第6章相似三角形的判定题型分类全解.docx
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第6章相似三角形的判定题型分类全解
第6章相似三角形的判定
（1）知识点梳理
1、相似三角形：
各角分别相等，各边成比例的两个三角形相似。
2、相似三角形判定定理：
定理
定理名称
定理内容
定理1
利用平行证相似
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似
定理2
利用两角证相似
两角分别相等的相等的这两个三角形相似
定理3
利用两边及夹角证相似
两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似.
定理4
利用三边证相似
三条边成比例的两个三角形相似．
3、分析方法：
（1）先确定是哪两个三角形
（2）根据已知条件确定使用的判定定理
（3）找出所缺条件
（4）证明相似
（5）得出结论
（二）题型分类全解
1、如图,在4×4的正方形网格中,△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.
（1）填空:
∠ABC= °,AC= ;
（2）判断△ABC与△DEF是否相似,并证明你的结论.
2、如图，在▱ABCD中,点E在边BC上,点F在边AD的延长线上,且DF=BE,EF与CD交于点G.若
=
BE=4,求CE的长.
3、已知:
如图,在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,
=
.
求证:
Rt△ABC∽Rt△A'B'C'.
4、如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10,BC=6,点P从点A出发,沿折线AB—BC向终点C运动,在AB上以每秒5个单位长度的速度运动,在BC上以每秒3个单位长度的速度运动.点Q从点C出发,沿CA方向以每秒
个单位长度的速度运动.P,Q两点同时出发,当点P停止运动时,点Q也随之停止.设点P运动的时间为t秒.
（1）求线段AQ的长（用含t的代数式表示）;
（2）连接PQ,当PQ与△ABC的一边平行时,求t的值
5、如图,AB为☉O的直径,点C在☉O上,AD⊥CD于点D,且AC平分∠DAB.
求证:
（1）直线DC是☉O的切线;
（2）AC2=2AD·AO.
6、如图所示,在△ABC中,AB=AC,AD为BC边上的中线,DE⊥AB于点E.
（1）求证:
△BDE∽△CAD;
（2）若AB=13,BC=10,求线段DE的长.
7、如图,在△ABC中,AF⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为F,E.求证:
△BEF∽△BCA.
8、如图,在△ADE中,AD=AE,C为DE延长线上一点,B为ED延长线上一点,∠DAE=40°,则当∠BAC= °时,△BDA∽△AEC.
9、如图,O是△ABC内一点,D,E,F分别为OA,OB,OC上的点,且
=
=
.
求证:
△DEF∽△ABC.
10、在△ABC中,P是AB上的动点（点P异于点A,B）,过点P的一条直线截△ABC,使截得的三角形与△ABC相似,我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线.如图，∠A=36°,AB=AC,当点P在AC的垂直平分线上时,过点P的△ABC的相似线最多有 条.
（2）才华展示
模型1：
“8字型”
有一组隐含的等角（对顶角），此时需要从已知条件中、图中隐含条件或通过证明得另一组对角相等
1、如图，四边形ABCD是矩形，E是边BC延长线上的一点，AE与CD相交于点F，则图中的相似三角形共有（ ）
A.4对 B.3对
C.2对 D.1对
2、
如图,在矩形ABCD中,AB=
BC=
点E在对角线BD上,且BE=1.8,连接AE并延长交DC于点F,则
= .
3、如图,在△ABC中,AB=8,BC=4,CA=6,CD∥AB,BD是∠ABC的平分线,交AC于点E.求AE的长.
模型2：
“A字型”
有一个公共角或角有公共部分，此时需要找另一组对角相等
1、在△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D在边AB上，且AD＝2，点E在边AC上，当AE＝________时，以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似
2、如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC.
（1）求证：
△ADE∽△ABC；
（2）若AD＝3，AB＝5，求
的值．
模型3：
“母子型”
有一个公共角，且公共角的一边为公共边；需要从已知条件中、图中隐含条件或通过证明得另一组对角相等，此时AC2＝AD·AB（AC为公共边，AD、AB为有部分重合的边）
1、在三角形纸片ABC中，AB＝8，BC＝4，AC＝6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与△ABC相似的是（ ）
2、
经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A＝46°，则∠ACB的度数为___________
模型4：
“双垂直型”
有一个公共角及一个直角；图①为母子型的特殊形式，AC2＝AD·AB仍成立，也有CD2＝AD·BD（射影定理）；图②为双垂直模型，常会在压轴题中考查其分类讨论思想，即未确定两三角形对应顶点，常通过不确定的对应边列关系式求解．
1、如图，在⊙O中，直径AB＝12，弦CE⊥AB，垂足为D，AD∶DB＝1∶2，则弦CE＝________．
2、如图，四边形ABCD是矩形，连接AC，过点B作BF⊥AC并延长交AD于点E，交CD的延长线于点G，求证：
△GED∽△GCF.
模型5：
“三垂直”
如图①，利用直角三角形两锐角互余和同角或等角的余角相等可推出∠EBC＝∠D，∠E＝∠DBA，图②中同理可推出∠D＝∠EBC，∠E＝∠DFA，且一组直角相等，用任意两组等角即可证得三角形相似．
三垂直长存在的图形背景
1、如图点A、B分别在反比例函数
（x>0），
（x<0）的图象上．若OA⊥OB，
＝2，则a的值为（ ）
A.－4B.4C.－2D.2
2、如图，已知AB是⊙O的直径，直线l1、l2分别与⊙O相切于点A、B，点P是切线l1上的一点，连接PO，作QO⊥PO交切线l2于点Q.
（1）求证：
△APO∽△BOQ；
（2）连接PQ，试判段直线PQ与⊙O的位置关系，并说明理由．
模型6：
“一线三等角型”
常以等腰三角形或等边三角形为背景，三个等角顶点在同一直线上，称为一线三等角模型，其中∠1＝∠2＝∠3，可得阴影部分两三角形相似．
1、如图,△ABC和△ADE均为等边三角形,点D在BC边上,DE与AC交于点F.
（1）写出图中的相似三角形；
（2）求证:
AE2=AF•AC.
2、如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在边BC上移动（点E不与点B、C重合），满足∠DEF＝∠B，且点D、F分别在边AB、AC上．
（1）求证：
△BDE∽△CEF;
（2）当点E移动到BC的中点时，求证：
FE平分∠DFC
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