奥数行程问题大全.docx

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奥数行程问题大全

奥数行程问题大全

奥数行程问题

一、多人行程的要点及解题技巧

行程问题是小学奥数中难度系数比较高的一个模块，在小升初考试和各大奥数杯赛中都能见到行程问题的身影。

行程问题中包括：

火车过桥、流水行船、沿途数车、猎狗追兔、环形行程、多人行程等等。

每一类问题都有自己的特点，解决方法也有所不同，但是，行程问题无论怎么变化，都离不开“三个量，三个关系”：

　　这三个量是：

路程（s）、速度（v）、时间（t）

　　三个关系：

1.简单行程：

路程=速度×时间

　　2.相遇问题：

路程和=速度和×时间

　　3.追击问题：

路程差=速度差×时间

　　牢牢把握住这三个量以及它们之间的三种关系，就会发现解决行程问题还是有很多方法可循的。

　　如“多人行程问题”，实际最常见的是“三人行程”

　例：

有甲、乙、丙三人同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲与乙、丙相背而行。

甲每分钟走40米，乙每分钟走38米，丙每分钟走36米。

在途中，甲和乙相遇后3分钟和丙相遇。

问：

这个花圃的周长是多少米？

　　分析：

这个三人行程的问题由两个相遇、一个追击组成，题目中所给的条件只有三个人的速度，以及一个“3分钟”的时间。

　　第一个相遇：

在3分钟的时间里，甲、丙的路程和为（40+36）×3=228（米）

　　第一个追击：

这228米是由于在开始到甲、乙相遇的时间里，乙、丙两人的速度差造成的，是逆向的追击过程，可求出甲、乙相遇的时间为228÷（38-36）=114（分钟）

　　第二个相遇：

在114分钟里，甲、乙二人一起走完了全程

　　所以花圃周长为（40+38）×114=8892（米）

　　我们把这样一个抽象的三人行程问题分解为三个简单的问题，使解题思路更加清晰。

　　总之，行程问题是重点，也是难点，更是锻炼思维的好工具。

只要理解好“三个量”之间的“三个关系”，解决行程问题并非难事！

二、奥数行程：

追及问题的要点及解题技巧

1、多人相遇追及问题的概念及公式

　　多人相遇追及问题，即在同一直线上，3个或3个以上的对象之间的相遇追及问题。

　　所有行程问题都是围绕""这一条基本关系式展开的，比如我们遇到的两大典型行程题相遇问题和追及问题的本质也是这三个量之间的关系转化．由此还可以得到如下两条关系式：

　　多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这两条公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．

