抛物线入门压轴系列一 等腰三角形 直角三角形.docx

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抛物线入门压轴系列一等腰三角形直角三角形

抛物线压轴题基础-三角形

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【等腰三角形专题】

【题型一】如图，已知抛物线y=-

+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知B点的坐标为B（8，0）.

（1）求抛物线的解析式及其对称轴方程；

（2）连接AC、BC，试判断△AOC与△COB是否相似？

并说明理由；

（3）M为抛物线上BC之间的一点，N为线段BC上的一点，若MN∥y轴，求MN的最大值；

（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？

若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由.

【实战一】已知二次函数y=ax2-4x+c的图象过点（-1，0）和点（2，-9）．

（1）求该二次函数的解析式并写出其对称轴；

（2）已知点P（2，-2），连结OP，在x轴上找一点M，使△OPM是等腰三角形，请直接写出点M的坐标（不写求解过程）．

【实战二】 如图，已知二次函数y=-x2+bx+3的图象与x轴的一个交点为A（4,0），与y轴交于点B.

（1）求此二次函数关系式和点B的坐标；

（2）在x轴的正半轴上是否存在点P，使得△PAB是以AB为底的等腰三角形？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 

【实战三】 抛物线y＝ax2＋2x＋c与其对称轴相交于点A（1，4），与x轴正半轴交于点B.

（1）求这条抛物线的函数关系式；

（2）在抛物线对称轴上确定一点C，使△ABC是等腰三角形，求出所有点C的坐标.

【实战四】 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣8与x轴交于两点A，B，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为点D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（﹣2，0），（6，﹣8）．

（1）、求抛物线的函数表达式；

（2）、求点E的坐标；

（3）、试探究在x轴下方的抛物线上是否存在点F，使得△FOB和△EOB的面积相等，若存在，请求出点F的坐标，若不存在，请说明理由；

（4）、若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q，请直接写出：

当m为何值时，△OPQ是等腰三角形．

【实战五】如图，直角梯形ABCO的两边OA，OC在坐标轴的正半轴上，BC∥x轴，OA=OC=4，以直线x=1为对称轴的抛物线过A，B，C三点．

（1）、求该抛物线的函数解析式；

（2）、已知直线l的解析式为y=x+m，它与x轴交于点G，在梯形ABCO的一边上取点P．

①当m=0时，如图1，点P是抛物线对称轴与BC的交点，过点P作PH⊥直线l于点H，连结OP，试求△OPH的面积；

②当m=﹣3时，过点P分别作x轴、直线l的垂线，垂足为点E，F．是否存在这样的点P，使以P，E，F为顶点的三角形是等腰三角形？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【实战6】如图，二次函数y=

x2+bx﹣

的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E．

（1）b的值及点D的坐标。

（2）线段AO上是否存在点P（点P不与A、O重合），使得OE的长为1；

（3）在x轴负半轴上是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？

若存在，请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．

【实战7】如图，已知抛物线y=x2+bx+c与直线y=﹣x+3交于A、B两点，点A在y轴上，点B在x轴上，抛物线与x轴的另一交点为C，点P在点B右边的抛物线上，PM⊥x轴交直线AB于M．

（1）求抛物线解析式．

（2）当PM=2BC时，求M的坐标．

（3）点P运动过程中，△APM能否为等腰三角形？

若能，求点P的坐标，若不能说明理由．

【直角三角形专题】

【题型一】如图，抛物线y=x2+bx+3顶点为P，且分别与x轴、y轴交于A、B两点，点A在点P的右侧，tan∠ABO=

 ． 

（1）求抛物线的对称轴和点P的坐标．

（2）在抛物线的对称轴上是否存在这样的点D，使△ABD为直角三角形？

如果存在，求点D的坐标；如果不存在，请说明理由．

【实战1】在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k与直线y=kx+1交于A，B两点，点A在点B的左侧．

（1）、如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；

（2）、在

（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；

（3）、如图2，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°？

若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由

【实战2】如图，已知抛物线E1：

y=x2经过点A（1，m），以原点为顶点的抛物线E2经过点B（2，2），点A、B关于y轴的对称点分别为点A′，B′．

（1）求m的值；

（2）求抛物线E2所表示的二次函数的表达式；

（3）在第一象限内，抛物线E1上是否存在点Q，使得以点Q、B、B′为顶点的三角形为直角三角形？

若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【实战3】在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴分别交于点A（2，0）、点B（点B在点A的右侧），与轴交于点C，tan∠CBA=

 ． 

（1）求该抛物线的表达式；

（2）设该抛物线的顶点为D，求四边形ACBD的面积；

（3）设抛物线上的点E在第一象限，△BCE是以BC为一条直角边的直角三角形，请直接写出点E的坐标．

【实战4】（2013•抚顺）如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在第三象限内，F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为3，求点F的坐标；

（3）点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形？

直接写出所有符合条件的t值．

【相似三角形专题】

【题型一】（2011•营口）如图

（1），直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C、P、M为顶点的三角形为等腰三角形？

若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）连接AC，在x轴上是否存在点Q，使以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似？

若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；

（4）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值．

（图

（2）、图（3）供画图探究）

【实战1】（2014•朝阳）如图，平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4经过点D（2，4），且与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，CD，BC

（1）直接写出该抛物线的解析式

（2）点P是所求抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线l，l分别交x轴于点E，交直线AC于点M．设点P的横坐标为m．

①当0≤m≤2时，过点M作MG∥BC，MG交x轴于点G，连接GC，则m为何值时，△GMC的面积取得最大值，并求出这个最大值

②当﹣1≤m≤2时，试探求：

是否存在实数m，使得以P，C，M为顶点的三角形和△AEM相似？

若存在，求出相应的m值；若不存在，请说明理由．