《平面向量》测试题及答案.docx

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《平面向量》测试题及答案

《平面向量》测试题

一、选择题

1.若三点P（1,1）,A（2,-4）,B（x,-9）共线，则（

C.x=9

）

A.x=-1

B.x=3

D.x=51

2.与向量a=（-5,4）平行的向量是（

A.（-5k,4k）

B.（-

3.若点P分AB所成的比为

-4）

C.（-10,2）

D.（5k,4k）

则A分BP所成的比是（

A.3

4.已知向量

A.60°

a、

B.7

b,a•b=-40,

B.-60°

5.右|a-b|=

A.103

C.-7

|a|=10,|b|=8，则向量a与b的夹角为（

C.120°D.-120

D.-

4120.3,|a|=4,|b|=5

，则向量a•b=（

B.-10

C.10..2

D.10

6.（浙江）已知向量a=（1,2）

b=（2,

7-9

7-3

7-9

7-3

7_9?

代

—3）.若向量c满足（c+a）//b,c丄（a+b），则c=（

，—3

7.已知向量

A.垄

a=（3,4）,b=（2,-1）

B.—

，如果向量

C.2

a+x）•b与b垂直，则x的值为（）

D.--

8.设点P分有向线段

rp2的比是入，且点

P在有向线段PP2的延长线上，则入的取值范围是（

A.（-g,-1）B.（-1,0）

C.（-g,0）D.（-g，--）

9.设四边形ABCD中,

有DC=—

B.矩形

AB，且|AD|=|BC|，则这个四边形是（

A.平行四边形

10.将y=x+2的图像C按a=（6,-2）

A.y=x+10B.y=x-6

11.将函数y=x2+4x+5的图像按向量a经过一次平移后，得到

A.（2,-1）

12.已知平行四边形的

A.（2a,b）

二、填空题

C.等腰梯形D.菱形

平移后得C'的解析式为（）

C.y=x+6D.y=x-10

y=x2的图像，贝Ua等于（）

D.（2,1）

，则它的第4个顶点D的坐标是（D.（a-b,b-a）

B.（-2,1）C.（-2,-1）

3个顶点为A（a,b）,B（-b,a）,C（0,0）

B.（a-b,a+b）C.（a+b,b-a）

13.设向量a=（2,-1）

，向量b与a共线且b与a同向,

b的模为25，贝Ub=

14.已知：

|a|=2,|b|=

.2,a与b的夹角为45°,要使入b-a垂直，则入

15.已知|a|=3,|b|=5

，如果aIIb，贝Ua•b=

16.在菱形ABCD中,

（AB+AD）•（AB-AD）=

三、解答题

17.

如图，ABCD是一个梯形，AB//CD且AB=2CDMN分别是DCAB的中点,已知AB=a,AD=b,试用a、b分别表示DC、BC、MN。

1&设a=（-1,1）,b=（4,3）,c=（5,-2）,

（1）求证a与b不共线，并求a与b的夹角的余弦值；

（2）求c在a方向上的投影;

（3）求入1和入2,使c=X£+入2b.

19.设e1与e2是两个单位向量，其夹角为60°,试求向量a=2e1+e2,b=-3e计2e2的夹角B。

20.以原点0和A（4,2）为两个顶点作等腰直角三角形OAB/B=90°,求点B的坐标和AB。

21.已知|a|2rur

⑴c//d⑵c

|b|3,a与b的夹角为60,u

rru

5a3b,d

3akb,当当实数k为何值时,

22.已知△ABC顶点A（0,0）,B（4,8）,

C（6,-4）,点M内分AB所成的比为3,N是AC边上的一点,

且^AMN的面积等于厶ABC面积的一半，求N点的坐标。

文科数学［平面向量］单元练习题

17•如图，已知A（2,3）,耳0,1）,C（3,0），点D,E分别在AB,AC上,DE//BC,且DE平分△ABQ的面积,

求点D的坐标.

18.（厦门模拟）已知A、B、C三点的坐标分别为A（3,0）、B（0,3）、C（cosa,sina）,a€亍，^冗

（I）若|AC=|Bq，求角a的值；

・2.

—>—>2sina+sin2a

⑵若AC-BC=-1，求1+tan的值.1+tana

19.（南充模拟）在厶ABC中，已知内角，边BC=23，设内角B=x,周长为y.

（1）求函数y=f（x）的解析式和定义域；

（2）求y的最大值及取得最大值时△ABC的形状.