　　2、多次相遇追及问题的解题思路

　　所有行程问题都是围绕""这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．

　　多次相遇与全程的关系

　　1.两地相向出发：

　　第1次相遇，共走1个全程；

　　第2次相遇，共走3个全程；

　　第3次相遇，共走5个全程；

　　…………，………………；

　　第N次相遇，共走2N-1个全程；

　　注意：

除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。

即甲第1次如果走了N米，以后每次都走2N米。

　　2.同地同向出发：

      第1次相遇，共走2个全程；      

    第2次相遇，共走4个全程；      

    第3次相遇，共走6个全程；      

    …………，………………；      

    第N次相遇，共走2N个全程；      

    3、多人多次相遇追及的解题关键      

    多次相遇追及的解题关键几个全程      

    多人相遇追及的解题关键路程差

三、奥数行程：

二次相遇的要点及解题技巧

1、概念：

　　两个运动物体作相向运动或在环形跑道上作背向运动，随着时间的发展，必然面对面地相遇，这类问题叫做相遇问题。

　　2、特点：

　　它的特点是两个运动物体共同走完整个路程。

　　小学数学教材中的行程问题，一般是指相遇问题。

　　3、类型：

　　相遇问题根据数量关系可分成三种类型：

求路程，求相遇时间，求速度。

　　4、三者的基本关系及公式：

　　它们的基本关系式如下：

　　总路程=（甲速+乙速）×相遇时间

　　相遇时间=总路程÷（甲速+乙速）

　　另一个速度=甲乙速度和-已知的一个速度

四、奥数行程：

火车过桥的要点及解题技巧

　1、什么是过桥问题？

　　火车过桥问题是行程问题的一种，也有路程、速度与时间之间的

五、奥数行程：

流水行船的要点及解题技巧

     1、什么叫流水行船问题

      船在水中航行时，除了自身的速度外，还受到水流的影响，在这种情况下计算船只的航行速度、时间和行程，研究水流速度与船只自身速度的相互作用问题，叫作流水行船问题。

     2、流水行船问题中有哪三个基本量？

    流水行船问题是行程问题中的一种，因此行程问题中的速度、时间、路程三个基本量之间的关系在这里也当然适用．      

     3、流水行船问题中的三个基本量之间有何关系？

    流水行船问题还有以下两个基本公式：

    顺水速度=船速+水速，

（1）      

    逆水速度=船速-水速.

（2）      

    这里，船速是指船本身的速度，也就是在静水中单位时间里所走过的路程.水速，是指水在单位时间里流过的路程.顺水速度和逆水速度分别指顺流航行时和逆流航行时船在单位时间里所行的路程。

    根据加减法互为逆运算的关系，由公式（l）可以得到：

    水速=顺水速度-船速，      

    船速=顺水速度-水速。

    由公式

（2）可以得到：

    水速=船速-逆水速度，      

    船速=逆水速度+水速。

    这就是说，只要知道了船在静水中的速度，船的实际速度和水速这三个量中的任意两个，就可以求出第三个量。

    另外，已知船的逆水速度和顺水速度，根据公式

（1）和公式

（2），相加和相减就可以得到：

    船速=（顺水速度+逆水速度）÷2，      

    水速=（顺水速度-逆水速度）÷2。

六、奥数行程：

环形跑道的要点及解题技巧

    1、什么是环形跑道问题？

    环形跑道问题特殊场地行程问题之一。

是多人（一般至少两人）多次相遇或追及的过程解决多人多次相遇与追击问题的关键是看我们是否能够准确的对题目中所描述的每一个行程状态作出正确合理的线段图进行分析。

     2、在做出线段图后，反复的在每一段路程上利用：

    路程和=相遇时间×速度和      

    路程差=追及时间×速度差      

     3、解环形跑道问题的一般方法：

    环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次；如果是同向而行，则每追上一圈相遇一次．这个等量关系往往成为我们解决问题的关键。

环线型

同一出发点

直径两端

同向：

路程差

   nS

 nS+0.5S 

相对（反向）：

路程和

     nS

 nS-0.5S 

七、奥数行程：

钟面行程问题的要点及解题技巧

    1、什么是钟面行程问题？

    钟面行程问题是研究钟面上的时针和分针关系的问题，常见的有两种：

⑴研究时针、分针成一定角度的问题，包括重合、成一条直线、成直角或成一定角度；⑵研究有关时间误差的问题．      

    在钟面上每针都沿顺时针方向转动，但因速度不同总是分针追赶时针，或是分针超越时针的局面，因此常见的钟面问题往往转化为追及问题来解．

     2、钟面问题有哪几种类型？

    第一类是追及问题（注意时针分针关系的时候往往有两种情况）；第二类是相遇问题（时针分针永远不会是相遇的关系，但是当时针分针与某一刻度夹角相等时，可以求出路程和）；第三种就是走不准问题，这一类问题中最关键的一点：

