圆幂定理.docx
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圆幂定理
圆幂定理
圆幂定理是对、及（切割线定理推论）以及它们推论统一归纳的结果。
=PO^2-R^2（该结论为）
所以圆内的点的幂为负数，圆外的点的幂为正数，圆上的点的幂为零。
相交弦定理：
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
切定理：
从圆外一点引圆的和割线，是这点到割线与圆交点的两条线段长的。
割线定理：
从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B；C、D，则有PA·PB=PC·PD。
统一归纳：
过任意不在圆上的一点P引两条直线L1、L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D（可重合），则有PA·PB=PC·PD。
问题1
相交弦定理：
圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的乘积相等。
证明：
连结AC，BD，由的推论，得∠A=∠D，∠C=∠B。
∴△PAC∽△PDB
∴PA/PD=PC/PB
∴PA·PB=PC·PD
问题2
割线定理：
从圆外一点P引两条割线与圆分别交于则有PA·PB=PC·PD，当PA=PB，即直线AB重合，即PA切线时得到切线定理PA^2=PC·PD
证明：
（令A在P、B之间，C在P、D之间）
∵ABCD为
∴∠CAB+∠CDB=180°
又∠CAB+∠PAC=180°
∴∠PAC=∠CDB
∵∠APC公共
∴△APC∽△DPB
∴PA/PD=PC/PB
∴PA·PB=PC·PD
切割线定理：
从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项
几何语言：
∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线
∴PT^2=PA·PB（切割线定理）
推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等
几何语言：
∵PBA、PDC是⊙O的割线
∴PD·PC=PA·PB（切割线定理推论）
问题3
过点P任作直线交定圆于两点A、B，证明PA·PB为定值（圆幂定理）。
证：
以P为原点，设圆的方程为
（x-xO）^2+（y-yO）^2=a①
过P的直线为
x=k1t
y=k2t
则A、B的横坐标是方程
（k1t-xO）^2+（k2t-yO）^2=r^2
即
（k1^2+k2^2）t^2-2（k1xO+k2yO）t+xO^2+yO^2-r^2=0
的两个根t1、t2。
由
t1t2=（xO^2+yO^2-^2）/（k1^2+k2^2）
于是
PA·PB=√（（k1t1）^2+（k2t1）^2）√（（k1t2）^2+（k2t2）^2）
=（√（k1^2+k2^2））^2|t1||t2|
=k1^2+k2^2|（xO^2+yO^2-r^2）/（k1^2+k2^2）|
=|（xO^2+yO^2-r^2）|
为定值，证毕。
圆①也可以写成
x^2+y^2-2xOx-2yOy+xO^2+yO^2-a=0①′
其中a为圆的半径的平方。
所说的定值也就是（原点）与圆心O的距离的平方减去半径的平方。
当P在圆外时，这就是自P向圆所引切线（长）的平方。
这定值称为点P到这圆的幂。
在上面证明的过程中，我们以P为原点，这样可以使问题简化。
如果给定点O，未必是原点，要求出P关于圆①的幂（即OP^2-r^2），我们可以设直线AB的方程为
②
③
是的倾斜角，表示直线上的点与的距离．
将②③代入①得
即
，是它的两个根，所以由韦达定理
④
是定值
④是关于①的幂（当是原点时，这个值就是）．它也可以写成
④′
即与圆心距离的平方减去半径的平方．
当P在圆内时，幂值是负值；P在圆上时，幂为0；P在圆外时，幂为正值，这时幂就是自P向圆所引切线长的平方。
以上是圆幂定理的证明，下面看一看它的应用．
问题4
自圆外一点向圆引割线交圆于、两点，又作切线、，、为切点，与相交于，如图8．求证、、成调和数列，即
证：
设圆的方程为
⑤
点的坐标为，的参数方程为
⑥
⑦
其中是的倾斜角，表示直线上的点与的距离．
⑥⑦代入⑤得
即
、是它的两个根，由韦达定理
⑧
另一方面，直线是圆的切点弦，利用前边的结论，的方程为
⑦⑧代入得
因此，这个方程的根满足
⑨
综合⑧⑨，结论成立。
可以证明，当在圆内时，上述推导及结论仍然成立。
说明：
问题4的解决借用了问题3的方法，同时我们也看到了问题4与问题1、问题2的内在联系。
概念
相交弦定理
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
（经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等）
相交弦说明
几何语言：
若弦AB、CD交于点P
则PA·PB=PC·PD（相交弦定理）
推论：
如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的
几何语言：
若AB是直径，CD垂直AB于点P，
则PC^2=PA·PB（相交弦定理推论）
如何证明
证明：
连结AC，BD，由的推论，得∠A=∠D，∠C=∠B。
（推论2:
同（等）弧所对圆周角相等.）∴△PAC∽△PDB，∴PA∶PD=PC∶PB，PA·PB=PC·PD
注：
其可作为证明圆的内接四边形的方法.P点若选在圆内任意一点更具一般性。
其逆定理也可用于证明四点共圆。
比较
相交弦定理、及（切割线定理推论）以及他们的推论统称为。
一般用于求线段长度。
射影定理
（又叫（Euclid）定理）：
直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
公式Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高,则有射影定理如下:
