XX中考数学一轮复习二次函数图像与性质学案.docx
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XX中考数学一轮复习二次函数图像与性质学案
XX中考数学一轮复习-二次函数图像与性质学案
XX年中考数学一轮复习第14讲《二次函数图像与性质》
【考点解析】
知识点一、求二次函数图象的顶点坐标
【例题】已知A,B是抛物线y=﹣x2+bx+c上两点,该抛物线的顶点坐标是 .
【考点】二次函数的性质;二次函数图象上点的坐标特征.
【分析】把A、B的坐标代入函数解析式,即可得出方程组,求出方程组的解,即可得出解析式,化成顶点式即可.
【解答】解:
∵A,B是抛物线y=﹣x2+bx+c上两点,
∴代入得:
,
解得:
b=2,c=3,
∴y=﹣x2+2x+3
=﹣2+4,
顶点坐标为,
故答案为:
.
【点评】本题考查了二次函数的性质,二次函数图象上点的坐标特征的应用,能求出函数的解析式是解此题的关键.
【变式】
抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是
.
【答案】.
【解析】已知抛物线的解析式是一般式,用配方法转化为顶点式,根据顶点式的坐标特点,直接写出顶点坐标.
试题解析:
∵y=x2﹣2x+3=x2﹣2x+1﹣1+3=2+2,
∴抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是.
知识点二、二次函数图象的增减性及其其它性质
【例题】已知二次函数,当x>1时,y随x的增大而增大,而的取值范围是
A.B.c.D.
【答案】D.
【分析】根据二次函数的性质即可做出判断.
【解析】抛物线的对称轴为直线,∵当x>1时,y的值随x值的增大而增大,∴,解得:
.故选D.
【点评】本题考查了二次函数的性质,能正确地判断出确定出对称轴是解题的关键.
【变式】
如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴正半轴相交于A、B两点,与y轴相交于点c,对称轴为直线x=2,且oA=oc,则下列结论:
①abc>0;②9a+3b+c<0;③c>﹣1;④关于x的方程ax2+bx+c有一个根为﹣
其中正确的结论个数有
A.1个B.2个c.3个D.4个
【分析】由二次函数图象的开口方向、对称轴及与y轴的交点可分别判断出a、b、c的符号,从而可判断①;由图象可知当x=3时,y<0,可判断②;由oA=oc,且oA<1,可判断③;把﹣代入方程整理可得ac2﹣bc+c=0,结合③可判断④;从而可得出答案.
【解答】解:
由图象开口向下,可知a<0,
与y轴的交点在x轴的下方,可知c<0,
又对称轴方程为x=2,所以﹣>0,所以b>0,
∴abc>0,故①正确;
由图象可知当x=3时,y>0,
∴9a+3b+c>,故②错误;
由图象可知oA<1,
∵oA=oc,
∴oc<1,即﹣c<1,
∴c>﹣1,故③正确;
假设方程的一个根为x=﹣,把x=﹣代入方程可得﹣+c=0,
整理可得ac﹣b+1=0,
两边同时乘c可得ac2﹣bc+c=0,
即方程有一个根为x=﹣c,
由②可知﹣c=oA,而当x=oA是方程的根,
∴x=﹣c是方程的根,即假设成立,故④正确;
综上可知正确的结论有三个,
故选c.
【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质.熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程、不等式的关系是解题的关键.特别是利用好题目中的oA=oc,是解题的关键.
知识点三二次函数的对称轴【例题】二次函数y=+2x的顶点坐标为,对称轴是直线.
【答案】;直线x=-1.
【分析】将二次函数配成顶点式,然后得出顶点坐标和对称轴.
【解析】y=+2x=-1,从而得出抛物线的顶点坐标;对称轴直线x=-1.
【点评】本题考查了二次函数图象上的点的坐标,根据对于函数图象的描述能够理解函数的解析式的特点,是解决本题的关键.
【变式】
抛物线y=x2+2x+3的对称轴是
A.直线x=1B.直线x=﹣1c.直线x=﹣2D.直线x=2
【分析】先把一般式化为顶点式,然后根据二次函数的性质确定抛物线的对称轴方程.
【解答】解:
∵y=x2+2x+3=2+2,
∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1.
故选B.
【点评】本题考查了二次函数的性质:
对于二次函数y=ax2+bx+c,它的顶点坐标是,对称轴为直线x=﹣.