找到表与现实时间的比例关系。

     3、钟面问题有哪些关键问题？

    ①确定分针与时针的初始位置；      

    ②确定分针与时针的路程差；      

     4、解答钟面问题有哪些基本方法？

    ①分格方法：

    时钟的钟面圆周被均匀分成60小格，每小格我们称为1分格。

分针每小时走60分格，即一周；而时针只走5分格，故分针每分钟走1分格，时针每分钟走1／12分格。

    ②度数方法：

    从角度观点看，钟面圆周一周是360°，分针每分钟转360/60度，即6°，时针每分钟转360/12*60度，即1/2度。

八、奥数行程：

走走停停的要点及解题技巧

　　1、行程问题里走走停停的题目应该怎么做     

    1.画出速度和路程的图。

    2.要学会读图。

  3.每一个加速减速、匀速要分清楚，这有利于你的解题思路。

   4.要注意每一个行程之间的联系。

   2、学好行程问题的要诀     

   行程问题可以说是难度最大的奥数专题。

   类型多：

行程分类细，变化多，工程抓住工作效率和比例关系，而行程每个类型重点不一，因此没有一个关键点可以抓     

   题目难：

理解题目、动态演绎推理——静态知识容易学，动态分析需要较高的理解能力、逻辑分析和概括能力     

   跨度大：

从三年级到六年级都要学行程——四年的跨度，需要不断的复习巩固来加深理解、夯实基础     

   那么想要学好行程问题，需要掌握哪些要诀呢？

   要诀一：

大部分题目有规律可依，要诀是"学透"基本公式

   要诀二：

无规律的题目有"攻略"，一画（画图法）二抓（比例法、方程法）     

    竞赛考试中的行程题涉及到很多中数学方法和思想（比如：

假设法、比例、方程）等的熟练运用，而这些方法和思想，都是小学奥数中最为经典并能考察孩子思维的专项。

九、奥数行程：

发车问题的要点及解题技巧

1、发车问题的基本解题思路

　　空间理解稍显困难，证明过程对快速解题没有帮助。

一旦掌握了3个基本公式，一般问题都可以迎刃而解。

　　在班车里。

即柳卡问题。

不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。

如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。

　　2、对“发车问题”的化归与优化

　　“发车”是一个有趣的数学问题。

解决“发车问题”需要一定的策略和技巧。

本文重点解决这样两个问题：

一是在探索过程中，如何揭示“发车问题”的实质？

二是在建模的过程中，如何选择最简明、最严谨和最易于学生理解并接受的方法或情景？

为便于叙述，现将“发车问题”进行一般化处理：

某人以匀速行走在一条公交车线路上，线路的起点站和终点站均每隔相等的时间发一次车。

他发现从背后每隔a分钟驶过一辆公交车，而从迎面每隔b分钟就有一辆公交车驶来。

问：

公交车站每隔多少时间发一辆车？

（假如公交车的速度不变，而且中间站停车的时间也忽略不计。

）

（1）把“发车问题”化归为“和差问题”

　　因为车站每隔相等的时间发一次车，所以同向的、前后的两辆公交车间的距离相等。

这个相等的距离也是公交车在发车间隔时间内行驶的路程。

我们把这个相等的距离假设为“1”。

　　根据“同向追及”，我们知道：

公交车与行人a分钟所走的路程差是1，即公交车比行人每分钟多走1/a，1/a就是公交车与行人的速度差。

　　根据“相向相遇”，我们知道：

公交车与行人b分钟所走的路程和是1，即公交车与行人每分钟一共走1/b，1/b就是公交车和行人的速度和。

　　这样，我们把“发车问题”化归成了“和差问题”。

根据“和差问题”的解法：

大数=（和+差）÷2，小数=（和-差）÷2，可以很容易地求出公交车的速度是（1/a+1/b）÷2。

又因为公交车在这个“间隔相等的时间”内行驶的路程是1，所以再用“路程÷速度=时间”，我们可以求出问题的答案，即公交车站发车的间隔时间是1÷【（1/a+1/b）÷2】=2÷（1/a+1/b）。

（2）把“发车问题”优化为“往返问题”

