导数及其应用周练练习题有详细答案.docx

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导数及其应用周练练习题有详细答案

高二数学《导数及其应用》

、选择题

1.f（Xo）0是可导函数fx在点Xo处取极值的：

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件

•既不充分又不必要条件

2、设曲线yx21在点（x,f（x））处的切线的斜率为

g（x），则函数

g（x）cosx的部分图象可以为

2n

3.在曲线y=X上切线的倾斜角为7的点是（

A.（0,0）

B.（2,4）C.

1

D.2

x—y+1=0,

4.若曲线y=x2+ax+b在点（0,b）处的切线方程是

A.a=1,b=1B.a=—1,b=1

32

+ax+3x—9，已知f（x）在x=—

C.a=1,b=—1

a=—1,b=—1

5.函数f（x）=x

3时取得极值，则a等于（

6.已知三次函数

A.m<2或m>4B

7.直线yx是曲线

yaInx的一条切线，则实数a的值为

8.若函数f（x）

12x在区间（k

1,k1）上不是单调函数，则实数

k的取值范围（

A.k3或

C.2k

B.3k1或1

.不存在这样的实数

9.10.函数fx

的定义域为a,b,

导函数fx在

a,b

则函数fx在a,b内有极小值点

A.1个

D

10.已知二次函数f（x）

2

axbxc的导数为f'（x）,

f'（0）0,对于任意实数x都有f（x）0,则

f的最小值为

A.3B.-C.2D.-

22

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）

sinx

11.函数y——的导数为

x

322

12、已知函数f（x）xaxbxa在x=1处有极值为10,则f

（2）等于.

13•函数yx2cosx在区间［0,—］上的最大值是

2

14•已知函数f（x）x3ax在R上有两个极值点，则实数a的取值范围是

15.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f

（1）0,xf（x）2f（x）0（x0）,则不等式

x2

x2f（x）0的解集是

三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.设函数f（x）=sinx—cosx+x+1,0

17.已知函数f（x）x33x.

（i）求f

（2）的值；（n）求函数f（x）的单调区间

18.设函数f（x）x36x5,xR.

1）求f（x）的单调区间和极值；

2）若关于x的方程f（x）

a有3个不同实根，求实数a的取值范围

3）已知当x（1,

）时,f（x）k（x1）恒成立，求实数k的取值范围

19.已知x1是函数f（x）mx33（m1）x2nx1的一个极值点，其中m,nR,m0

（1）求m与n的关系式；

（2）求f（x）的单调区间；

（3）当x[1,1]，函数yf（x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m,求m的取值范围。

2

20.已知函数f（x）lnxax2bx.

（I）当a1时，若函数f（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；

（II）若f（x）的图象与x轴交于A（x,,O）,B（X2,0）（X!

X2）两点，且AB的中点为C（x）,0），求证:

f'（Xo）0.

2

X

21.已知函数f（x）,g（x）2alnx（e为自然对数的底数）

e

（1）求F（x）f（x）g（x）的单调区间，若F（x）有最值，请求出最值;

（2）是否存在正常数a，使f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线?

若存在，求出a的值，以及公共点坐标和公切线方程；若不存在，请说明理由。

高二数学《导数及其应用》参考答案

、选择题:

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案］

B

A

D

A

D

D

D

B

A

C

二、填空题：

xcosxsinx

11.y'2；12.1813.3;14.{a|a0}；15.（1,0）（1,）

x6

三、解答题

n

16.［解析］f'（x）=cosx+sinx+1=2sin（x+”+1（0

3

解之得x=n或x=2n.

x,f'（x）以及f（x）变化情况如下表：

x

（0,n）

n

3、

（n2冗）

3

2n

3

（2n,2n）

f'（x）

+

0

一

0

+

f（x）

递增

n+2

递减

3n

~2

递增

•••f（x）的单调增区间为（0,n和（2n2n单调减区间为（卩号冗）

3、3n

f极大（x）=f（n=n+2,f极小（x）=f（2n=~.

17.解：

（I）f（x）3x23，所以f

（2）9.

2

（n）f（x）3x3,

解f（x）0,得x1或x1.

解f（x）0,得1x1.

