沪科版数学七年级下册单元知识总结.docx

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2021年沪科版数学七年级下册单元知识总结

沪科版数学七年级下册单元知识总结

实数考点一、实数的概念及分类（3分）

1、实数的分类正有理数有理数零有限小数和无限循环小数实数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数整数包括正整数、零、负整数。

正整数又叫自然数。

正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。

2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类：

（1）开方开不尽的数，如等；

（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等；

（3）有特定结构的数，如0.***-*****01…等；

（4）某些三角函数，如sin60o等（这类在初三会出现）

考点二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=-b，反之亦成立。

2、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。

零的绝对值是它本身，若|a|=a，则a≥0；

若|a|=-a，则a≤0。

正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。

3、倒数如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。

倒数等于本身的数是1和-1。

零没有倒数。

考点三、平方根、算数平方根和立方根1、平方根如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。

一个数有两个平方根，它们互为相反数；

零的平方根是零；

负数没有平方根。

正数a的平方根记做“”。

2、算术平方根正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。

正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

（0）

；

注意的双重非负性：

-（0）

03、立方根如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根（或a的三次方根）。

一个正数有一个正的立方根；

一个负数有一个负的立方根；

零的立方根是零。

注意：

，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

考点四、科学记数法和近似数1、有效数字一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。

2、科学记数法把一个数写做的形式，其中，n是整数，这种记数法叫做科学记数法。

考点五、实数大小的比较1、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。

解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。

2、实数大小比较的几种常用方法

（1）数轴比较：

在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

（2）求差比较：

设a、b是实数，（3）求商比较法：

设a、b是两正实数，（4）绝对值比较法：

设a、b是两负实数，则。

（5）平方法：

设a、b是两负实数，则。

考点六、实数的运算（做题的基础，分值相当大）

1、加法交换律2、加法结合律3、乘法交换律4、乘法结合律5、乘法对加法的分配律6、实数混合运算时，对于运算顺序有什么规定?

实数混合运算时，将运算分为三级，加减为一级运算，乘除为二级运算，乘方为三级运算。

同级运算时，从左到右依次进行；

不是同级的混合运算，先算乘方，再算乘除，而后才算加减；

运算中如有括号时，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序进行。

7、有理数除法运算法则就什么?

有理数除法运算法则可用两种方式来表述：

第一，除以一个不等于零的数，等于乘以这个数的倒数；

第二，两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

零除以任何一个不为零的数，商都是零。

8、什么叫有理数的乘方?

幂?

底数?

指数?

相同因数相乘的积的运算叫乘方，乘方的结果叫幂，相同因数的个数叫指数，这个因数叫底数。

记作:

an9、有理数乘方运算的法则是什么?

负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。

正数的任何次幂都是正数。

零的任何正整数幂都是零。

10、加括号和去括号时各项的符号的变化规律是什么?

去（加）括号时如果括号外的因数是正数，去（加）括号后式子各项的符号与原括号内的式子相应各项的符号相同；

括号外的因数是负数去（加）括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相反。

不等式与不等式组知识点归纳一、不等式的概念1.不等式：

用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。

2.不等式的解集：

对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。

3.不等式的解集：

对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。

4.解不等式：

求不等式的解集的过程，叫做解不等式。

5.用数轴表示不等式的解集。

二、不等式的基本性质1.不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

2.不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

3.不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

说明：

①在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改变。

②如果不等式乘以0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立。

例:

1.已知不等式3x-a≤0的正整数解恰是1，2，3，则a的取值范围是。

2.已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是。

3.不等式组的整数解为。

4.如果关于x的不等式（a-1）xa+5和2x4的解集相同，则a的值为。

5.已知关于x的不等式组的解集为，那么a的取值范围是。

6.当时，代数式的值不大于零7.若1，则0（用“”“=”或“”号填空）

8.不等式1，的正整数解是9.　不等式的解集为3，则10.若，则不等式组的解集是11.若不等式组的解集是-11，则的值为12.有解集23的不等式组是（写出一个即可）