20.（福建高考）已知向量m=（sinA,cosA）,n=（.3,-1）,mrn=1，且A为锐角.

（1）求角A的大小；

⑵求函数f（x）=cos2x+4cosAsinx（x€R）的值域.

21.在△ABC中,a、b、c分别为角AB、C的对边，且（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sinC

（1）若a=3,b=4，求|落CB的值；

⑵若g才,△ABO的面积是-.3,求BC+BC-CA+CA-AB勺值.

《平面向量》测试题

参考答案

1.B2.A

3.C4.C5.A

6.D7.D8.A9.C

10.B

11.A

12.C

13.（4,-2）

14.215.

±1516.0

17.［解］

连结AC

DC=1

—1AB=—a,

•…AC-

AD+

DC=

K1=b+a,

11a-a=b-a,

BC=AC-AB=b+

—.————一1

NM=ND+DM=NA+AD+DM=b-—a,4

———1

MN=-NM=一a-b。

18.【解析】

（1）•••a=（—1,1）,b=（4,3），且—1X3工1X4,二a与b不共线.

⑶tc=入1a+入2b,

•（5,—2）=X1（—1,1）+入2（4,3）=（4入2—入1,入1+3入2）,

4入2—入1=5

X1=—7

入1+3X2=—2

，解得3

X2=7

22222f

19.［解］■/a=2e1+e2,•|a|=a=（2e1+e2）=4e1+4e-e2+e2=7,•|a|=..7。

同理得|b|=.7。

又a-b==（2e1+e2）-（-3e计2e2,）=-6e/+e1-e2+2e/=-7,

cos0=—a_b—=2=-1,^0=120°

|a|-|b|罚V72

•••/B=90°,aOB丄AB,•••x（x-4）+y（y-2）=0，即x2+y2=4x+2y。

①

•/△ABC为等腰直角三角形,

OC丄CB，•2（x-2）+y-1=0，即2x+y=5。

②

x.1x23

解得①、②得或

yi3y21

•B（1,3）或B（3,-1），从而AB=（-3,1）或AB=（-1,-3）

21•⑴若c//d得k9⑵若cd得k29

514

1-|AM•AN|・sin

S^AMN_2

Saabc

22.［解］如图10,

bac——

|AM|-|AN|

Z。

|AB|-|AC|-sinBAC|aB•|AC|

•N（4,-8）。

文科数学［平面向量］单兀练习题答案

一、选择题

1.b【解析】

22C

T（a+b）=c,•a-b=--,

cos〈a,b>

a•b

2，〈a,b>=120°.故选B.

a—2b=（3,5）-2（—2,1）=（7,3）

3tt313

=a+；（AC—AB=a+；（b—a）=；a+二b.

4444

1）.

D【解析】设c=（x,y），贝Uc+a=（x+1,y+2）,a+b=（3,

■/（c+a）//b,c丄（a+b）,

•••2（y+2）=-3（x+1）,3x-y=0.

77丄—

•-x=-9,y=-3，故选D.

5.D【解析】■/p丄q,「・2x-3（x-1）=0,

即x=3,「.A=⑶.又{x|ax=2}?

•{x|ax=2}=?

或{x|ax=2}={3},

•a=0或a=3,

•实数a构成的集合为{0,3}.

6.B【解析】由qacsin30°=㊁得ac=6,

由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB

=（a+c）—2ac—2accos30,

即b2=4+23,

•

b=.3+1.

7.C'【解析】如图，△ABC中,

AC=BC=a,ZACB=120°.

由余弦定理，

得aB=aC+bC-2AC-B@os120°

22c2「1o2

=a+a—2ax（—_）=3a,

•AB=-Qa.

b【解析】•/AB-BC+6b-CA^Bb-BA

10.C【解析】•/PA^BF+Sp=0,

即PA-Pb+Sp=0,即e6+CP=0,

11.【解析】•••a=（1,2）,b=（2,3）,

•••入a+b=（入，2入）+（2,3）=（入+2,2入+3）.•••向量入a+b与向量c=（—4,—7）共线，

•••—7（入+2）+4（2入+3）=0,•入=2.

【答案】2

12.【解析】由题意知a・b=|a||b|cos120

=—2la||bI.

又Tc丄a,：

（a+b）-a=0,

|a|

|b|

•a+a•b=0,

21即|a|=—a・b=才a||b|,

【答案】2

13.

