中考数学选择填空压轴题汇编函数综合结论.docx

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中考数学选择填空压轴题汇编函数综合结论

2020年中考数学选择填空压轴题汇编：

函数综合结论

1.（2020•福建）设A，B，C，D是反比例函数y

图象上的任意四点，现有以下结论：

①四边形ABCD可以是平行四边形；

②四边形ABCD可以是菱形；

③四边形ABCD不可能是矩形；

④四边形ABCD不可能是正方形．

其中正确的是　①④　．（写出所有正确结论的序号）

【解答】解：

如图，过点O任意作两条直线分别交反比例函数的图象于A，C，B，D，得到四边形ABCD．

由对称性可知，OA＝OC，OB＝OD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

当OA＝OC＝OB＝OD时，四边形ABCD是矩形．

∵反比例函数的图象在一，三象限，

∴直线AC与直线BD不可能垂直，

∴四边形ABCD不可能是菱形或正方形，

故选项①④正确，

故答案为①④

2.（2020•广东）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝1，下列结论：

①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③8a+c＜0；④5a+b+2c＞0，

正确的有（　　）

A．4个B．3个C．2个D．1个

【解答】解：

由抛物线的开口向下可得：

a＜0，

根据抛物线的对称轴在y轴右边可得：

a，b异号，所以b＞0，

根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：

c＞0，

∴abc＜0，故①错误；

∵抛物线与x轴有两个交点，

∴b2﹣4ac＞0，故②正确；

∵直线x＝1是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴，所以

1，可得b＝﹣2a，

由图象可知，当x＝﹣2时，y＜0，即4a﹣2b+c＜0，

∴4a﹣2×（﹣2a）+c＜0，

即8a+c＜0，故③正确；

由图象可知，当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0；当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，

两式相加得，5a+b+2c＞0，故④正确；

∴结论正确的是②③④3个，

故选：

B．

3.（2020•玉林）已知：

函数y1＝|x|与函数y2

的部分图象如图所示，有以下结论：

①当x＜0时，y1，y2都随x的增大而增大；

②当x＜﹣1时，y1＞y2；

③y1与y2的图象的两个交点之间的距离是2；

④函数y＝y1+y2的最小值是2．

则所有正确结论的序号是　②③④　．

【解答】解：

补全函数图象如图：

①当x＜0时，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小；

故①错误；

②当x＜﹣1时，y1＞y2；

故②正确；

③y1与y2的图象的两个交点之间的距离是2；

故③正确；

④由图象可知，函数y＝y1+y2的最小值是2，

故④正确．

综上所述，正确的结论是②③④．

故答案为②③④．

4.（2020•遵义）抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣2．抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，其部分图象如图所示，下列结论中正确的个数有（　　）

①4a﹣b＝0；②c≤3a；③关于x的方程ax2+bx+c＝2有两个不相等实数根；④b2+2b＞4ac．

A．1个B．2个C．3个D．4个

【解答】解：

∵抛物线的对称轴为直线x

2，

∴4a﹣b＝0，所以①正确；

∵与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，

∴由抛物线的对称性知，另一个交点在（﹣1，0）和（0，0）之间，

∴x＝﹣1时y＞0，且b＝4a，

即a﹣b+c＝a﹣4a+c＝﹣3a+c＞0，

∴c＞3a，所以②错误；

∵抛物线与x轴有两个交点，且顶点为（﹣2，3），

∴抛物线与直线y＝2有两个交点，

∴关于x的方程ax2+bx+c＝2有两个不相等实数根，所以③正确；

∵抛物线的顶点坐标为（﹣2，3），

∴

3，

∴b2+12a＝4ac，

∵4a﹣b＝0，

∴b＝4a，

∴b2+3b＝4ac，

∵a＜0，

∴b＝4a＜0，

∴b2+2b＞4ac，所以④正确；

故选：

C．

5.（2020•大兴安岭）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线x＝1，结合图象给出下列结论：

①ac＜0；

②4a﹣2b+c＞0；

③当x＞2时，y随x的增大而增大；

④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．

其中正确的结论有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【解答】解：

抛物线开口向上，因此a＞0，与y轴交于负半轴，因此c＜0，故ac＜0，所以①正确；

抛物线对称轴为x＝1，与x轴的一个交点为（4，0），则另一个交点为（﹣2，0），于是有4a﹣2b+c＝0，所以②不正确；

x＞1时，y随x的增大而增大，所以③正确；

抛物线与x轴有两个不同交点，因此关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，所以④正确；

综上所述，正确的结论有：

①③④，

故选：

C．

6.（2020•牡丹江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴正半轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C．若点B（4，0），则下列结论中，正确的个数是（　　）

