XX中考数学一轮复习二次函数图像与性质学案.docx

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XX中考数学一轮复习二次函数图像与性质学案

XX中考数学一轮复习-二次函数图像与性质学案

　　XX年中考数学一轮复习第14讲《二次函数图像与性质》

　　【考点解析】

　　知识点一、求二次函数图象的顶点坐标

　　【例题】已知A，B是抛物线y=﹣x2+bx+c上两点，该抛物线的顶点坐标是　　．

　　【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．

　　【分析】把A、B的坐标代入函数解析式，即可得出方程组，求出方程组的解，即可得出解析式，化成顶点式即可．

　　【解答】解：

∵A，B是抛物线y=﹣x2+bx+c上两点，

　　∴代入得：

，

　　解得：

b=2，c=3，

　　∴y=﹣x2+2x+3

　　=﹣2+4，

　　顶点坐标为，

　　故答案为：

．

　　【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征的应用，能求出函数的解析式是解此题的关键．

　　【变式】

　　抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是

　　．

　　【答案】.

　　【解析】已知抛物线的解析式是一般式，用配方法转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．

　　试题解析：

∵y=x2﹣2x+3=x2﹣2x+1﹣1+3=2+2，

　　∴抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是．

　　知识点二、二次函数图象的增减性及其其它性质

　　【例题】已知二次函数，当x＞1时，y随x的增大而增大，而的取值范围是

　　A．B．c．D．

　　【答案】D．

　　【分析】根据二次函数的性质即可做出判断.

　　【解析】抛物线的对称轴为直线，∵当x＞1时，y的值随x值的增大而增大，∴，解得：

．故选D．

　　【点评】本题考查了二次函数的性质，能正确地判断出确定出对称轴是解题的关键．

　　【变式】

　　如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点c，对称轴为直线x=2，且oA=oc，则下列结论：

　　①abc＞0；②9a+3b+c＜0；③c＞﹣1；④关于x的方程ax2+bx+c有一个根为﹣

　　其中正确的结论个数有

　　A．1个B．2个c．3个D．4个

　　【分析】由二次函数图象的开口方向、对称轴及与y轴的交点可分别判断出a、b、c的符号，从而可判断①；由图象可知当x=3时，y＜0，可判断②；由oA=oc，且oA＜1，可判断③；把﹣代入方程整理可得ac2﹣bc+c=0，结合③可判断④；从而可得出答案．

　　【解答】解：

　　由图象开口向下，可知a＜0，

　　与y轴的交点在x轴的下方，可知c＜0，

　　又对称轴方程为x=2，所以﹣＞0，所以b＞0，

　　∴abc＞0，故①正确；

　　由图象可知当x=3时，y＞0，

　　∴9a+3b+c＞，故②错误；

　　由图象可知oA＜1，

　　∵oA=oc，

　　∴oc＜1，即﹣c＜1，

　　∴c＞﹣1，故③正确；

　　假设方程的一个根为x=﹣，把x=﹣代入方程可得﹣+c=0，

　　整理可得ac﹣b+1=0，

　　两边同时乘c可得ac2﹣bc+c=0，

　　即方程有一个根为x=﹣c，

　　由②可知﹣c=oA，而当x=oA是方程的根，

　　∴x=﹣c是方程的根，即假设成立，故④正确；

　　综上可知正确的结论有三个，

　　故选c．

　　【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程、不等式的关系是解题的关键．特别是利用好题目中的oA=oc，是解题的关键．

　　知识点三二次函数的对称轴【例题】二次函数y=+2x的顶点坐标为，对称轴是直线．

　　【答案】；直线x=－1.

