专题反比例函数与三角形四边形的面积等.docx
《专题反比例函数与三角形四边形的面积等.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《专题反比例函数与三角形四边形的面积等.docx(20页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
专题反比例函数与三角形四边形的面积等
专题反比例函数与三角形-四边形的面积等
反比例函数比例系数k与图形面积经典专题
知识点回顾
由于反比例函数解析式及图象的特殊性,很多中考试题都将反比例函数与面积结合起来进行考察。
这种考察方式既能考查函数、反比例函数本身的基础知识内容,又能充分体现数形结合的思想方法,考查的题型广泛,考查方法灵活,可以较好地将知识与能力融合在一起。
下面就反比例函数中与面积有关的问题的四种类型归纳如下:
利用反比例函数中|k|的几何意义求解与面积有关的问题
设P为双曲线
上任意一点,过点P作x轴、y轴的垂线PM、PN,垂足分别为M、N,则两垂线段与坐标轴所围成的的矩形PMON的面积为S=|PM|×|PN|=|y|×|x|=|xy|
∴xy=k 故S=|k| 从而得
结论1:
过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线,所得矩形的面积S为定值|k|
对于下列三个图形中的情形,利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论,可得出对应的面积的结论为:
结论2:
在直角三角形ABO中,面积S=
结论3:
在直角三角形ACB中,面积为S=2|k|
结论4:
在三角形AMB中,面积为S=|k|
类型之一k与三角形的面积
※1、如图,已知双曲线y=
(k>0)经过直角三角形OAB斜边OB的中点D,与直角边AB相交于点C.若△OBC的面积为6,则k=______.
最佳答案
过D点作DE⊥x轴,垂足为E,
由双曲线上点的性质,得S △AOC =S △DOE =
k,
∵DE⊥x轴,AB⊥x轴,
∴DE ∥ AB,
∴△OAB ∽ △OED,
又∵OB=2OD,
∴S △OAB =4S △DOE =2k,
由S △OAB -S △OAC =S △OBC ,
得2k-
k=6,
解得:
k=4.
故答案为:
4.
5、※如图,在平面直角坐标系中,点A在函数
(k<0,x<0)的图象上,过点A作AB∥y轴交x轴于点B,点C在y轴上,连结AC、BC.若△ABC的面积是3,则k= .
6、如图1-ZT-4,△OAC和△BAD都是等腰直角三角形,∠ACO=∠ADB=90°,反比例函数y=
在第一象限的图象经过点B,若OA2-AB2=8,则k的值为_______。
类型之二k与平行四边形的面积
7、※如图,在平面直角坐标系中,点A是函数y=
(k<0,x<0)图象上的点,过点A与y轴垂直的直线交y轴于点B,点C、D在x轴上,且BC∥AD.若四边形ABCD的面积为3,则k值为___.
优质解答
∵AB⊥y轴,
∴AB∥CD,
∵BC∥AD,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∴四边形AEOB的面积=AB•OE,
∵S平行四边形ABCD=AB•CD=3,
∴四边形AEOB的面积=3,
∴|k|=3,
∵<0,
∴k=-3,
故答案为:
-3.
8、如图,菱形OABC的顶点的坐标为(3,4),顶点A在x轴的正半轴上,反比例函数y=
(x>0)的图象经过顶点B,则k的值为()。
A.12B.20C.24D.32
答案:
过点C作CD⊥OA,
∵C的坐标为(3,4),
∴CD=4,OD=3,
∵CB∥AO,
∴B的纵坐标是4,
∴OC=
=5,
∴AO=OC=5,
∵四边形COAB是菱形,
∴B的横坐标是8,
∴k=8×4=32,
故选D.
9、如图1-ZT-6,函数y=-x与y=-
的图象相交于A、B两点,分别过A、B两点作y轴的垂线,垂足分别为C、D,则四边形ACBD的面积为()。
A.2B.4C.6D.8
分析:
首先根据反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=
|k|,得出S△AOC=S△ODB=2,再根据反比例函数的对称性可知:
OC=OD,AC=BD,即可求出四边形ACBD的面积.