①abc＞0；

②4a+b＞0；

③M（x1，y1）与N（x2，y2）是抛物线上两点，若0＜x1＜x2，则y1＞y2；

④若抛物线的对称轴是直线x＝3，m为任意实数，则a（m﹣3）（m+3）≤b（3﹣m）；⑤若AB≥3，则4b+3c＞0．

A．5B．4C．3D．2

【解答】解：

如图，抛物线开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴右侧，

∴a＜0，c＜0，

，∴b＞0，

∴abc＞0，故①正确；

如图，∵抛物线过点B（4，0），点A在x轴正半轴，

∴对称轴在直线x＝2右侧，即

，

∴

，又a＜0，∴4a+b＞0，故②正确；

∵M（x1，y1）与N（x2，y2）是抛物线上两点，0＜x1＜x2，

可得：

抛物线y＝ax2+bx+c在

上，y随x的增大而增大，

在

上，y随x的增大而减小，

∴y1＞y2不一定成立，故③错误；

若抛物线对称轴为直线x＝3，则

，即b＝﹣6a，

则a（m﹣3）（m+3）﹣b（3﹣m）＝a（m﹣3）2≤0，

∴a（m﹣3）（m+3）≤b（3﹣m），故④正确；∵AB≥3，则点A的横坐标大于0或小于等于1，

当x＝1时，代入，y＝a+b+c≥0，

当x＝4时，16a+4b+c＝0，

∴a

，

则

，整理得：

4b+5c≥0，则4b+3c≥﹣2c，又c＜0，

﹣2c＞0，

∴4b+3c＞0，故⑤正确，

故正确的有4个．

故选：

B．

7.（2020•恩施州）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣2，0）、B（1，0）两点．则以下结论：

①ac＞0；②二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴为x＝﹣1；③2a+c＝0；④a﹣b+c＞0．其中正确的有（　　）个．

A．0B．1C．2D．3

【解答】解：

对于①：

二次函数开口向下，故a＜0，与y轴的交点在y的正半轴，故c＞0，故ac＜0，因此①错误；

对于②：

二次函数的图象与x轴相交于A（﹣2，0）、B（1，0），由对称性可知，其对称轴为：

，因此②错误；

对于③：

设二次函数y＝ax2+bx+c的交点式为y＝a（x+2）（x﹣1）＝ax2+ax﹣2a，比较一般式与交点式的系数可知：

b＝a，c＝﹣2a，故2a+c＝0，因此③正确；

对于④：

当x＝﹣1时对应的y＝a﹣b+c，观察图象可知x＝﹣1时对应的函数图象的y值在x轴上方，故a﹣b+c＞0，因此④正确．

∴只有③④是正确的．

故选：

C．

8.（2020•荆门）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A、B，顶点为C，对称轴为直线x＝1，给出下列结论：

①abc＜0；②若点C的坐标为（1，2），则△ABC的面积可以等于2；③M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上两点（x1＜x2），若x1+x2＞2，则y1＜y2；④若抛物线经过点（3，﹣1），则方程ax2+bx+c+1＝0的两根为﹣l，3．其中正确结论的序号为　①④　．