【解析】Ta//b,•tana—”-/3=0，即tana

又a€（0,n）,•a=3.

【答案】y

14.【解析】如图，由题意可得OA=50,OB=30.

而AB=0A+0®20AOBcos120°

221

=50+30-2X50X30X（-2）

=2500+900+1500=4900,•AB=70.

【答案】70

15.【解析】设BC=x,则AC=2x,

根据面积公式得S^b=^AB-BCSinB

=1x2x1—cos2B,

根据余弦定理得cosB=AB+BC-Ac

2AB-BC

4+x2—（2x）24—x2

4x，

代入上式得

4—x22

&ABC=x1—（4x）=

2x+x>2

x+2>2x

由三角形三边关系有

128—（x—12）

解得22—2

故当x=2]3时，S^abc取得最大值

【答案】2、.、2

三、解答题

16.【解析】

（1）ta=（—1,1）,

又a-b=—1X4+1X3=—1,

a-b—1

2一2.

b=（4,3），且一1X3工1X4,「.

|a|=■2,|b|=5,

2--cos〈a,b—彳c.

|a||b|^j210

⑵ta-c=—1X5+1X（—2）=—7,

a-c—7

a与b不共线.

•c在a方向上的投影为|a|=2=

⑶c=入ia+入2b,

•••（5,-2）=入i（—1,1）+入2（4,3）

=（4入2—入1,入1+3入2）,

4入2—入1=5

入1+3入2=—2

入1一-

，解得

入2=7

17.

ADE是△ABC

【解析】要求点D坐标，关键是求得点D分AB所成比入的值，求入值可由已知条件厶

面积一半入手，利用三角形面积比等于三角形相似比的平方关系求得.

•••DE//BCADNAABC

SADEAD2

S\abcAB.

AD21AD1

由已知，有Ab=2，即AB=_2.

设点d分AB所成的比为入，利用分点定义,得入=—=羽+1.

\j2—1

•得点D的横、纵坐标为x=——7=2—2,

1+农+1v

3+'2+1y=;=3—J2.

1+'2+1

则点D坐标为（2—■2,3—■_2）.

18.【解析】

（1）•AC=（cosa—3,sina）,

BC=（cosa,sina—3）且|AC=|BC,

2222

•（cosa—3）+sina=cosa+（sina—3）,整理，得sina=cosa,•tana=1.

十n35

又T

⑵•AC"BC=cosa（cosa—3）+sina（sina—3）=—1,

--cosa—3cosa+sina—3sina=—1,

19.【解析】

（1）△ABC的内角和A+B+C=n,

由A=3,B>0,C>0得0

BC2击

应用正弦定理知AC=sinB=Jsinx

sinAn

sin-3

=4sinx.

BC2

AB=sinC=4sin匚n—x,

sinA3

•y=AC^AB^BC

/•y=4sinx+4sin

2n-x+230

亍cosx+gsinx

=43sin

x+百+2,3,

ltn

但衣

<—n,

66'

（2）vy=4sinx+

•••当x+6=2即x=~时，y取得最大值6j3,此时△ABC为等边三角形.

20.【解析】⑴由题意得nrn=・3sinA—cosA=1,

nn1

2sin（A-6）=1，sin（A—石）=

nnn

由A为锐角得A--6=-6,A=&.

丄“1

⑵由

（1）知cosA=2,

所以f（x）=cos2x+2sinx=1—2sin2x+2sinx

123

=—2（sinx—2）+2.

因为x€R,所以sinx€[—1,1],

因此，当sinx=q时，f（x）有最大值^,

当sinx=—1时，f（x）有最小值一3,

所以所求函数f（x）的值域是[—3,才.

2222

21.【解析】由（a+b）sin（A-B）=（a—b）sinC,得（a+b）sin（A—B）=（a—b）sin（A+B）,

由两角和与差的正弦公式展开得：

2bsinAcosB=2acosAsinB根据正弦定理有：

2sinBcosB=2sinAcosA,即sin2B=sin2A

vAB为三角形的内角，

•A=B或A+B=

（1）若a=3,b=4，则AmB,.，.A+B=~,C=~,CALCB

•|CA+SB=（‘CA+6B+2Ca-6b

=\/a2+b2=5.

⑵若0=亍，贝yCMy,•A=B,a=b,三角形为等边三角形.

12（-

由Smbc=尹sinC=\jf3，解得a=2,

•AB-Bc+Bc-Ca+Ca-AB

=3X2X2cos=—6.

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