　　【分析】将二次函数配成顶点式，然后得出顶点坐标和对称轴．

　　【解析】y=+2x=－1，从而得出抛物线的顶点坐标；对称轴直线x=－1．

　　【点评】本题考查了二次函数图象上的点的坐标，根据对于函数图象的描述能够理解函数的解析式的特点，是解决本题的关键．

　　【变式】

　　抛物线y=x2+2x+3的对称轴是

　　A．直线x=1B．直线x=﹣1c．直线x=﹣2D．直线x=2

　　【分析】先把一般式化为顶点式，然后根据二次函数的性质确定抛物线的对称轴方程．

　　【解答】解：

∵y=x2+2x+3=2+2，

　　∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1．

　　故选B．

　　【点评】本题考查了二次函数的性质：

对于二次函数y=ax2+bx+c，它的顶点坐标是，对称轴为直线x=﹣．

　　知识点四、二次函数的最大值

　　【例题】已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴最多有一个交点，现有以下四个结论：

　　①该抛物线的对称轴在y轴左侧；

　　②关于x的方程ax2+bx+c+2=0无实数根；

　　③a﹣b+c≥0；

　　④的最小值为3．

　　其中，正确结论的个数为

　　A．1个B．2个c．3个D．4个

　　【分析】从抛物线与x轴最多一个交点及b＞a＞0，可以推断抛物线最小值最小为0，对称轴在y轴左侧，并得到b2﹣4ac≤0，从而得到①②为正确；由x=﹣1及x=﹣2时y都大于或等于零可以得到③④正确．

　　【解答】解：

∵b＞a＞0

　　∴﹣＜0，

　　所以①正确；

　　∵抛物线与x轴最多有一个交点，

　　∴b2﹣4ac≤0，

　　∴关于x的方程ax2+bx+c+2=0中，△=b2﹣4a=b2﹣4ac﹣8a＜0，

　　所以②正确；

　　∵a＞0及抛物线与x轴最多有一个交点，

　　∴x取任何值时，y≥0

　　∴当x=﹣1时，a﹣b+c≥0；

　　所以③正确；

　　当x=﹣2时，4a﹣2b+c≥0

　　a+b+c≥3b﹣3a

　　a+b+c≥3

　　≥3

　　所以④正确．

　　故选：

D．

　　【点评】本题考查了二次函数的解析式与图象的关系，解答此题的关键是要明确a的符号决定了抛物线开口方向；a、b的符号决定对称轴的位置；抛物线与x轴的交点个数，决定了b2﹣4ac的符号．

　　【变式】

　　已知二次函数y=2+1，在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为

　　A．1或﹣5B．﹣1或5c．1或﹣3D．1或3

　　【分析】由解析式可知该函数在x=h时取得最小值1、x＞h时，y随x的增大而增大、当x＜h时，y随x的增大而减小，根据1≤x≤3时，函数的最小值为5可分如下两种情况：

①若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最小值5；②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最小值5，分别列出关于h的方程求解即可．

　　【解答】解：

∵当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＜h时，y随x的增大而减小，

　　∴①若h＜1≤x≤3，x=1时，y取得最小值5，

　　可得：

2+1=5，

　　解得：

h=﹣1或h=3；

　　②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最小值5，

　　可得：

2+1=5，

　　解得：

h=5或h=1．

　　综上，h的值为﹣1或5，

　　故选：

B．

　　【点评】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键．

　　知识点五、二次函数图象与系数的关系

　　【例题】已知二次函数y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，且图象过A、B两点，则、n的关系为

　　A．=nB．=nc．=n2D．=n2

　　【分析】由“抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点”推知x=﹣时，y=0．且b2﹣4c=0，即b2=4c，其次，根据抛物线对称轴的定义知点A、B关于对称轴对称，故A，B；最后，根据二次函数图象上点的坐标特征即可得出结论．