【解答】解：

①抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，故abc＜0，正确，符合题意；

②△ABC的面积

AB•yC

AB×2＝2，解得：

AB＝2，则点A（0，0），即c＝0与图象不符，故②错误，不符合题意；

③函数的对称轴为x＝1，若x1+x2＞2，则

（x1+x2）＞1，则点N离函数对称轴远，故y1＞y2，故②错误，不符合题意；

④抛物线经过点（3，﹣1），则y′＝ax2+bx+c+1过点（3，0），

根据函数的对称轴该抛物线也过点（﹣1，0），故方程ax2+bx+c+1＝0的两根为﹣l，3，故④正确，符合题意；

故答案为：

①④．

9.（2020•随州）如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，则下列结论：

①2a+b＝0；

②2c＜3b；

③当△ABC是等腰三角形时，a的值有2个；

④当△BCD是直角三角形时，a

．

其中正确的有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【解答】解：

∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，

∴对称轴为直线x

1，

∴b＝﹣2a，

∴2a+b＝0，故①正确，

当x＝1时，0＝a﹣b+c，

∴a+2a+c＝0，

∴c＝﹣3a，

∴2c＝3b，故②错误；

∵二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a，（a＜0）

∴点C（0，﹣3a），

当BC＝AB时，4

，

∴a

，

当AC＝BC时，4

，

∴a

，

∴当△ABC是等腰三角形时，a的值有2个，故③正确；

∵二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，

∴顶点D（1，4a），

∴BD2＝4+16a2，BC2＝9+9a2，CD2＝a2+1，

若∠BDC＝90°，可得BC2＝BD2+CD2，

∴9+9a2＝4+16a2+a2+1，

∴a

，

若∠DCB＝90°，可得BD2＝CD2+BC2，

∴4+16a2＝9+9a2+a2+1，

∴a＝﹣1，

∴当△BCD是直角三角形时，a＝﹣1或

，故④错误．

故选：

B．

10.（2020•武汉）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过A（2，0），B（﹣4，0）两点，下列四个结论：

①一元二次方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝2，x2＝﹣4；

②若点C（﹣5，y1），D（π，y2）在该抛物线上，则y1＜y2；

③对于任意实数t，总有at2+bt≤a﹣b；

④对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数，p＞0）的根为整数，则p的值只有两个．

其中正确的结论是　①③　（填写序号）．

【解答】解：

∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过A（2，0），B（﹣4，0）两点，

∴当y＝0时，0＝ax2+bx+c的两个根为x1＝2，x2＝﹣4，故①正确；

该抛物线的对称轴为直线x

1，函数图象开口向下，若点C（﹣5，y1），D（π，y2）在该抛物线上，则y1＞y2，故②错误；

当x＝﹣1时，函数取得最大值y＝a﹣b+c，故对于任意实数t，总有at2+bt+c≤a﹣b+c，即对于任意实数t，总有at2+bt≤a﹣b，故③正确；

对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数，p＞0）的根为整数，则两个根为﹣3和1或﹣2和0或﹣1和﹣1，故p的值有三个，故④错误；

故答案为：

①③．

11.（2020•襄阳）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：

①ac＜0；②3a+c＝0；③4ac﹣b2＜0；④当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．

其中正确的有（　　）

A．4个B．3个C．2个D．1个

【解答】解：

①∵抛物线开口向上，且与y轴交于负半轴，

∴a＞0，c＜0，

∴ac＜0，结论①正确；

②∵抛物线对称轴为直线x＝1，

∴

1，

∴b＝﹣2a，

∵抛物线经过点（﹣1，0），

∴a﹣b+c＝0，

∴a+2a+c＝0，即3a+c＝0，结论②正确；

③∵抛物线与x轴由两个交点，

∴b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，结论③正确；

④∵抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线x＝1，

∴当x＜1时，y随x的增大而减小，结论④错误；

故选：

B．

12.（2020•湘西州）已知二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为x＝1，其图象如图所示，现有下列结论：

①abc＞0，

②b﹣2a＜0，

③a﹣b+c＞0，

④a+b＞n（an+b），（n≠1），

⑤2c＜3b．

正确的是（　　）

A．①③B．②⑤C．③④D．④⑤

【解答】解：

①由图象可知：

a＜0，b＞0，c＞0，abc＜0，故此选项错误；

②由于a＜0，所以﹣2a＞0．

又b＞0，

所以b﹣2a＞0，

故此选项错误；

③当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，故此选项错误；

④当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，

而当x＝n时，y＝an2+bn+c，

所以a+b+c＞an2+bn+c，

故a+b＞an2+bn，即a+b＞n（an+b），故此选项正确；

⑤当x＝3时函数值小于0，y＝9a+3b+c＜0，且该抛物线对称轴是直线x

1，即a

，代入得9（

）+3b+c＜0，得2c＜3b，故此选项正确；

故④⑤正确．

故选：

D．

13.（2020•南京）下列关于二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1（m为常数）的结论：

①该函数的图象与函数y＝﹣x2的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点（0，1）；③当x＞0时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数y＝x2+1的图象上．其中所有正确结论的序号是　①②④　．