知识点四、二次函数的最大值
【例题】已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴最多有一个交点,现有以下四个结论:
①该抛物线的对称轴在y轴左侧;
②关于x的方程ax2+bx+c+2=0无实数根;
③a﹣b+c≥0;
④的最小值为3.
其中,正确结论的个数为
A.1个B.2个c.3个D.4个
【分析】从抛物线与x轴最多一个交点及b>a>0,可以推断抛物线最小值最小为0,对称轴在y轴左侧,并得到b2﹣4ac≤0,从而得到①②为正确;由x=﹣1及x=﹣2时y都大于或等于零可以得到③④正确.
【解答】解:
∵b>a>0
∴﹣<0,
所以①正确;
∵抛物线与x轴最多有一个交点,
∴b2﹣4ac≤0,
∴关于x的方程ax2+bx+c+2=0中,△=b2﹣4a=b2﹣4ac﹣8a<0,
所以②正确;
∵a>0及抛物线与x轴最多有一个交点,
∴x取任何值时,y≥0
∴当x=﹣1时,a﹣b+c≥0;
所以③正确;
当x=﹣2时,4a﹣2b+c≥0
a+b+c≥3b﹣3a
a+b+c≥3
≥3
所以④正确.
故选:
D.
【点评】本题考查了二次函数的解析式与图象的关系,解答此题的关键是要明确a的符号决定了抛物线开口方向;a、b的符号决定对称轴的位置;抛物线与x轴的交点个数,决定了b2﹣4ac的符号.
【变式】
已知二次函数y=2+1,在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下,与其对应的函数值y的最小值为5,则h的值为
A.1或﹣5B.﹣1或5c.1或﹣3D.1或3
【分析】由解析式可知该函数在x=h时取得最小值1、x>h时,y随x的增大而增大、当x<h时,y随x的增大而减小,根据1≤x≤3时,函数的最小值为5可分如下两种情况:
①若1≤x≤3<h,当x=3时,y取得最小值5;②若1≤x≤3<h,当x=3时,y取得最小值5,分别列出关于h的方程求解即可.
【解答】解:
∵当x>h时,y随x的增大而增大,当x<h时,y随x的增大而减小,
∴①若h<1≤x≤3,x=1时,y取得最小值5,
可得:
2+1=5,
解得:
h=﹣1或h=3;
②若1≤x≤3<h,当x=3时,y取得最小值5,
可得:
2+1=5,
解得:
h=5或h=1.
综上,h的值为﹣1或5,
故选:
B.
【点评】本题主要考查二次函数的性质和最值,根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键.
知识点五、二次函数图象与系数的关系
【例题】已知二次函数y=x2+bx+c与x轴只有一个交点,且图象过A、B两点,则、n的关系为
A.=nB.=nc.=n2D.=n2
【分析】由“抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点”推知x=﹣时,y=0.且b2﹣4c=0,即b2=4c,其次,根据抛物线对称轴的定义知点A、B关于对称轴对称,故A,B;最后,根据二次函数图象上点的坐标特征即可得出结论.
【解答】解:
∵抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点,
∴当x=﹣时,y=0.且b2﹣4c=0,即b2=4c.
又∵点A,B,
∴点A、B关于直线x=﹣对称,
∴A,B,
将A点坐标代入抛物线解析式,得=2+b+c,即=﹣+c,
∵b2=4c,
∴=n2,
故选D.
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点问题,根据题意得出抛物线的对称轴方程是解答此题的关键.
【变式】
二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,给出下列四个结论:
①4ac﹣b2<0;②4a+c<2b;③3b+2c<0;④+b<a,其中正确结论的个数是
A.4个B.3个c.2个D.1个
【答案】B
【解析】
试题分析:
∵抛物线和x轴有两个交点,
∴b2﹣4ac>0,
∴4ac﹣b2<0,∴①正确;
∵对称轴是直线x﹣1,和x轴的一个交点在点和点之间,
∴抛物线和x轴的另一个交点在和之间,
∴把代入抛物线得:
y=4a﹣2b+c>0,
∴4a+c>2b,∴②错误;
∵把代入抛物线得:
y=a+b+c<0,
∴2a+2b+2c<0,
∵b=2a,
∴3b,2c<0,∴③正确;
∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1,
∴y=a﹣b+c的值最大,
即把代入得:
y=a2+b+c<a﹣b+c,
∴a2+b+b<a,
即+b<a,∴④正确;
即正确的有3个,
故选B.