（1）（AD）^2;=BD·DC,
（2）（AB）^2;=BD·BC,（3）（AC）^2;=CD·BC。
等积式（4）ABXAC=BCXAD（可用面积来证明）
直角三角形射影定理
简介
所谓射影，就是正投影。
直角三角形射影定理（又叫（Euclid）定理）：
中，上的高是两直角边在斜边上射影的。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
公式:
如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：
（1）（BD）^2=AD·DC，
（2）（AB）^2=AD·AC，（3）（BC）^2=CD·CA。
等积式（4）AB×BC=AC×BD（可用“面积法”来证明）
直角三角形射影定理的证明
射影定理简图（几何画板）
：
（主要是从三角形的相似比推算来的） 一、
在△BAD与△BCD中，∵∠ABD+∠CBD=90°，且∠CBD+∠C=90°，
∴∠ABD=∠C，
又∵∠BDA=∠BDC=90°
∴△BAD∽△CBD
∴AD/BD=BD/CD
即BD^2=AD·DC。
其余同理可得可证
注：
由上述射影定理还可以证明勾股定理。
有射影定理如下：
AB^2=AD·AC，BC^2=CD·CA
两式相加得：
AB^2+BC^2=AD·AC+CD·AC=（AD+CD）·AC=AC^2.
即AB^2+BC^2=AC^2（勾股定理结论）。
二、
已知:
三角形中角A=90度,AD是高.
用勾股证射影
∵AD^2=AB^2-BD^2=AC^2-CD^2,
∴2AD^2=AB+AC-BD-CD=BC-BD-CD=（BD+CD）-（BD+CD）=2BD×CD.
故AD^2=BD×CD.
运用此结论可得:
AB=BD+AD=BD+BD×CD=BD×（BD+CD）=BD×BC,AC=CD+AD=CD+BD×CD=CD（BD+CD）=CD×CB.
综上所述得到射影定理。
同样也可以利用三角形面积知识进行证明。
任意三角形射影定理
任意三角形射影定理又称“”：
△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有
a=b·cosC+c·cosB，
b=c·cosA+a·cosC，
c=a·cosB+b·cosA。
注：
以“a=b·cosC+c·cosB”为例，b、c在a上的射影分别为b·cosC、c·cosB，故名射影定理。
证明1：
设点A在直线BC上的射影为点D，则AB、AC在直线BC上的射影分别为BD、CD，且
BD=c·cosB，CD=b·cosC，∴a=BD+CD=b·cosC+c·cosB.同理可证其余。
证明2：
由正弦定理，可得：
b=asinB/sinA，c=asinC/sinA=asin（A+B）/sinA=a（sinAcosB+cosAsinB）/sinA
=acosB+（asinB/sinA）cosA=a·cosB+b·cosA.同理可证其它的。
射影定理-面积射影定理
面积射影定理：
“平面图形射影面积等于被射影图形的面积S乘以该图形所在平面与射影面所夹角的余弦。
”
COSθ=S射影/S原
（平面多边形及其射影的面积分别是S原,S射影,它们所在平面所成锐二面角的为θ）
证明思路：
因为射影就是将原图形的长度（三角形中称高）缩放，所以宽度是不变的，又因为平面多边形的面积比=边长的平方比。
所以就是图形的长度（三角形中称高）的比。
那么这个比值应该是平面所成角的余弦值。
在两平面中作一直角三角形，并使斜边和一直角边垂直于棱（即原多边形图的平面和射影平面的交线），那么三角形的斜边和另一直角边就是其多边形的长度比，即为平面多边形的面积比，而将这个比值放到该平面三角形中去运算，即可。
切割线定理
定理
切割线定理：
从圆外一点引圆的和，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的。
是的一种。
切割线定理示意图
几何语言：
∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线
∴PT的平方=PA·PB（切割线定理）推论：
从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等
几何语言：
∵PT是⊙O切线，PBA，PDC是⊙O的割线
∴PD·PC=PA·PB（切割线定理推论）（）
由上可知:
PT∧2（平方）=PA·PB=PC·PD
证明
切割线定理证明:
设ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则PT^2=PA·PB
证明：
连接AT,BT
∵∠PTB=∠PAT（）
切割线定理的证明
∠P=∠P（公共角）
∴△PBT∽△PTA（两角对应相等,两三角形相似）
则PB：
PT=PT：
AP
即：
PT^2=PB·PA
比较
相交弦定理、及割线定理（切割线定理推论）以及他们的推论统称为圆幂定理。
一般用于求直线段长度。
正弦定理
定理概述
在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则有
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R为三角形外接圆的半径）
正弦定理（Sinetheorem）
（1）已知三角形的两角与一边，解三角形
（2）已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形
（3）运用a：
b：
c=sinA：
sinB：
sinC解决角之间的转换关系
直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦。
证明
步骤1
在△ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c。
作CH⊥AB垂足为点H
CH=a·sinB
CH=b·sinA
∴a·sinB=b·sinA
得到
a/sinA=b/sinB
同理，在△ABC中，
b/sinB=c/sinC
步骤2.