【解答】解：

①∵二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m+1（m为常数）与函数y＝﹣x2的二次项系数相同，

∴该函数的图象与函数y＝﹣x2的图象形状相同，故结论①正确；

②∵在函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1中，令x＝0，则y＝﹣m2+m2+1＝1，

∴该函数的图象一定经过点（0，1），故结论②正确；

③∵y＝﹣（x﹣m）2+m2+1，

∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝m，当x＞m时，y随x的增大而减小，故结论③错误；

④∵抛物线开口向下，当x＝m时，函数y有最大值m2+1，

∴该函数的图象的顶点在函数y＝x2+1的图象上．故结论④正确，

故答案为①②④．

14.（2020•烟台）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：

①ab＞0；②a+b﹣1＝0；③a＞1；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根为1，另一个根为

．

其中正确结论的序号是　②③④　．

【解答】解：

①由二次函数的图象开口向上可得a＞0，对称轴在y轴的右侧，b＜0，

∴ab＜0，故①错误；

②由图象可知抛物线与x轴的交点为（1，0），与y轴的交点为（0，﹣1），

∴c＝﹣1，

∴a+b﹣1＝0，故②正确；

③∵a+b﹣1＝0，

∴a﹣1＝﹣b，

∵b＜0，

∴a﹣1＞0，

∴a＞1，故③正确；

④∵抛物线与与y轴的交点为（0，﹣1），

∴抛物线为y＝ax2+bx﹣1，

∵抛物线与x轴的交点为（1，0），

∴ax2+bx﹣1＝0的一个根为1，根据根与系数的关系，另一个根为

，故④正确；

故答案为②③④．

15.（2020•枣庄）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1．给出下列结论：

①ac＜0；

②b2﹣4ac＞0；

③2a﹣b＝0；

④a﹣b+c＝0．

其中，正确的结论有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【解答】解：

抛物线开口向下，a＜0，对称轴为x

1，因此b＞0，与y轴交于正半轴，因此c＞0，

于是有：

ac＜0，因此①正确；

由x

1，得2a+b＝0，因此③不正确，

抛物线与x轴有两个不同交点，因此b2﹣4ac＞0，②正确，

由对称轴x＝1，抛物线与x轴的一个交点为（3，0），对称性可知另一个交点为（﹣1，0），因此a﹣b+c＝0，故④正确，

综上所述，正确的结论有①②④，

故选：

C．

16.（2020•凉州）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有如下结论：

①abc＞0；

②2a+b＝0；

③3b﹣2c＜0；

④am2+bm≥a+b（m为实数）．

其中正确结论的个数是（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【解答】解：

①∵对称轴在y轴右侧，

∴a、b异号，

∴ab＜0，

∵c＜0

∴abc＞0

故①正确；

②∵对称轴x

1，

∴2a+b＝0；

故②正确；

③∵2a+b＝0，

∴a

b，

∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，

∴

b﹣b+c＞0

∴3b﹣2c＜0

故③正确；

④根据图象知，当x＝1时，y有最小值；

当m为实数时，有am2+bm+c≥a+b+c，

所以am2+bm≥a+b（m为实数）．

故④正确．

本题正确的结论有：

①②③④，4个；

故选：

D．

17.（2020•南充）关于二次函数y＝ax2﹣4ax﹣5（a≠0）的三个结论：

①对任意实数m，都有x1＝2+m与x2＝2﹣m对应的函数值相等；②若3≤x≤4，对应的y的整数值有4个，则

a≤﹣1或1≤a

；③若抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，则a

或a≥1．其中正确的结论是（　　）

A．①②B．①③C．②③D．①②③

【解答】解：

∵二次函数y＝ax2﹣4ax﹣5的对称轴为直线x

，

∴x1＝2+m与x2＝2﹣m关于直线x＝2对称，

∴对任意实数m，都有x1＝2+m与x2＝2﹣m对应的函数值相等；

故①正确；

当x＝3时，y＝﹣3a﹣5，当x＝4时，y＝﹣5，

若a＞0时，当3≤x≤4时，﹣3a﹣5＜y≤﹣5，

∵当3≤x≤4时，对应的y的整数值有4个，

∴1≤a

，

若a＜0时，当3≤x≤4时，﹣5≤y＜﹣3a﹣5，

∵当3≤x≤4时，对应的y的整数值有4个，