　　【解答】解：

∵抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，

　　∴当x=﹣时，y=0．且b2﹣4c=0，即b2=4c．

　　又∵点A，B，

　　∴点A、B关于直线x=﹣对称，

　　∴A，B，

　　将A点坐标代入抛物线解析式，得=2+b+c，即=﹣+c，

　　∵b2=4c，

　　∴=n2，

　　故选D．

　　【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，根据题意得出抛物线的对称轴方程是解答此题的关键．

　　【变式】

　　二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，给出下列四个结论：

①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④+b＜a，其中正确结论的个数是

　　A．4个B．3个c．2个D．1个

　　【答案】B

　　【解析】

　　试题分析：

∵抛物线和x轴有两个交点，

　　∴b2﹣4ac＞0，

　　∴4ac﹣b2＜0，∴①正确；

　　∵对称轴是直线x﹣1，和x轴的一个交点在点和点之间，

　　∴抛物线和x轴的另一个交点在和之间，

　　∴把代入抛物线得：

y=4a﹣2b+c＞0，

　　∴4a+c＞2b，∴②错误；

　　∵把代入抛物线得：

y=a+b+c＜0，

　　∴2a+2b+2c＜0，

　　∵b=2a，

　　∴3b，2c＜0，∴③正确；

　　∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，

　　∴y=a﹣b+c的值最大，

　　即把代入得：

y=a2+b+c＜a﹣b+c，

　　∴a2+b+b＜a，

　　即+b＜a，∴④正确；

　　即正确的有3个，

　　故选B．

　　知识点六、二次函数图象的平移

　　【例题】抛物线y=3x2+2x﹣1向上平移4个单位长度后的函数解析式为．

　　A．y=3x2+2x﹣5B．y=3x2+2x﹣4

　　c．y=3x2+2x+3D．y=3x2+2x+4

　　【答案】c．

　　【分析】利用平移规律“上加下减”即可得出平移后的抛物线解析式．

　　【解析】利用平移规律“上加下减”，抛物线y=3x2+2x﹣1向上平移4个单位长度，解析式中常数项加4，所以是y=3x2+2x﹣1+4=3x2+2x+3，故选c．

　　【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：

由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：

一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．

　　【变式】

　　在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点选择180°得到抛物线y=x2+5x+6，则原抛物线的解析式是

　　A．y=﹣2﹣B．y=﹣2﹣c．y=﹣2﹣D．y=﹣2+

　　【考点】二次函数图象与几何变换．

　　【分析】先求出绕原点旋转180°的抛物线解析式，求出向下平移3个单位长度的解析式即可．

　　【解答】解：

∵抛物线的解析式为：

y=x2+5x+6，

　　∴绕原点选择180°变为，y=﹣x2+5x﹣6，即y=﹣2+，

　　∴向下平移3个单位长度的解析式为y=﹣2+﹣3=﹣2﹣．

　　故选A．

　　【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数的图象旋转及平移的法则是解答此题的关键．

　　【典例解析】

　　【例题1】二次函数y=﹣2+5，当≤x≤n且n＜0时，y的最小值为2，最大值为2n，则+n的值为

　　A．B．2c．D．

　　【分析】结合二次函数图象的开口方向、对称轴以及增减性进行解答即可．

　　【解答】解：

二次函数y=﹣2+5的大致图象如下：

　　．

　　①当≤0≤x≤n＜1时，当x=时y取最小值，即2=﹣2+5，

　　解得：

=﹣2．

　　当x=n时y取最大值，即2n=﹣2+5，

　　解得：

n=2或n=﹣2；

　　②当当≤0≤x≤1≤n时，当x=时y取最小值，即2=﹣2+5，

　　解得：

=﹣2．

　　当x=1时y取最大值，即2n=﹣2+5，

　　解得：

n=，

　　所以+n=﹣2+=．

　　故选：

D．

　　【点评】本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，根据函数解析式求出对称轴解析式是解题的关键．

　　【例题2】点P1，P2，P3均在二次函数y=﹣x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是

　　A．y3＞y2＞y1B．y3＞y1=y2c．y1＞y2＞y3D．y1=y2＞y3

　　【分析】根据函数解析式的特点，其对称轴为x=1，图象开口向下，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，据二次函数图象的对称性可知，P1与关于对称轴对称，可判断y1=y2＞y3．

　　【解答】解：

∵y=﹣x2+2x+c，

　　∴对称轴为x=1，

　　P2，P3在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，

　　∵3＜5，

　　∴y2＞y3，

　　根据二次函数图象的对称性可知，P1与关于对称轴对称，

　　故y1=y2＞y3，

　　故选D．

　　【点评】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性．

　　【例题3】二次函数y=ax2+bx+c和正比例函数y=x的图象如图所示，则方程ax2+x+c=0的两根之和

　　A．大于0B．等于0c．小于0D．不能确定

　　【考点】抛物线与x轴的交点．

　　【分析】设ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，由二次函数的图象可知x1+x2＞0，a＞0，设方程ax2+x+c=0的两根为a，b再根据根与系数的关系即可得出结论．

　　【解答】解：

设ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，

　　∵由二次函数的图象可知x1+x2＞0，a＞0，

　　∴﹣＞0．

　　设方程ax2+x+c=0的两根为a，b，则a+b=﹣=﹣+，

　　∵a＞0，

　　∴＞0，

　　∴a+b＞0．

　　故选c．

　　【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关键．

　　【例题4】如图，二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1和3，则下列结论正确的是

　　A．2a﹣b=0

　　B．a+b+c＞0

　　c．3a﹣c=0

　　D．当a=时，△ABD是等腰直角三角形

　　【考点】二次函数图象与系数的关系．

　　【分析】由于抛物线与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1，3，得到对称轴为直线x=1，则﹣=1，即2a+b=0，得出，选项A错误；