所以（，1）,（1,）为函数f（x）的单调增区间，（1,1）为函数f（x）的单调减区间

18.解:

（1）f（x）3（x22）,令f（x）0,得x1、2,x221分

•••当x迈或x时,f（x）0;当迈x迈时,f（x）0,2分

•f（x）的单调递增区间是（，.2）和（J,），单调递减区间是（i2「.2）……3分

当x■2,f（x）有极大值54：

2；当x.2,f（x）有极小值54、2.4分

（2）由

（1）可知yf（x）图象的大致形状及走向（图略）

•••当54*2a54・、2时,直线ya与yf（x）的图象有3个不同交点，……6分

即当54,2a54.2时方程f（x）有三解7分

（3）f（x）k（x1）即（x1）（x2x5）k（x1）

Tx1,kx2x5在（1,）上恒成立9分

令g（x）x2x5，由二次函数的性质，g（x）在（1,）上是增函数，

•••g（x）g

（1）3,a所求k的取值范围是k312分

19.解

:

（1）

f'（X）

3mx2

6（m1）xn.因为x

即3m

6（m

1）n0,所以n3m

（2）

由（

1）知，

f'（x）

2

3mx6（m1）x3m

当m

0时,

有11

2

m，

当x为化时，f（x）与f

1是函数f（x）的一个极值点.所以f'

（1）

6

63m（x1）[x（1半）]

X

（,1勻

m

1i

m

2

（1一，1）m

1

（1,）

f'（X）

-

0

+

0

-

f（x）

单调递减

极小值

单调递增

极大值

单调递减

'（x）的变化如下表:

22

故由上表知，当m0时，f（x）在（,1）单调递减，在（1,1）单调递增，在（1,）上单调

mm

递减.

（3）由已知得f'（x）

3m，即mx22（m1）x2

222

0,所以x2（m1）x0，即

mm

x2-（m1）x—0,x[1,1]设g（x）

mm

x22（1-）x-，其函数图象开口向上，由题意知①式恒成立，所以

mm

22

g

（1）0

120

4

mm

解之得■

g

（1）0

10

3

m又m0所以-m0即m的取值范围为

3

20.

（1）由题意：

f（x）lnxx2bx，

f（x）在（0,）上递增,

f（x）-2xb0对

x

x（0,

）恒成立，即b12x对x（0,）恒成立,

x

只需b（丄

x

2x）min，

1_.2

一2x22，当且仅当x时取“=”，

x2

b22，b的取值范围为（2.2）

（2）由已知得,

2

f（x1）lnx1ax-]bx1

2

f（x2）lnx2ax2bx2

Inx1

Inx2

2

ax〔

2

ax?

bx1，两式相减，得:

bx2

In“a（x1

X2）（X1X2）b（X1X2）

In（x1x2）[a（x1

X2

X2）b]，

由f（X）

1

2ax

b及2x0x1

X2，得：

X

f（X0）

1

2ax0

b2

2

1InX1

b

[a（X1X2）b]

X0

X1X2

X1X2

X1x2X2

X2

Xi

1-[^^心X2X1X2

X2X1

+in

X2

x1

X2

］，令t

Xi

X2

（0,1）,

21.

（t）

（t）

解:

（1）0，又Xi

t1），

X2,

（1）F（x）f（x）g（x）

（t）

f（Xo）

2x

2a

（t1）2

t（t1）2

2（x3

ex

ea）（x

（t）在（0,1）上为减函数,

0）

①当a0寸,F（x）0恒成立

0,-m）,没有最值3分

F（x）在（0,）上是增函数，F（x）F只有一个单调递增区间（

ex

②当a0时，F（x）2（X融x罚（X0）,

若0x'、ea，则F（x）0,F（x）在（0,ea）上单调递减;

若x\ea,则F（x）0,F（x）在（届，）上单调递增,

当x.ea时，F（x）有极小值，也是最小值，

即F（x）minF（、ea）a2aIn、eaalna6分

所以当a0时，F（x）的单调递减区间为（0,.亦）

单调递增区间为C-ea,），最小值为alna，无最大值7分

（2）方法一，若f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点,

则方程

f（x）

g（x）

0有且只有一解，所以函数

F（x）有且只有一个零点

•…8分［来源:

学—科_

网］

由

（1）

的结论可知

F（x）minalna0得a

110分

此时，

F（x）

f（x）

2

x

g（x）2lnx0

F（x）minF（e）0

e

fCe）g（、・e）1,f（x）与g（x）的图象的唯一公共点坐标为Ce,1）

又Qf（掐）g（翟）予f（x）与g（x）的图象在点（佢,1）处有共同的切线,

其方程为y1

2_

（Xe），即y

13分

综上所述，存在a1，使f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点（.e,1），且在该点处的公切线方

2

程为yx1.14分

方法二：

设f（x）与g（x）图象的公共点坐标为（xo,y°），

2

Xo

2aInxo

f（Xo）g（Xo）

e

根据题意得

,即

2a

f（Xo）f（xo）

2xo

e

Xo

由②得

a

2

Xo

，代入①得InXo

1

1

x2.e

从而a

1

1o分

e

2

此时由

（1）可知F（x）minF（.e）

o当x

o且x.e

?

时，F（x）

o,即f（x）g（x）

因此除

x

.e外，再没有其它

Xo，

使f（Xo）

g（xo）

•…13分

故存在a1，使f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线，易求得

公共点坐标为（、、e,1），公切线方程为y

2

■ex1

14分