高考数学一轮复习经典高考小题狂练10.docx
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高考数学一轮复习经典高考小题狂练10
感知高考刺金171
三角模块3．
两点在
的边
上，
，若
，且
，则
的最大值为．
解：
取
中点为
，则
，
又
，所以
所以
所以
【点评】本题是“平行四边形四边平方和等于对角线平方和”性质的应用，它是极化恒等式的对偶式．
已知a，b是两个向量，则（a＋b）2=a2＋2ab＋b2①
（a－b）2=a2－2ab＋b2②
①－②得“极化恒等式”：
4a·b＝（a＋b）2－（a－b）2．
①＋②得“平行四边形对角线性质”：
2（|a|2＋|b|2）＝（a＋b）2＋（a－b）2．
平行四边形对角线性质公式揭示的是平行四边形对角线的平方和等于其四边和的平方．
感知高考刺金172
三角模块4．在
中，若
，则
的最大值为．
解法一：
胆子大！
，故
当
解法二：
所以
，所以
因为若
，则
，
均为钝角，不可能，故
所以
感知高考刺金173
三角模块5．在
中，
，
，
是角平分线，且
，则当
取最小值时
．
解：
设
，
，
由角平分线定理得
所以
，即
故
又
，所以
再由余弦定理得
当且仅当
时，
，所以
感知高考刺金174
三角模块6．如图，已知正
边长为
，点
为
外接圆的劣弧
上一点，记
与
的面积分别为
，则
的最大值为．
解法一：
设
，则
在
中，由余弦定理得
即
①
在
中，由余弦定理得
即
②
①—②得
即
故
所以
解法二：
设
，则
在
中，
，
，
由正弦定理得
于是
故
后续同解法一．
解法三：
如图建系，有
，
，
，于是圆方程为
直线
的方程为
，直线
的方程为
，
设
记
，
故
故当
时，
感知高考刺金175
不等式模块1．已知
为正实数，则
的最大值为．
解：
当且仅当
时取得等号．
评注：
齐次化的应用
感知高考刺金176
不等式模块2．设实数
满足
，则
的取值范围是．
解：
当
同号时，
当
异号时，
评注：
齐次化的应用，因为齐次的启发，才有
这一步。
感知高考刺金177
不等式模块3．已知
为正实数，且
，则
的最小值为．
解法一：
解法二：
令
，
，则题目变为
若
，则
评注：
换元法有助于简化问题，看穿本质。
感知高考刺金178
不等式模块4．设正实数
满足
，则实数
的最小值为．
解法一：
将其视为关于
的一元二次方程有正根，
所以
解法二：
，解得
感知高考刺金179
不等式模块5．已知实数
满足
，则
的最大值为．
解：
画出可行域，
为可行域内任意一点，目标函数
理解为长方形
的面积，当
取最大值时，点
必在线段
上，即
又因为
，即
点评：
本题和今年四川高考第9题异曲同工，要形成不等式就是可行域的观点，解题的思路会更开阔。
（2015四川第9题）如果函数
在区间
上单调递减，则
的最大值为（）
A．16B．18C．25D．
解：
画出可行域
或
或
（或用导数
对
恒成立，即
）
令
，则
，当函数
与可行域相交变化中，看
的变化可得，当
与
相切时，取得最大值，则两式联立
，解得
感知高考刺金180
不等式模块6．已知
，若
，
，且
，则实数
的取值范围是．
解：
因为
，
，
故
，
，
在直角坐标系
中，作出可行域，得
由
得
，解得
感知高考刺金181
不等式模块7．设
，若关于
的不等式
的解集中的整数解恰有3个，则
的取值范围是．
解：
若要使不等式恰有三个整数解，必有
，所以解集为
又
，所以
，所以
所以
满足
，画出可行域，可知
感知高考刺金182
不等式模块8．不等式
对于任意的
及
恒成立，则实数
的取值范围是．
解：
又
及
，所以
，所以
，所以
感知高考刺金183
不等式模块9．已知
，满足
，则
的取值范围是．
解：
其中
视为可行域内的点与
连线的斜率，
，故
感知高考刺金184
不等式模块10．已知实数
满足
，若不等式
恒成立，则
的最大值为．
解：
的可行域如图，
令
，则
点评：
最近几天的题目都是线性规划为背景，利用齐次化思想，将两元的问题转为为关于k的一元问题，从而变为函数求值域的问题。
感知高考刺金185
数列模块1．数列
满足
，
，则此数列最多有项．
解：
由
得
故新数列
是首项为48，公差为
的等差数列，所以
得
，故最多
，最多50项。
感知高考刺金186
数列模块2．已知函数
，记
．若
是递减数列，则实数
的取值范围是．
解：
是递减数列，从
开始，必须满足
又对
，根据二次函数的性质，需要满足对称轴
注意还要满足
，即
，
综上得
感知高考刺金187
数列模块3．已知集合
，若
中有且仅有3个元素，则实数
的取值范围是．
解：
令
，考查
的单调性，
当
时，
，即
当
时，
，此时
单调递减
，
，
，
由题意知，
中有且仅有3个元素，只需大于第四项即可，所以
点评：
数列作为一种特殊的函数，特殊性在于自变量
取正整数，函数图象是不连续的点。
因此在涉及数列单调性问题时，既可以从函数单调性的角度去理解，也可以有数列判断单调性特有的方法，后项减前项与0比较大小解决。
这个题目最经典的题根就是“递增数列
的通项公式为
，则
的取值范围是。
”这里就既可以从二次函数单调递增的角度，也可以用
的角度来求解。
感知高考刺金188
数列模块4．在各项均为正整数的单调递增数列
中，
且
，则
．
解：
当
时，由
及
得
又数列
是各项均为正整数的单调递增数列，所以
所以
，所以
，又
，所以
，所以
当
时，由
，所以
当
时，由
，所以
当
时，由
，所以
继续下去，可得
本题可以发现数列其实是斐波那契数列，故由
得
可以发现
，即斐波那契数列．
感知高考刺金189
数列模块5．设
是等差数列
的前
项和，若数列
满足
且
，则
的最小值是．
解：
设
，则
故
，解得
故
感知高考刺金190
数列模块6．已知函数
，若数列
满足
，且
的前
项和为
，则
．
解：
所以
，
，
，
故
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