知识点六、二次函数图象的平移
【例题】抛物线y=3x2+2x﹣1向上平移4个单位长度后的函数解析式为.
A.y=3x2+2x﹣5B.y=3x2+2x﹣4
c.y=3x2+2x+3D.y=3x2+2x+4
【答案】c.
【分析】利用平移规律“上加下减”即可得出平移后的抛物线解析式.
【解析】利用平移规律“上加下减”,抛物线y=3x2+2x﹣1向上平移4个单位长度,解析式中常数项加4,所以是y=3x2+2x﹣1+4=3x2+2x+3,故选c.
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换:
由于抛物线平移后的形状不变,故a不变,所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法:
一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标,利用待定系数法求出解析式;二是只考虑平移后的顶点坐标,即可求出解析式.
【变式】
在平面直角坐标系中,把一条抛物线先向上平移3个单位长度,然后绕原点选择180°得到抛物线y=x2+5x+6,则原抛物线的解析式是
A.y=﹣2﹣B.y=﹣2﹣c.y=﹣2﹣D.y=﹣2+
【考点】二次函数图象与几何变换.
【分析】先求出绕原点旋转180°的抛物线解析式,求出向下平移3个单位长度的解析式即可.
【解答】解:
∵抛物线的解析式为:
y=x2+5x+6,
∴绕原点选择180°变为,y=﹣x2+5x﹣6,即y=﹣2+,
∴向下平移3个单位长度的解析式为y=﹣2+﹣3=﹣2﹣.
故选A.
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换,熟知二次函数的图象旋转及平移的法则是解答此题的关键.
【典例解析】
【例题1】二次函数y=﹣2+5,当≤x≤n且n<0时,y的最小值为2,最大值为2n,则+n的值为
A.B.2c.D.
【分析】结合二次函数图象的开口方向、对称轴以及增减性进行解答即可.
【解答】解:
二次函数y=﹣2+5的大致图象如下:
.
①当≤0≤x≤n<1时,当x=时y取最小值,即2=﹣2+5,
解得:
=﹣2.
当x=n时y取最大值,即2n=﹣2+5,
解得:
n=2或n=﹣2;
②当当≤0≤x≤1≤n时,当x=时y取最小值,即2=﹣2+5,
解得:
=﹣2.
当x=1时y取最大值,即2n=﹣2+5,
解得:
n=,
所以+n=﹣2+=.
故选:
D.
【点评】本题考查了二次函数的最值问题,二次函数的增减性,根据函数解析式求出对称轴解析式是解题的关键.
【例题2】点P1,P2,P3均在二次函数y=﹣x2+2x+c的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是
A.y3>y2>y1B.y3>y1=y2c.y1>y2>y3D.y1=y2>y3
【分析】根据函数解析式的特点,其对称轴为x=1,图象开口向下,在对称轴的右侧,y随x的增大而减小,据二次函数图象的对称性可知,P1与关于对称轴对称,可判断y1=y2>y3.
【解答】解:
∵y=﹣x2+2x+c,
∴对称轴为x=1,
P2,P3在对称轴的右侧,y随x的增大而减小,
∵3<5,
∴y2>y3,
根据二次函数图象的对称性可知,P1与关于对称轴对称,
故y1=y2>y3,
故选D.
【点评】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系,同时考查了函数的对称性及增减性.
【例题3】二次函数y=ax2+bx+c和正比例函数y=x的图象如图所示,则方程ax2+x+c=0的两根之和
A.大于0B.等于0c.小于0D.不能确定
【考点】抛物线与x轴的交点.
【分析】设ax2+bx+c=0的两根为x1,x2,由二次函数的图象可知x1+x2>0,a>0,设方程ax2+x+c=0的两根为a,b再根据根与系数的关系即可得出结论.
【解答】解:
设ax2+bx+c=0的两根为x1,x2,
∵由二次函数的图象可知x1+x2>0,a>0,
∴﹣>0.
设方程ax2+x+c=0的两根为a,b,则a+b=﹣=﹣+,
∵a>0,
∴>0,
∴a+b>0.
故选c.
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点,熟知抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关键.
【例题4】如图,二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点为D,其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1和3,则下列结论正确的是
A.2a﹣b=0
B.a+b+c>0
c.3a﹣c=0
D.当a=时,△ABD是等腰直角三角形
【考点】二次函数图象与系数的关系.