证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：
如图，任意三角形ABC,作ABC的O.
作BD交⊙O于D.
连接DA.
因为在同圆或等圆中直径所对的是直角，所以∠DAB=90度
因为在同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等，所以∠D等于∠ACB.
所以c/sinC=c/sinD=BD=2R
类似可证其余两个等式。
意义
正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的之间的一个关系式。
也就是任意三角形的边角关系。
余弦定理
是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。
余弦定理性质
对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a,b,c三角为A,B,C，则满足性质——
a^2=b^2+c^2-2·b·c·cosA
b^2=a^2+c^2-2·a·c·cosB
c^2=a^2+b^2-2·a·b·cosC
cosC=（a^2+b^2-c^2）/（2·a·b）
cosB=（a^2+c^2-b^2）/（2·a·c）
cosA=（c^2+b^2-a^2）/（2·b·c）
（物理力学方面的中也会用到）
（任意三角形）
设△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有
a=b·cosC+c·cosB，b=c·cosA+a·cosC，c=a·cosB+b·cosA。
余弦定理的证明
证法
∵如图，有a+b=c（平行四边形定则：
两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小）∴c·c=（a+b）·（a+b）
∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos（π-θ）
（以上粗体字符表示向量）
又∵Cos（π-θ）=-CosC
∴c^2=a^2+b^2-2|a||b|cosθ（注意：
这里用到了三角函数的公式）
再拆开，得c^2=a^2+b^2-2*a*b*cosC
即cosC=（a^2+b^2-c^2）/2*a*b
同理可证其他，而下面的CosC=（c^2-b^2-a^2）/2ab就是将CosC移到左边表示一下。
平面几何证法
在任意△ABC中
做AD⊥BC.
∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a
则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c
根据可得：
AC^2=AD^2+DC^2
b^2=（sinB*c）^2+（a-cosB*c）^2
b^2=（sinB*c）^2+a^2-2ac*cosB+（cosB）^2*c^2
b^2=（sinB^2+cosB^2）*c^2-2ac*cosB+a^2
b^2=c^2+a^2-2ac*cosB
cosB=（c^2+a^2-b^2）/2ac
三角形面积公式
1.海伦-秦九韶公式:
设P=（a+b+c）/2
S△ABC=√[P（P-a）（P-b）（P-c）]
解释：
假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：
S=√[p（p-a）（p-b）（p-c）]
而公式里的p为半周长：
p=（a+b+c）/2
△ABC=（ab/2）·sinC=（bc/2）·sinA=（ac/2）·sinB=abc/（4R）[R为外接圆半径]
△ABC=ah/2
正弦定理的变形公式
（1）a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;
（2）sinA:
sinB:
sinC=a:
b:
c;
（条件同上）
在一个三角形中，各边与其所对角的正弦的比相等，且该比值都等于该三角形外接圆的直径已知三角形是确定的，利用正弦定理解三角形时，其解是唯一的；已知三角形的两边和其中一边的对角，由于该三角形具有不稳定性，所以其解不确定，可结合平面几何作图的方法及“大边对大角，大角对大边”定理和去考虑解决问题
（3）相关结论：
a/sinA=b/sinB=c/sinC=（a+b）/（sinA+sinB）=（a+b+c）/（sinA+sinB+sinC）
c/sinC=c/sinD=BD=2R（R为外接圆半径）
（4）设R为三角外接圆半径，公式可扩展为：
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,即当一内角为90°时，所对的边为外接圆的直径。
灵活运用正弦定理，还需要知道它的几个变形
sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R
asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA
（5）a=bsinA/sinBsinB=bsinA/a
余弦定理
余弦定理（第二余弦定理）
定理是揭示边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。