解答:
解:
∵过函数y=-
的图象上A,B两点分别作y轴的垂线,垂足分别为点C,D,
∴S△AOC=S△ODB=
|k|=2,
又∵OC=OD,AC=BD,
∴S△AOC=S△ODA=S△ODB=S△OBC=2,
∴四边形ABCD的面积为:
S△AOC+S△ODA+S△ODB+S△OBC=4×2=8.
故选D.
点评:
本题主要考查了反比例函数y=
中k的几何意义,即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线,所得矩形面积为|k|;图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=
|k|,是经常考查的一个知识点;同时考查了反比例函数图象的对称性.
10、如图1-ZT-7,点A是反比例函数y=
(x>0)的图象上任意一点,AB∥x轴交反比例函数y=-
的图象于点B,以AB为边作□ABCD,其中点C、D在x轴上,则□ABCD的面积未()。
A.2B.3C.4D.5
11、如图、1-ZT-8,在□ABOC中,两条对角线交于点E,双曲线y=
(k<0)的一支经过C、E两点,若□ABOC的面积为10,则k的值是()。
A.-
B.-
C.-4D.-5
类型之三k与矩形的面积
12、如图1-ZT-9,A、B两点在双曲线y=
上,分别过A、B两点向坐标轴作垂线段,已知S1+S2=6,则S阴影=()。
A.4B.2C.1D.无法确定
13、如图1-ZT-10,反比例函数y=
(x>0)的图象经过矩形OABC对角线的交点M,分别与AB、BC相交于点D、E,若四边形ODBE的面积为9,则k的值为()。
A.1B.2C.3D.4
考点:
反比例函数系数k的几何意义.
专题:
数形结合.
分析:
本题可从反比例函数图象上的点E、M、D入手,分别找出△OCE、△OAD、矩形OABC的面积与|k|的关系,列出等式求出k值.
解答:
解:
由题意得:
E、M、D位于反比例函数图象上,则S△OCE=
,S△OAD=
,
过点M作MG⊥y轴于点G,作MN⊥x轴于点N,则S□ONMG=|k|,
又∵M为矩形ABCO对角线的交点,
∴S矩形ABCO=4S□ONMG=4|k|,
由于函数图象在第一象限,k>0,则
+
+9=4k,
解得:
k=3.
故选C.
点评:
本题考查反比例函数系数k的几何意义,过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线,与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|,本知识点是中考的重要考点,同学们应高度关注.
14、如图1-ZT-11,反比例函数y=
(,k>0)的图象与矩形ABCO的两边相交于E、F两点,若E是AB的中点,S△BEF=2,则k的值为________。
分析:
设E(a,
),则B纵坐标也为
,代入反比例函数的y=
,即可求得F的横坐标,则根据三角形的面积公式即可求得k的值.
解:
设E(a,
),则B纵坐标也为
,
E是AB中点,所以F点横坐标为2a,代入解析式得到纵坐标:
,
BF=
-
=
,所以F也为中点,
S△BEF=2=
,k=8.
故答案是:
8.
点评:
本题考查了反比例函数的性质,正确表示出BF的长度是关键.
15、如图1-ZT-12,点P、Q是反比例函数y=
图象上的两点,PA⊥y轴于点A,QN⊥x轴于点N,PM⊥x轴于点M,QBy轴于点B,连接PB、QM,△ABP的面积记为S1,△QMN的面积记为S2,则S1____________S2(填“>”“<”或“=”)。
16、如图1-ZT-13,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,矩形OABC的边OA、OC分别在x轴和y轴上,其中OA=6,OC=3,已知反比例函数y=
(,k>0)的图象经过BC边的中点D,交AB于点E。
(1)k的值为________;
(2)猜想△的面积与△的面积之间的关系,并说明理由。
答案:
(1)9;
(2)S△OCD=S△OBE,理由见解析.【解析】试题分析:
(1)根据题意得出点D的坐标,从而可得出k的值:
∵OA=6,OC=3,点D为BC的中点,∴D(3,3).∵反比例函数(x>0)的图象经过点D,∴k=3×3=9.