【分析】由于抛物线与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1,3,得到对称轴为直线x=1,则﹣=1,即2a+b=0,得出,选项A错误;
当x=1时,y<0,得出a+b+c<0,得出选项B错误;
当x=﹣1时,y=0,即a﹣b+c=0,而b=﹣2a,可得到a与c的关系,得出选项c错误;
由a=,则b=﹣1,c=﹣,对称轴x=1与x轴的交点为E,先求出顶点D的坐标,由三角形边的关系得出△ADE和△BDE都为等腰直角三角形,得出选项D正确;即可得出结论.
【解答】解:
∵抛物线与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1,3,
∴抛物线的对称轴为直线x=1,则﹣=1,
∴2a+b=0,
∴选项A错误;
∴当自变量取1时,对应的函数图象在x轴下方,
∴x=1时,y<0,则a+b+c<0,
∴选项B错误;
∵A点坐标为,
∴a﹣b+c=0,而b=﹣2a,
∴a+2a+c=0,
∴3a+c=0,
∴选项c错误;
当a=,则b=﹣1,c=﹣,对称轴x=1与x轴的交点为E,如图,
∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣,
把x=1代入得y=﹣1﹣=﹣2,
∴D点坐标为,
∴AE=2,BE=2,DE=2,
∴△ADE和△BDE都为等腰直角三角形,
∴△ADB为等腰直角三角形,
∴选项D正确.
故选D.
【点评】本题考查了二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数的关系:
当a>0,抛物线开口向上;抛物线的对称轴为直线x=﹣;抛物线与y轴的交点坐标为.
【中考热点】
热点1:
二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列结论:
①b<0;②c>0;③a+c<b;④b2﹣4ac>0,其中正确的个数是
A.1B.2c.3D.4
【分析】由二次函数的开口方向,对称轴0<x<1,以及二次函数与y的交点在x轴的上方,与x轴有两个交点等条件来判断各结论的正误即可.
【解答】解:
∵二次函数的开口向下,与y轴的交点在y轴的正半轴,
∴a<0,c>0,故②正确;
∵0<﹣<1,
∴b>0,故①错误;
当x=﹣1时,y=a﹣b+c<0,
∴a+c<b,故③正确;
∵二次函数与x轴有两个交点,
∴△=b2﹣4ac>0,故④正确
正确的有3个,
故选:
c.
【点评】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小:
当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置:
当a与b同号时,对称轴在y轴左;当a与b异号时,对称轴在y轴右.③常数项c决定抛物线与y轴交点.抛物线与y轴交于.
热点2:
一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是
A.B.c.D.
【考点】二次函数的图象;一次函数的图象.
【分析】本题可先由一次函数y=ax+b图象得到字母系数的正负,再与二次函数y=ax2+bx+c的图象相比较看是否一致.
【解答】解:
A、由抛物线可知,a<0,由直线可知,故本选项错误;
B、由抛物线可知,a>0,x=﹣>0,得b<0,由直线可知,a>0,b>0,故本选项错误;
c、由抛物线可知,a<0,x=﹣<0,得b<0,由直线可知,a<0,b<0,故本选项正确;
D、由抛物线可知,a<0,x=﹣<0,得b<0,由直线可知,a<0,b>0故本选项错误.
故选c.
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如图,一段抛物线:
y=﹣x记为c1,它与x轴交于两点o,A1;将c1绕A1旋转180°得到c2,交x轴于A2;将c2绕A2旋转180°得到c3,交x轴于A3;…如此进行下去,直至得到c6,若点P在第6段抛物线c6上,则= ﹣1 .
【考点】二次函数图象与几何变换;抛物线与x轴的交点.
【专题】规律型.
【分析】将这段抛物线c1通过配方法求出顶点坐标及抛物线与x轴的交点,由旋转的性质可以知道c1与c2的顶点到x轴的距离相等,且oA1=A1A2,照此类推可以推导知道点P为抛物线c6的顶点,从而得到结果.
【解答】解:
∵y=﹣x,
∴配方可得y=﹣2+1,
∴顶点坐标为,
∴A1坐标为
∵c2由c1旋转得到,
∴oA1=A1A2,即c2顶点坐标为,A2;
照此类推可得,c3顶点坐标为,A3;
c4顶点坐标为,A4;
c5顶点坐标为,A5;
c6顶点坐标为,A6;
∴=﹣1.
故答案为:
﹣1.
【点评】本题考查了二次函数的性质及旋转的性质,解题的关键是求出抛物线的顶点坐标.