13.一罐饮料净重约为300g，罐上注有“蛋白质含量”其中蛋白质的含量为_____g14.若不等式组的解集为3，则的取值范围是三、一元一次不等式（重点）

1.一元一次不等式的概念：

一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。

2.解一元一次不等式的一般步骤：

（1）去分母

（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x项的系数化为1例：

一、判断题（每题1分，共6分）

1、ab，得a+mb+m（）

2、由a3，得a（）

3、x=2是不等式x+34的解（）

4、由--1，得--a（）

5、如果ab，c0，则ac2bc2（）

6、如果ab0，则1（）

二、填空题（每题2分，共34分）

1、若ab，用“”号或“”号填空：

a-5b-5；

--；

-1+2a-1+2b；

6-a6-b；

2、x与3的和不小于-6，用不等式表示为；

3、当x时，代数式2x-3的值是正数；

4、代数式+2x的不大于8-的值，那么x的正整数解是；

5、如果x-7-5，则x；

如果-0，那么x；

6、不等式axb的解集是x，则a的取值范围是；

7、一个长方形的长为x米，宽为50米，如果它的周长不小于280米，那么x应满足的不等式为；

8、点A（-5，y1）、B（-2，y2）都在直线y=-2x上，则y1与y2的关系是；

9、如果一次函数y=（2-m）x+m的图象经过第一、二、四象限，那么m的取值范围是；

四、一元一次不等式组（难点）

1、一元一次不等式组的概念：

几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。

2、几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。

3、求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。

4、当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。

5、一元一次不等式组的解法

（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集

（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。

例：

一、选择题1.下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（）

A.B.C.D.2.下列说法正确的是（）

A.不等式组的解集是5x3B.的解集是-3x-2C.的解集是x=2D.的解集是x≠33.不等式组的最小整数解为（）

A.-1B.0C.1D.44.在平面直角坐标系中，点P（2x-6，x-5）在第四象限，则x的取值范围是（）

A.3x5B.-3x5C.-5x3D.-5x-35.不等式组的解集是（）

A.x2B.x3C.2x3D.无解二、填空题6.若不等式组有解，则m的取值范围是______.7.已知三角形三边的长分别为2，3和a，则a的取值范围是_____.8.将一筐橘子分给若干个儿童，如果每人分4个橘子，则剩下9个橘子；

如果每人分6个橘子，则最后一个儿童分得的橘子数将少于3个，由以上可推出，共有_____个儿童，分_____个橘子.9.若不等式组的解集是-1x1，则（a+b）2006=______.三、解答题10.解不等式组11.若不等式组无解，求m的取值范围.12.为节约用电，某学校于本学期初制定了详细的用电计划.如果实际每天比计划多用2度电，那么本学期用电量将会超过2530度；

如果实际每天比计划节约了2度电，那么本学期用电量将会不超过2200度.若本学期的在校时间按110天计算，那么学校每天计划用电量在什么范围内?

易错点分析：

易错点1：

误认为一元一次不等式组的“公共部分”就是两个数之间的部分.例1解不等式组错解：

由①，得x1，由②，得x-2，所以不等式组的解集为-2x1.错因剖析：

解一元一次不等式组的方法是先分别求出不等式组中各个不等式的解集，再利用数轴求出这些不等式解集的公共部分.此题错在对“公共部分”的理解上，误认为两个数之间的部分为“公共部分”（即解集）.实际上，这两部分没有“公共部分”，也就是说此不等式组无解，而所谓“公共部分”的解是指“两线重叠”的部分.此外，有些同学可能会受到解题顺序的影响，把解集表示成1x-2或-2x1等，这些都是错误的.正解：

由①，得x1.由②，得x-2，所以此不等式组无解.易错点2：

误认为“同向解集哪个表示范围大就取哪个”.例2解不等式组错解：

解不等式①，得x-.解不等式②，得x5.由于x-的范围较大，所以不等式组的解集为x-.错因剖析：

本例错解中，由于对不等式组的解集理解得不深刻，在根据两个解集的范围确定不等式组的解集时，形成错误的认识.其实在求两个一元一次不等式组成的不等式组的解集时，可归纳为以下四种基本类型（设ab），①②③④利用数可确定它们的解集分别为①xb，②xa，③axb，④空集.也可以用下面的口诀来帮助记忆，“同大取大，同小取小，大小小大中间取，大大小小取不了（空集）”.正解：

解不等式①，得x-.解不等式②，得x5.所以不等式组的解集为x5.易错点3：

混淆解一元一次不等式组和解二元一次方程组的方法.例3解不等式组错解：

由①+②，得2x≤14，即x≤7，所以不等式组的解集为x≤7.错因剖析：

本例错在将解一元一次不等式组和解二元一次方程组的方法混淆，误将解二元一次方程组中的加减消元法用在解一元一次不等式组中.产生此类错误的根本原因是没有正确区分解一元一次不等式组和解二元一次方程组的不同点，

（1）解二元一次方程组时，两个方程不是单独存在的；

（2）由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集，可归纳为“独立解，集中到”，即独立地解不等式组中的每一个不等式组中的每一个不等式，在解的过程中，各不等式彼此不发生关系，“组”的作用在最后，即每一个不等式的解集都要求出来后，再利用数轴从“公共部分”的角度去求“组”的解集.正解：

由不等式①，得x≥-17，即x≥-.由不等式②，得x≤-3，即x≤-.所以原不等式组的解集为-≤x≤-.易错点4：

在去分母时，漏乘常数项.例4解不等式组错解：

由①，得x2.在x-21+2≥-x的两边同乘2，得x-1+2≥-2x.于是有x≥-，所以原不等式组的解集为2x≥-.错因剖析：

解一元一次不等式组，需要先求出每一个不等式的解，最后找出它们的公共部分.对不等式进行变形时，一定要使用同解变形，不然就容易出错.本例的解答过程中没有掌握不等式的运算性质，在去分母时漏乘了中间的一项.此外，还要注意在表示“大小小大中间取”这类不等式的解集时应按一般顺序，把小的那个数放在前面，大的那个数放在后面，用“”连接.正解：