(2)根据三角形的面积公式和点D,E在函数的图象上,可得出S△OCD=S△OAE,再由点D为BC的中点,可得出S△OCD=S△OB...
类型之四k与多边形的面积
17、如图1-ZT-14所示,过点A(2,-1)分别作y轴、x轴的平行线交双曲线y=
于点B、C,过点C作CE⊥x轴于点E,过点B作BD⊥y轴于点D,连接ED,若五边形ABDEC的面积为34,则k的值为________。
18、如图1-ZT-14,点P是反比例函数y=
(k1>0,x>0)图象上的一动点,过点P作x轴、y轴的垂线,分别交x轴、y轴于A、B两点,交反比例函数y=
(k2<0,且|k2|<k1)的图象于E、F两点。
(1)图1中,四边形PEOF的面积S1=______(用含k1、k2的式子表示);
(2)图2中,设P点坐标为(2,3),①点E的坐标是(______,______),点F的坐标是(______,______)(用含k2的式子表示);
(3)②若△OEF的面积为
,求反比例函数y=
的解析式.
解答:
(1)∵P是点P是反比例函数y=
(k>0,x>0)图象上一动点,∴S=k1
∵E、F分别是反比例函数y=
(k2<0且|k2|<k1)的图象上两点,
∴S△OBF=S△AOE=
|k2|,
∴四边形PEOF的面积S1=S矩形PBOA+S△OBF+S△AOE=k1+|k2|,
∵k2<0,
∴四边形PEOF的面积S1=S矩形PBOA+S△OBF+S△AOE=k1+|k2|=k1-k2.
(2)①∵PE⊥x轴,PF⊥y轴可知,P、E两点的横坐标相同,P、F两点的纵坐标相同,
∴E、F两点的坐标分别为E(2,
),F(
,3);
②∵P(2,3)在函数y=
的图象上,
∴k1=6,
∵E、F两点的坐标分别为E(2,
),F(
,3);
∴PE=3-
,PF=2-
,
∴S△PEF=
(3-
)(2-
)=
,
∴S△OEF=(k1-k2)-
=(6-k2)-
=
=
,
∴k2=
∵k2<0,
∴k2=-2.∴y=
题型之五:
k与面积综合
16、如图1,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,P是反比例函数y=
(x>0)图像上任意一点,以P为圆心,PO为半径的圆与坐标轴分别交于A、B。
(1)求证:
线段AB为⊙P的直径;
(2)求△AOB的面积。
(3)如图2,Q是反比例函数y=
(x>0)图像上异于点P的另一点,以Q为圆心,QO为半径画圆与坐标轴分别交于点C、D。
求证:
DO·OC=BO·OA。
反比例函数相关练习题
1.如图,直线y=-x上有一长为
动线段MN,作MH、NP都平行y轴交在条件
(2)下,第一象限内的双曲线y=
于点H、P,问四边形MHPN能否为平行四边形(如图3)?
若能,请求出点M的坐标;若不能,请说明理由.
2.如图,已知△P10A1,△P2A1A2都是等腰直角三角形,点P1、P2都在函数y=
(x>0)的图象上,斜边OA1、A1A2都在x轴上.则点A2的坐标为
3.如图,A是反比例函数
图象上一点,过A作AB⊥X轴于B,P在Y轴上,△ABP面积为3,则k=
4.如图,在
轴的正半轴上依次截取
,过点
分别作
轴的垂线与反比例函数
的图象相交于点
,得直角三角形
并设其面积分别为
则
的值为..
5.如图,⊙A和⊙B都与x轴和y轴相切,A和B都在反比例函数
的图象上,则图中阴影部分的面积等于 .
6.如图,正方形A1B1P1P2的顶点P1、P2在反比例函数
(x>0)的图像上,顶点A1、B1分别在x轴和y轴的正半轴上,再在其右侧作正方形P2P3A2B2,顶点P3在反比例函数
(x>0)的图象上,顶点A3在x轴的正半轴上,则点P3的坐标为
7.如图,已知A(-4,n),B(2,-4)是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数
的图象的两个交点.
则△AOB的面积是_______;