　　当x=1时，y＜0，得出a+b+c＜0，得出选项B错误；

　　当x=﹣1时，y=0，即a﹣b+c=0，而b=﹣2a，可得到a与c的关系，得出选项c错误；

　　由a=，则b=﹣1，c=﹣，对称轴x=1与x轴的交点为E，先求出顶点D的坐标，由三角形边的关系得出△ADE和△BDE都为等腰直角三角形，得出选项D正确；即可得出结论．

　　【解答】解：

∵抛物线与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1，3，

　　∴抛物线的对称轴为直线x=1，则﹣=1，

　　∴2a+b=0，

　　∴选项A错误；

　　∴当自变量取1时，对应的函数图象在x轴下方，

　　∴x=1时，y＜0，则a+b+c＜0，

　　∴选项B错误；

　　∵A点坐标为，

　　∴a﹣b+c=0，而b=﹣2a，

　　∴a+2a+c=0，

　　∴3a+c=0，

　　∴选项c错误；

　　当a=，则b=﹣1，c=﹣，对称轴x=1与x轴的交点为E，如图，

　　∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣，

　　把x=1代入得y=﹣1﹣=﹣2，

　　∴D点坐标为，

　　∴AE=2，BE=2，DE=2，

　　∴△ADE和△BDE都为等腰直角三角形，

　　∴△ADB为等腰直角三角形，

　　∴选项D正确．

　　故选D．

　　【点评】本题考查了二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数的关系：

当a＞0，抛物线开口向上；抛物线的对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为．

　　【中考热点】

　　热点1：

二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：

①b＜0；②c＞0；③a+c＜b；④b2﹣4ac＞0，其中正确的个数是

　　A．1B．2c．3D．4

　　【分析】由二次函数的开口方向，对称轴0＜x＜1，以及二次函数与y的交点在x轴的上方，与x轴有两个交点等条件来判断各结论的正误即可．

　　【解答】解：

∵二次函数的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴，

　　∴a＜0，c＞0，故②正确；

　　∵0＜﹣＜1，

　　∴b＞0，故①错误；

　　当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，

　　∴a+c＜b，故③正确；

　　∵二次函数与x轴有两个交点，

　　∴△=b2﹣4ac＞0，故④正确

　　正确的有3个，

　　故选：

c．

　　【点评】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：

①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：

当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：

当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于．

　　热点2：

一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是

　　A．B．c．D．

　　【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．

　　【分析】本题可先由一次函数y=ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2+bx+c的图象相比较看是否一致．

　　【解答】解：

A、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，故本选项错误；

　　B、由抛物线可知，a＞0，x=﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；

　　c、由抛物线可知，a＜0，x=﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确；

　　D、由抛物线可知，a＜0，x=﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0故本选项错误．

　　故选c．

　　热点3：

如图，一段抛物线：

y=﹣x记为c1，它与x轴交于两点o，A1；将c1绕A1旋转180°得到c2，交x轴于A2；将c2绕A2旋转180°得到c3，交x轴于A3；…如此进行下去，直至得到c6，若点P在第6段抛物线c6上，则=　﹣1　．

　　【考点】二次函数图象与几何变换；抛物线与x轴的交点．

　　【专题】规律型．

　　【分析】将这段抛物线c1通过配方法求出顶点坐标及抛物线与x轴的交点，由旋转的性质可以知道c1与c2的顶点到x轴的距离相等，且oA1=A1A2，照此类推可以推导知道点P为抛物线c6的顶点，从而得到结果．

　　【解答】解：

∵y=﹣x，

　　∴配方可得y=﹣2+1，

　　∴顶点坐标为，

　　∴A1坐标为

　　∵c2由c1旋转得到，

　　∴oA1=A1A2，即c2顶点坐标为，A2；

　　照此类推可得，c3顶点坐标为，A3；

　　c4顶点坐标为，A4；

　　c5顶点坐标为，A5；

　　c6顶点坐标为，A6；

　　∴=﹣1．

　　故答案为：

﹣1．

　　【点评】本题考查了二次函数的性质及旋转的性质，解题的关键是求出抛物线的顶点坐标．