验探索、交流、成功与提升的喜悦，激发学生学习数学的兴趣，培养学
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