　　如果这个行人在起点站停留m分钟，恰好发现车站发n辆车，那么我们就可以求出车站发车的间隔时间是m÷n分钟。

但是，如果行人在这段时间内做个“往返运动”也未尝不可，那么他的“往返”决不会影响答案的准确性。

　　因为从起点站走到终点站，行人用的时间不一定被a和b都整除，所以他见到的公交车辆数也不一定是整数。

故此，我们不让他从起点站走到终点站再返回。

那么让他走到哪再立即返回呢？

或者说让他走多长时间再立即返回呢？

　　取a和b的公倍数（如果是具体的数据，最好取最小公倍数），我们这里取ab。

假如刚刚有一辆公交车在起点站发出，我们让行人从起点站开始行走，先走ab分钟，然后马上返回；这时恰好是从行人背后驶过第b辆车。

当行人再用ab分钟回到起点站时，恰好又是从迎面驶来第a辆车。

也就是说行人返回起点站时第（a+b）辆公交车正好从车站开出，即起点站2ab分钟开出了（a+b）辆公交车。

　　这样，就相当于在2ab分钟的时间内，行人在起点站原地不动看见车站发出了（a+b）辆车。

于是我们求出车站发车的间隔时间也是2ab÷（a+b）=2÷（1/a+1/b）。

　　这样的往返假设也许更符合“发车问题”的情景，更简明、更严谨，也更易于学生理解和接受。

如果用具体的时间代入，则会更加形象，更便于说明问题。

十、奥数行程：

电梯问题的要点及解题技巧

　1、自动扶梯的速度有哪两条关系式？

　　与流水行船问题类似的有自动扶梯上行走的问题，与行船问题类似的，自动扶梯的速度有以下两条关系式：

 2、自动扶梯上的行走速度有哪两种度量？

与流水行船不同的是，自动扶梯上的行走速度有两种度量，一种是"单位时间运动了多少米"，一种是"单位时间走了多少级台阶"，这两种速度看似形同，实则不等，拿流水行程问题作比较，"单位时间运动了多少米"对应的是流水行程问题中的"船只顺（逆）水速度"，而"单位时间走了多少级台阶"对应的是"船只静水速度"，一般奥数题目涉及自动扶梯的问题中更多的只出现后一种速度，即"单位时间走了多少级台阶"，所以处理数量关系的时候要非常小心，理清了各种数量关系，自动扶梯上的行程问题会变得非常简单．

　　3、电梯问题需要注意哪两点问题？

　　电梯问题其实是复杂行程问题中的一类。

有两点需要注意，一是“总行程＝电梯可见部分级数±电梯运行级数”，二是在同一个人上下往返的情况下，符合流水行程的速度关系，（注意，其总行程仍然是电梯可见部分级数±电梯运行级数）

十一、奥数行程：

猎狗追兔问题的要点及解题技巧

猎狗追兔问题是行程问题中比较典型的一类题，该类问题除考察追及问题的基本公式外，还要综合运用比例、份数等手段解决。

解题思想是将两种动物单位化为统一，然后用路程差除以速度差得到追及时间，或者由速度比得出路程比，再引入份数思想，进而解决问题。

以下题为例：

　　【例1】一猎狗正在追赶前方20米远兔子,已知狗一跳前进3米,而兔子一跳前进2.1米,但狗跳3次的时间兔子可以跳4次,问猎狗跑多少米能追上兔子?

　　【分析】狗跳3次的时间兔子可以跳4次，设都等于一秒

　　则狗速度为9米/秒，兔速度为8.4米/秒，狗和兔子的速度都得以确定，接下来将是一个非常简单的追及问题，路程差为20米，可列式子20÷（9－8.4）=100/3（秒）能够追上兔子。

　　用时20/（9-8.4）秒时间追上，即狗跑了9×100/3=300米

　　从以上例题我们可以看出，解决此类问题的关键在于：

根据时间相同，将其设为单位时间（1秒），问题简单解决。

　　我们再看下一道题：

　　【例2】猎狗前面26步远有一只野兔,猎狗追之,兔跑8步的时间狗跑5步,兔跑9步的距离等于狗跑4步的距离,问:

兔跑多少步后被猎狗抓获?

此时猎狗跑了多少米?

　　【分析】兔8步的时间狗跑5步,设都为1秒…………（一次设数）

　　再根据兔跑9步的距离等于狗跑4步的距离

　　设兔子一步4米，狗一步9米……………………（二次设数）