直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值
余弦定理性质
对于任意三角形，任何一边的等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a，b，c三角为A，B，C，则满足性质——
a^2=b^2+c^2-2·b·c·cosA
b^2=a^2+c^2-2·a·c·cosB
c^2=a^2+b^2-2·a·b·cosC
cosC=（a^2+b^2-c^2）/（2·a·b）
cosB=（a^2+c^2-b^2）/（2·a·c）
cosA=（c^2+b^2-a^2）/（2·b·c）
（物理力学方面的中也会用到）
（任意三角形）
设△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有
a=b·cosC+c·cosB，b=c·cosA+a·cosC，c=a·cosB+b·cosA。
余弦定理证明
平面向量证法
∵如图，有a+b=c（平行四边形定则：
两个邻边之间的代表两个邻边大小）
∴c·c=（a+b）·（a+b）
∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos（π-θ）
（以上粗体字符表示向量）
又∵Cos（π-θ）=-Cosθ
∴c2=a2+b2-2|a||b|Cosθ（注意：
这里用到了）
再拆开，得c2=a2+b2-2*a*b*CosC
即CosC=（a2+b2-c2）/2*a*b
同理可证其他，而下面的CosC=（c2-b2-a2）/2ab就是将CosC移到左边表示一下。
平面几何证法
在任意△ABC中
做AD⊥BC.
∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a
则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c
根据可得：
AC^2=AD^2+DC^2
b^2=（sinB*c）^2+（a-cosB*c）^2
b^2=（sinB*c）^2+a^2-2ac*cosB+（cosB）^2*c^2
b^2=（sinB2+cosB2）*c^2-2ac*cosB+a^2
b^2=c^2+a^2-2ac*cosB
cosB=（c^2+a^2-b^2）/2ac
作用
（1）已知三角形的三条边长，可求出三个内角
（2）已知三角形的两边及夹角，可求出第三边。
（3）已知三角形两边及其一边对角，可求其它的角和第三条边。
（见解三角形公式，推导过程略。
）
判定定理一（两根判别法）：
若记m（c1,c2）为c的两值为正根的个数，c1为c的表达式中前取加号的值，c2为c的表达式中根号前取
减号的值
①若m（c1,c2）=2,则有两解
②若m（c1,c2）=1,则有一解
③若m（c1,c2）=0,则有零解（即无解）。
注意：
若c1等于c2且c1或c2大于0，此种情况算到第二种情况，即一解。
判定定理二（角边判别法）:
一当a>bsinA时
①当b>a且cosA>0（即A为）时，则有两解
②当b>a且cosA<=0（即A为直角或钝角）时,则有零解（即无解）
③当b=a且cosA>0（即A为锐角）时，则有一解
④当b=a且cosA<=0（即A为直角或钝角）时,则有零解（即无解）
⑤当b 二当a=bsinA时
①当cosA>0（即A为锐角）时,则有一解
②当cosA<=0（即A为直角或钝角）时，则有零解（即无解）
三当a解三角形公式
例如：
已知△ABC的三边之比为5：
4：
3，求最大的内角。
解设三角形的三边为a,b,c且a:
b:
c=5:
4:
3.
由三角形中大边对大角可知：
∠A为最大的角。
由余弦定理
cosA=0
所以∠A=90°.
再如△ABC中，AB=2,AC=3,∠A=60度，求BC之长。
解由余弦定理可知
BC2=AB2+AC2-2AB×AC·cosA
=4+9-2×2×3×cos60
=
=13-6
=7
所以BC=√7.（注：
cos60=,可以用算）
以上两个小例子简单说明了余弦定理的作用。
其他
从余弦定理和的性质可以看出，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角一定是直角，如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角，如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角。
即，利用余弦定理，可以判断三角形形状。
同时，还可以用余弦定理求三角形边长取值范围。
解三角形时，除了用到余弦定理外还常用。
30°
45°
60°
Sin
1/2
√2/2
√3/2
Cos
√3/2
√2/2
1/2
Tan
√3/3
1
√3
扩展阅读：
1
正余弦定理的推广应用：
半角公式
简介
利用某个角（如A）的，余弦，，及其他，来求某个角的（如A/2）的正弦，余弦，正切，及其他三角函数的公式。
公式
sin^2（α/2）=（1-cosα）/2
cos^2（α/2）=（1+cos
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