∴

a≤﹣1，

故②正确；

若a＞0，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，

∴△＞0，25a﹣20a﹣5≥0，

∴

，

∴a≥1，

若a＜0，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，

∴△＞0，25a﹣20a﹣5≤0，

∴

，

∴a

，

综上所述：

当a

或a≥1时，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6．

故选：

D．

18.（2020•内江）已知抛物线y1＝﹣x2+4x（如图）和直线y2＝2x+b．我们规定：

当x取任意一个值时，x对应的函数值分别为y1和y2．若y1≠y2，取y1和y2中较大者为M；若y1＝y2，记M＝y1＝y2．①当x＝2时，M的最大值为4；②当b＝﹣3时，使M＞y2的x的取值范围是﹣1＜x＜3；③当b＝﹣5时，使M＝3的x的值是x1＝1，x2＝3；④当b≥1时，M随x的增大而增大．上述结论正确的是　②③④　．（填写所有正确结论的序号）

【解答】解：

①当x＝2时，y1＝4，y2＝4+b，无法判断4与4+b的大小，故①错误．

②如图1中，b＝﹣3时，

由

，解得

或

，

∴两个函数图象的交点坐标为（﹣1，﹣5）和（3，3），

观察图象可知，使M＞y2的x的取值范围是﹣1＜x＜3，故②正确，

③如图2中，b＝﹣5时，图象如图所示，

M＝3时，y1＝3，

∴﹣x2+4x＝3，

解得x＝1或3，故③正确，

④当b＝1时，由

，消去y得到，x2﹣2x+1＝0，

∵△＝0，

∴此时直线y＝2x+1与抛物线只有一个交点，

∴b＞1时，直线y＝2x+b与抛物线没有交点，

∴M随x的增大而增大，故④正确．

19.（2020•宜宾）函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（2，0），顶点坐标为（﹣1，n），其中n＞0．以下结论正确的是（　　）

①abc＞0；

②函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在x＝1和x＝﹣2处的函数值相等；

③函数y＝kx+1的图象与y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数图象总有两个不同交点；

④函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在﹣3≤x≤3内既有最大值又有最小值．

A．①③B．①②③C．①④D．②③④

【解答】解：

依照题意，画出图形如下：

∵函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（2，0），顶点坐标为（﹣1，n），其中n＞0．

∴a＜0，c＞0，对称轴为x

1，

∴b＝2a＜0，

∴abc＞0，故①正确，

∵对称轴为x＝﹣1，

∴x＝1与x＝﹣3的函数值是相等的，故②错误；

∵顶点为（﹣1，n），

∴抛物线解析式为；y＝a（x+1）2+n＝ax2+2ax+a+n，

联立方程组可得：

，

可得ax2+（2a﹣k）x+a+n﹣1＝0，

∴△＝（2a﹣k）2﹣4a（a+n﹣1）＝k2﹣4ak+4a﹣4an，

∵无法判断△是否大于0，

∴无法判断函数y＝kx+1的图象与y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数图象的交点个数，故③错误；

当﹣3≤x≤3时，

当x＝﹣1时，y有最大值为n，当x＝3时，y有最小值为16a+n，故④正确，

故选：

C．

20.（2020•天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0，c＞1）经过点（2，0），其对称轴是直线x

．有下列结论：

①abc＞0；

②关于x的方程ax2+bx+c＝a有两个不等的实数根；

③a

．

其中，正确结论的个数是（　　）

A．0B．1C．2D．3

【解答】解：

∵抛物线的对称轴为直线x

，

而点（2，0）关于直线x

的对称点的坐标为（﹣1，0），

∵c＞1，

∵抛物线开口向下，

∴a＜0，

∵抛物线对称轴为直线x

，

∴

，

∴b＝﹣a＞0，

∴abc＜0，故①错误；

∵抛物线开口向下，与x轴有两个交点，

∴顶点在x轴的上方，

∵a＜0，

∴抛物线与直线y＝a有两个交点，

∴关于x的方程ax2+bx+c＝a有两个不等的实数根；故②正确；

∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（2，0），

∴4a+2b+c＝0，

∵b＝﹣a，

∴4a﹣2a+c＝0，即2a+c＝0，

∴﹣2a＝c，

∵c＞1，

∴﹣2a＞1，

∴a

，故③正确，

故选：

C．