由①，得x2.在+2≥-x的两边同乘2，得x-1+4≥-2x.于是有x≥-1，所以原不等式组的解集为-1≤x2.易错点5：

忽视不等式两边同乘（或除以）的数的符号，导致不等式方向出错.例5解关于x的不等式（-a）x1-2a.错解：

去分母，得（1-2a）x2（1-2a）.将不等式两边同时除以（1-2a），得x2.错因剖析：

在利用不等式的性质解不等式时，如果不等式两边同乘（或除以）的数是含字母的式子，应注意讨论含字母的式子的符号.本例中不等式两边同乘（或除以）的（1-2a），在不确定取值符号的情况下进行约分，所以出错.正解：

将不等式变形，得（1-2a）x2（1-2a）.

（1）当1-2a0时，即a时，x2；

（2）当1-2a=0时，即a=时，不等式无解；

（3）当1-2a0时，即a时，x2.例6如果关于x的不等式（2a-b）x+a-5b0的解集是x，则关于x的不等式axb的解集是_________.错解：

因为不等式（2a-b）x+a-5b0的解集是x，所以=，则有解得从而知axb的解集是x.错因剖析：

本题错因有两个，一是忽视了原不等式的不等号方向与解集的不等号方向正好相反；

二是对含有字母系数的不等式没有根据解集的情况确定字母系数的取值范围，所以在解题时错误得出解得从而错误得到axb的解集是x.正解：

由不等式（2a-b）x+a-5b0的解集是x，得解得所以axb的解集是x.易错点6：

寻找待定字母的取值范围时易漏特殊情况.例7若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是________________.错解：

由得又因为不等式组无解，所以a的取值范围是a3.错因剖析：

由已知不等式的解集确定不等式组的解集时，可按“同大取大，同小取小，大小小大中间取，大大小小取不了”的基本规律求解，但当已知不等式组的解集而求不等式的解集中待定字母取值范围时则不能完全套用此规律，还应考虑特例，即a=3，有x≤3及x3，而此时不等式组也是无解的.因此，本题错在没有考虑待定字母的取值范围的特殊情况.正解：

由得又因为不等式组无解，所以a的取值范围是a≥3.例8已知关于x的不等式组的整数解共有5个，则a的取值范围是_________.错解：

由解得又因为原不等式组的整数解共有5个，所以a≤x2，这5个整数解为-3，-2，-1，0，1，从而有a≤-3（或a=-3）.错因剖析：

本题主要考查同学们是否会运用逆向思维解决含有待定字母的一元一次不等式组的特解.上述解法错在忽视a≤x2中有5个整数解时，a虽不唯一，但也有一定的限制，a的取值范围在-3与-4之间，其中包括-3，但不应包括-4，所以错解在确定a的取值范围时扩大了解的范围.正解：

由解得又因为原不等式组的整数解共有5个，所以a≤x2.又知这5个整数解为-3，-2，-1，0，1.故a的取值范围是-4a≤-3.总之，对于解一元一次不等式（组）问题，我们要深刻领会一元一次不等式（组）的基础知识，熟悉这6个易错点，牢固地掌握一元一次不等式（组）的解法和步骤，从而远离解一元一次不等式（组）的错误深渊.中考考点解读：

1.（2012*****分）不等式的解集是

A.

B.　　C.

D.空集A。

解一元一次不等式组。

解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：

同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）。

因此，解得，解得。

按同大取大，得不等式组的解集是：

.故选A。

2.（2012*****分）李明同学早上骑自行车上学，中途因道路施工步行一段路，到学校共用时15分钟.他骑自行车的平均速度是250米/分钟，步行的平均速度是80米/分钟.他家离学校的距离是2900米.如果他骑车和步行的时间分别为分钟，列出的方程是A.　　B.　C.　　D.D。

由实际问题抽象出二元一次方程组。

李明同学骑车和步行的时间分别为分钟，由题意得：

李明同学到学校共用时15分钟，所以得方程：

。

李明同学骑自行车的平均速度是250米/分钟，分钟骑了250米；

步行的平均速度是80米/分钟，分钟走了80米。

他家离学校的距离是2900米，所以得方程：

。

故选D。

3.（2012*****分）已知，则a+b等于A.3B.C.2D.1A。

解二元一次方程组。

两式相加即可得出4a+4b=12，方程的两边都除以4即可得出答案：

a+b=3。

故选A。

4.（2012*****分）方程有两个实数根，则k的取值范围是.A.k≥1B.k≤1C.k1D.k1D。